初二数学同步辅导教材(第4讲)

1、螀膀薆薀羂羃蒂蕿肄艿莈薈螄肁芄薈袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈芅莄蚅螁肈芀蚄袃芃膆蚃肅肆薅蚂螅罿蒁蚂袇膅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿蝿螂羆蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆腿芅螆袈肂薄螅羀芈蒀螄肃肀莆螃螂芆节葿袅聿膈葿羇芄蒇蒈蚇肇蒃蒇衿莃荿蒆羁膅芅蒅肄羈薃蒄螃膄葿蒃袆羆莅薃羈膂芁薂蚈羅膇薁螀膀薆薀羂羃蒂蕿肄艿莈薈螄肁芄薈袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈芅莄蚅螁肈芀蚄袃芃膆蚃肅肆薅蚂螅罿蒁蚂袇膅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿蝿螂羆蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆腿芅螆袈肂薄螅羀芈蒀螄肃肀莆螃螂芆节葿袅聿膈葿羇芄蒇蒈蚇肇蒃蒇衿莃荿蒆羁膅芅蒅肄羈薃蒄螃膄葿蒃袆羆莅薃羈膂芁薂蚈羅膇薁螀膀薆薀羂羃蒂蕿肄艿莈薈螄肁芄薈袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈芅莄蚅螁肈芀蚄袃芃膆蚃肅肆薅蚂螅罿蒁蚂

2、袇膅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿蝿螂羆蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆腿芅螆袈肂薄螅羀芈蒀螄肃肀莆螃螂芆节葿袅聿膈葿羇芄蒇蒈蚇肇蒃蒇衿莃荿蒆羁膅芅蒅肄羈薃蒄螃膄葿蒃袆羆莅薃羈膂芁薂蚈羅膇薁螀膀薆薀羂羃蒂蕿肄艿莈薈螄肁芄薈袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈芅莄蚅螁肈芀蚄袃芃膆蚃肅肆薅蚂螅罿蒁蚂袇膅莇蚁羀羇芃蚀虿膃腿蝿螂羆蒇螈袄膁莃螇羆 初二数学同步辅导教材（第4讲）【教学进度】§3.3 §3.4 §3.5【教学内容】1三角形的内角和2全等三角形3三角形全等的判定（一）【重点、难点剖析】一、三角形的内角和 1三角形的内角和 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800（2）三角形内角和定理实际

3、上给出了关于三个内角的一个关系式。由此可知如果再知道关于三角形的三个内角的两组等量关系，便可用解分程（组）的方法求出三个内角的大小。2外角定理，即三角形内角和的两个推论（1）三角形的外角：三角形的一边与另一边延长线组成的角。一个三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等，如图1中，1=2，3=4，5=6，它们都是ABC的外角。（2）三角形外角定理即三角形内角和的两个推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即在图1中有：1=2=ABC+ACB，3=4=BAC+ACB，5=6=BAC+ABC 三角的一个外角大于任一个与它不相邻的内角（3）三角形内角和定理及其推论。揭示了三角形的内角间

4、，内角与外角间的特点的数量关系。应用这些定理，可以构通某些角之间的关系，并相互转化，是有关三角形的一组重要定理，在解题中十分有用。 由三角形内角和定理及其推论还可以推出一些有用的结论，如“三角形的三个外角和为3600”等等。二、全等三角形1全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。互相重合的元素（顶点、角、边）叫做对应元素。2全等三角形的性质两个相等性质，即全等三角形的对应边相等，对应角也相等。全等三角形的两条性质通常用来证明三角形中线段或角相等的问题。（3）寻找对应元素的方法 根据对应顶寻找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应

5、角；以对应顶点为端点为边的是对应边，因此，在表示两个三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上。如图2，两个全等三角形ABE和ACD，点A和点A，点B和点C，点E和点D分别是对应顶点，就记作ABEACD，其对应元素如下：对应边：ABAC，BE对应角： 根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对应的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。两个全等三角形中一对最长(短)的边是对应边，一对最大(小)的角是对应角。 通过观察，弄清图形的运动变化状况，确定对应关系。翻折：如图3，ABCDBC，DBC可以看成是由ABC沿BC向下翻折18

