分形几何--现代数学选讲

1、分形几何分形几何柴成武2009.1.15KochKoch曲线曲线KochKoch雪花雪花分形图分形图MengerMenger海绵海绵 传统几何面临的困境传统几何面临的困境基于传统基于传统欧几里得几何学欧几里得几何学的各门自然科学总是把研的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体究对象想象成一个个规则的形体点、直线、圆、点、直线、圆、椭圆、锥形椭圆、锥形。我们人类生活的世界是一个极其。我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，与欧几里得几何图形相比，拥有完全复杂的世界，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性不同层次的复杂性雪花、蜿蜒曲折的海岸线、雪花、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的

2、地面、变幻莫测的股市变化、复杂的生坑坑洼洼的地面、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象命现象，分形几何则提供了一种描述这种不规，分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。山川、云朵、则复杂现象中的秩序和结构的新方法。山川、云朵、小麦须根系、菜花、树木、树冠等等都是典型的分小麦须根系、菜花、树木、树冠等等都是典型的分形。形。 为什么要研究分形？为什么要研究分形？ 首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。需

3、要，分形提供了新的概念和方法。 其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。得显著进展。 分形理论是非线性科学的一个主要分支分形理论是非线性科学的一个主要分支, 与混沌与混沌(chaos)和孤立子和孤立子(soliton)一起成为非线性科学的三一起成为非线性科学的三大前沿理论大前沿理论 。分形作为一种新的概念和方法，正在许分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。多领域开展应用探索。80年代初国外开始的年代初国外开始的“分形分形热热”经久不

4、息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁经久不息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。分形图分形图分形图分形图分形图分形图分形图分形图分形图分形图分形风景分形风景分形分形树树 以上分形图的说明以上分形图的说明 计算机通过数值计算，生成的同时具有审计算机通过数值计算，生成的同时具有审美情趣和科学内涵的图形美情趣和科学内涵的图形 。她们与现实世界相。她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。是完全可以用数学结构来描述的。特点：特点：1、

5、既抽象又具体。、既抽象又具体。2、具有丰富的层次。、具有丰富的层次。4、既具有形象美，又具有科学美、既具有形象美，又具有科学美 。3、能内在地表达各种对称性。、能内在地表达各种对称性。分形概念的提出分形概念的提出 分形的研究可以上溯到很久以前。大约分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的思想已经开始出现在数学领域。年前分形的思想已经开始出现在数学领域。但是，就象其它的一些革命性的思想一样，分但是，就象其它的一些革命性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著只是研究一些数学中的怪异现象。那个时

6、候著名的数学家名的数学家 Charles Hermite 把分形称为把分形称为“怪怪物物”，这代表了绝大多数人的观点。，这代表了绝大多数人的观点。 分形概念的提出分形概念的提出 分形的概念是由美籍数学家分形的概念是由美籍数学家曼德布罗特曼德布罗特(人们把他人们把他称为称为“分形之父分形之父”) (B.B.Mandelbrot)首先提出的。首先提出的。 1967年他在美国权威的年他在美国权威的科学科学杂志上发表了题杂志上发表了题为为英国的海岸线有多长英国的海岸线有多长?的著名论文。的著名论文。 1973年，曼德布罗特在法兰西学院讲课时，首次年，曼德布罗特在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几

7、何的设想。提出了分维和分形几何的设想。 分形（分形（Fractal）一词，是曼德布罗特造出来的，）一词，是曼德布罗特造出来的，其意具有不规则、支离破碎等含义。其意具有不规则、支离破碎等含义。分形概念的提出分形概念的提出 Fractal（分形）一词的由来（分形）一词的由来 据曼德勃罗教授自己说，据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是一词是1975年夏年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。本意是不规则的、破碎拉丁文字典时，突然想到的。本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传的、分数的。

8、曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。这些对象都是分形。 1967年曼德布罗特在年曼德布罗特在科学科学上发表了一篇题上

9、发表了一篇题为为英国的海岸线有多长英国的海岸线有多长的论文，震惊学术界！因的论文，震惊学术界！因为他最后得出的结论是：无论你做得多么认真细致，为他最后得出的结论是：无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的答案。英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量答案。英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度时所用的尺度 海岸线由于海水长年的海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不和海岬，弯弯曲曲极不规则规则分形之父曼德布罗特分形之父曼德

10、布罗特 曼德布罗特与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授曼德布罗特与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授 什么是分形几何？什么是分形几何？ 通俗一点说就是研究无限复杂但具通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。学。1986年曼德布罗特给出分形定义为：年曼德布罗特给出分形定义为：“组成部分与整体以某种方式相似的形叫组成部分与整体以某种方式相似的形叫做分形做分形”。这个定义突出了它自相似的性。这个定义突出了它自相似的性质质,反映了自然界中一大类事物的共同属反映了自然界中一大类事物的共同属性：局部与整体在形态、功能、信息、时性：局部与

11、整体在形态、功能、信息、时间与空间结构等方面至少具有统计意义上间与空间结构等方面至少具有统计意义上的相似性。的相似性。 1.分形几何分形几何 什么是自相似呢？什么是自相似呢？ 例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基

12、因记录着这头牛的全部生长信息；还有高的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平;一一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场;。这种自。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这些例子在我们的身边到处可见。变。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是

13、真正描述大自然的分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。几何学。1.分形几何分形几何 2.分形几何与欧几里得几何的区别分形几何与欧几里得几何的区别 欧几里得几何欧几里得几何 分形几何分形几何 经典的（经典的（2000多年的历史）多年的历史）基于特征长度与比例基于特征长度与比例 适合于人工制品适合于人工制品用公式描述用公式描述图形规则图形规则 图形的结构层次有限图形的结构层次有限局部一般不具有整体的信息局部一般不具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越图形越复杂，背后的规则也越复杂复杂 现代数学怪物（现代数学怪物（30多年的历史）多年的历史）无特征长度与比例无特征长度与比例

