可降阶高阶微分方程

1、1/15四、小结四、小结( )( )nyf x 一一、型型的的方方程程( ,)yf x y 二二、型型的的方方程程( ,)yf y y 三三、型型的的方方程程五、作业五、作业第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2/15)()(xfyn 特点特点是未知函数是未知函数 y 的的n 阶导数阶导数,且不显含未知函数且不显含未知函数 y 及及.y 两边积分两边积分 1)1(d)(Cxxfyn 21)2(dd)(CxCxxfyn接连积分接连积分n次次, ,右端是右端是自变量自变量x的一个已知函数的一个已知函数,其导数其导数左端左端( )( )nyf x 型型再积分再积分得到含有得到含有n

2、个任意常数的通解个任意常数的通解. . 1)1(d)(Cxxfyn一、3/15例例 求解方程求解方程xeyxcos3 解解 将方程积分三次将方程积分三次, 得得xey331 xey391 xey3271 最后得到的就是方程的通解最后得到的就是方程的通解.xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 4/15( ,)yf x y 型型特点特点方程不显含方程不显含y.解法解法, py 将将p作为新的作为新的则方程变为则方程变为 p这是一个关于变量这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程的一阶微分方程.如果其通解为如果其通解为),(1Cxpp 则由则由),(1Cxpy

3、再积分一次再积分一次,21d),(CxCxpy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 设设 xpdd.p 未知函数，未知函数，),(fpx二、二、5/154, 100 xxyy例例 解方程解方程 因方程中不含未知函数因方程中不含未知函数y, py 解解令令型型属属),(yxfy ,py 代入原方程代入原方程, 得得3213xpxp p的可分离变量的一阶方程的可分离变量的一阶方程xxxppd13d32 13ln)1ln(lnCxp )1(31xCp 由初始条件由初始条件40 xy知知C1=4, 所以所以)1(43xy y的分离变量方程的分离变量方程3213xyxy 6/15xxyd)1(4d3

4、 244Cxxy 再由初始条件再由初始条件, 10 xyC2 = 1.故所求故所求解为解为441.yxx 4, 100 xxyy3213xyxy 得得7/15(1)2,(1)2.yy 例例 解方程解方程 2(1),xyy y , py 令令,py 代入原方程代入原方程, 得得解解d2d ,(1)pxp px ln(1)ln2lnln,ppxC 21.1pCx 由初始条件由初始条件(1)(1)2py 所以所以22.2yx 1,2C2 (1),xpp p 8/1522,2yx 12212ln,222xydxCxx 再由初始条件再由初始条件,2)1( y知知故所求故所求解为解为121ln(12),C

5、 12ln21ln( 21).22xyx 9/15ddyyx 22ddxyy 特点特点解法解法方程不显含（缺）自变量方程不显含（缺）自变量x ( ,)yf y y 型型则则xpdd xydd ,ddypp 方程变成方程变成 yppdd这是关于变量这是关于变量y , p 的的一阶方程一阶方程.设它的通解为设它的通解为).,(1Cyp 分离变量并积分分离变量并积分,得通解为得通解为21),(dCxCyy ( )p y设设ypdd ).,(pyf y p )(yp)(ypx( ,).( ,),yf x yyyxxyyfpyy 缺缺自自变变量量缺缺, ,将将 看看作作都都作作变变量量变变代代换换将将

6、看看作作自自量量注注.三、三、10/15.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程例例型型属属),(yyfy yppdd21,2py 22 dd,1p pypy 可分离变量方程可分离变量方程21ln(1)lnln,pyC211,pC y11,pC y 即即1d1.dyC yx 可分离变量方程可分离变量方程11/151d1,dyC yx 1dd ,1yxC y 12121.C yxCC 12/15.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程y0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy

7、,1yCp 可得可得12.C xyC e 原方程通解为原方程通解为1d,dyC yx例例yppdd 2p , 0 型型属属),(yyfy 100).pC 也也包包含含在在上上述述解解中中( (取取13/1502 yyy微分方程微分方程满足条件满足条件, 10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分离变量方程可分离变量方程, 10 xy由由210 xy211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C12 xy14/15012 yy求微分方程求微分方程的积分曲线的积分曲线,使该使该积分曲线过点积分曲线过点,21, 0 且

8、在该点的切线斜率为且在该点的切线斜率为2.解解方程方程012 yy型型属属),(yyfy ,ddyppy 则则, py 设设代入方程代入方程,得得1dd2 yppy1212Cyp 01 Cyxy2dd 223232Cxy 2322132 C所求积分曲线为所求积分曲线为232321223 xy15/15解法解法: : 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.三种类型的可降阶的高阶微分方程三种类型的可降阶的高阶微分方程四、小结四、小结16/15 思考题思考题处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1轴上的截距等于轴上的截距

9、等于的切线在的切线在.)(的一般表达式的一般表达式求求xf解解)()(xXxfxfY , 0 X令令轴轴上上的的截截距距得得切切线线在在y)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 积分方程积分方程过曲线过曲线 y = f (x)上点上点( x, f (x)处的切线方程为处的切线方程为可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程17/15处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx .)(的一般表达式的一般表达式求求xf积分方程积分方程两边对两边对x求导求导, 即即0)()( xfxfx型可降阶的方程型可降阶的方程属于属于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得0)()( xpxpx可分离变量方程可分离变量方程 xttfxy0,d)(1轴轴上上的的截截距距等等于于的的切切线线在在)()(d)(0 xfxxfxttfx 18