14、实用于大自然现象实用于大自然现象用（递归或迭代）算法描述用（递归或迭代）算法描述图形不规则图形不规则图形的结构层次无限图形的结构层次无限局部往往具有整体的信息局部往往具有整体的信息图形复杂，其背后的规则经常是图形复杂，其背后的规则经常是简单的简单的3.哲学启示哲学启示 分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的方面的:(1)、分形整体与局部形态的相似，启发人们通、分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限。过认识部分来认识整体，从有限中认识无限。(2)、分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、分形揭示了介于整体与部分

15、、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序。复杂与简单之间的新形态、新秩序。(3)、分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联、分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。系和统一的图景。4.分形的特征分形的特征分形结构有分形结构有2个明显的特征：第个明显的特征：第1个特征是自个特征是自相似性相似性,即重复放大分形的细部即重复放大分形的细部(分形元分形元)又可看又可看到本身相似结构的再度出现到本身相似结构的再度出现,并且这种出现过并且这种出现过程具有随机性程具有随机性,只有大小的区别只有大小的区别,而没有形状的而没有形状的不同不同,亦即标度不变性；第亦即标度不变性；第2个特征是缺乏平滑个特

16、征是缺乏平滑性性,分形总是凹凹凸凸分形总是凹凹凸凸,弯弯曲曲弯弯曲曲,到处都不连续到处都不连续,亦不可微分。亦不可微分。 5.分形理论的表达分形理论的表达分形的特点由分形维数分形的特点由分形维数(又称分数维或分维又称分数维或分维)来描述，分形维数是局部与整体在形态、功来描述，分形维数是局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间结构等方面相似性的能、信息、时间与空间结构等方面相似性的量度。维数是几何学和空间理论的基本概念量度。维数是几何学和空间理论的基本概念,根据常识根据常识,点是点是0维的维的,直线是直线是1维的维的,平面是平面是2维维的的,而普通空间是而普通空间是3维的，但用来描述分形特维的，

17、但用来描述分形特点的维数常常不是整数维点的维数常常不是整数维,而是分数维。在土而是分数维。在土壤学中比较常见的分维有壤学中比较常见的分维有3种，即容量维数、种，即容量维数、信息维数和关联维数。信息维数和关联维数。 6.分形理论在本学科中的应用分形理论在本学科中的应用作为探索不规则结构和形态的工具，分形几何学被广泛应用作为探索不规则结构和形态的工具，分形几何学被广泛应用于土壤学和生态学研究中，用分形法研究土壤机械组成，已于土壤学和生态学研究中，用分形法研究土壤机械组成，已经成为土壤机械组成分析方法发展的趋势，在沙漠学中也有经成为土壤机械组成分析方法发展的趋势，在沙漠学中也有较多应用。分形理论认为

18、：沙粒粒径分布具有分形特征，其较多应用。分形理论认为：沙粒粒径分布具有分形特征，其分维值的大小差异体现了沙物质分布的区域差异性；风沙地分维值的大小差异体现了沙物质分布的区域差异性；风沙地貌是一种典型的分形几何实体，沙丘分布具有分形特征，其貌是一种典型的分形几何实体，沙丘分布具有分形特征，其分维值体现了风沙地貌的自相似性规律；风沙流结构不但是分维值体现了风沙地貌的自相似性规律；风沙流结构不但是分形，而且是多重分形，其分维值与风速有着极大的关系；分形，而且是多重分形，其分维值与风速有着极大的关系；荒漠荒漠-绿洲景观镶嵌结构具有分形特征，各景观要素的分维绿洲景观镶嵌结构具有分形特征，各景观要素的分维

19、值大小代表着该要素镶嵌结构的复杂性和稳定性程度；荒漠值大小代表着该要素镶嵌结构的复杂性和稳定性程度；荒漠化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量荒化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量荒漠化过程，可给出荒漠化复杂程度的描述。漠化过程，可给出荒漠化复杂程度的描述。7.几篇文章几篇文章武生智武生智,马崇武马崇武,苗天德苗天德.沙粒级配和沙丘分布的分形沙粒级配和沙丘分布的分形分析分析.中国沙漠中国沙漠,1999,19(3):247-250朱晓华朱晓华,杨秀春杨秀春.水旱灾害时间序列的分形研究水旱灾害时间序列的分形研究方法方法.安徽农业科学安徽农业科学,2000,28(1):35

20、-36程先富程先富,史学正史学正.分形几何在土壤学中的应用及分形几何在土壤学中的应用及其展望其展望.土壤土壤,2003,35(6):461464赵文智赵文智,刘志民刘志民,程国栋程国栋.土地沙质荒漠化过程土地沙质荒漠化过程的土壤分形特征的土壤分形特征.土壤学报土壤学报,2002,39(6):877-8818.简单应用实例简单应用实例8.1 8.1 自相似维数自相似维数 一般来说，如果在一般来说，如果在d d维空间中考虑一个维空间中考虑一个d d维的维的几何对象把每个方向的尺寸都放大几何对象把每个方向的尺寸都放大L L倍，就会得到倍，就会得到一个一个d d维体积为原来的维体积为原来的L Ld d

21、倍的几何体。倍的几何体。 d0N L ,lnlnNDL令 =两边取对数，便得到维数的定义这个定义一般适用于具有自相似性质的分形集合，常这个定义一般适用于具有自相似性质的分形集合，常称为自相似维数。称为自相似维数。 8.简单应用实例简单应用实例8.1自相似性维数自相似性维数我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为21、22和和23个相似的子图形，其中的指数个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为某图形是由把原图缩小为1/a的相似的的相似的