6、00后而得到的，B与B、C与C、A与D重合，因此，它们是对应顶点。平移：如图4，ABCDEF，DEF可以看成是ABC沿BC方向平行移动而得到的，A与D、B与E、C与F分别重合，由此确定它们的对应关系。旋转：如图5，CODBOA，COD可以看作是由BOA绕着点O旋转1800得到的。这时，B、O、A分别与C、O、D重合，由此，可确定它们的对应关系。三、三角形全等的判定(一)（1）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。（2）全等三角形的两类基本图形 两个三角形中的一组对应角有公共P分(如图6) 两个三角形的边有公共部分(如图7)（3）在应角边角边公理

7、时，要正确书写证明过程： 写出在哪两个三角形中证全等 按边角边的顺序写出三个全等的条件(角必须是夹角)，并用大括号括在一起。 写出结论，注意证明时须步步有据例1：如图8，AF、AD分别是ABC的高和角平分线，且B=360，C=760，求DAF的度数思路分析欲求DAF,有已知AFBC，所以只须求出ADF，有ADF=B+BAD，因而只要先求出BAD，而AD平分BAC，故只要求出BAC，根据已知条件，显然不难求出BAC。由上分析可按下列顺序来求DAF的度数：BACBADADFDAF解：B=360，C=760（已知） BAC=1800-B-C =1800-360-760 =680（三角形的内角和等于1

8、800） AD平分BAC（已知） BAD=（角平线定义） ADF=B+BAD=750（三角形的任一外角等于与它不相邻的两内角之和） AFBC （已知） AFD=900 （垂直的定义） DAF=1800-ADF-AFD =1800-700-900 =200点评：要善于从图中看出几何元素的多重身份。如ADF既是ABD的外角，又是ADC的内角；DAF既是ADF的内角，又是DAC与FAC的差。解题时要从不同的角度去观察，这样就会发现题目中一些隐蔽的关系。例2O是ABC内一点，D是CA延长线上一点，E是AB上一点，求证BOC>DEA思路分析：欲证BOC>DEA，利用三角形外角大于不相邻的内角

9、，要设法使求证中的“大量”(BOC)处于某三角形的外角位置，所以延长BO交AC于F证明：如图9，延长BO交AC于F，因为BOC>OFC,又OFC>BAC, BAC>DEA(三角形的外角大于不相邻的内角)所以，BOC>DEA(不等式传递性)点评：本题还可以有另外的证法，可延长CO交AB于F，或连结AO延长交BC于F，去证BOC>BAC例3如图10，两个三角形是全等三角形，且AO=DO， 说出这两个三角形的对应边和对应角。分析：公共边是对应边，相等的边也是对应边，对顶角是对应角，相等的角是对应角，由此可确定对应顶点，从而写出对应元素。解：ABO和DCO对应边是：AO与

10、DO、AB与DC、BO与CO 对应角是：AOB与DOC、A与D、B与C例4：如图11所示，已知AF=AE，AC=AD，OF与DF交于B 求证：ACFADE分析：ACF与ADE中，A公共角，另夹这个角的两条边为对应相等，可用“边角边”公理来证它们全等证明 在ACF和ADE中， ACFADE (SAS)点评：用边角边公理判定三角三角形全等时，要注意推理格式：（1）写出在哪两个三角形中全等，注意不要把“和”字写“”（2）按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号括在一起，并写出推理的根据。注意属于同一个三角形的边和角写在同一列中。（3）三个全等条件，如果有需要先证明的，应在第(1)点前预先写好。（4）

11、写出结论 以上四步是证明三角形全等的基本格式，后面其他判定方法的书写格式与其类似，应该熟练掌握。例5如图12,ABCDEF，且B与E，C与F是对应顶点，问经过怎样的图形变换可使这两个三角形重合。解法一 先将DEF沿着CB方向平移，使E与B重合(此时F与C重合)，再将移动后的DEF沿着BC翻折，它即与ABC重合。解法二 先将DEF沿EF翻折，再将翻折后的DEF沿着CB方向平移，使E与B重合，则DEF即与ABC重合。例6如图13，BE、CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，求证APAQ思路分析：欲证APAQ只须证PAB+FAQ=900又知AQC+FAQ=900只须证PAB=AQC只须证PAB

12、AQC又知BP=AC，BA=CQ只须证PAB=ACQ又知BE、CF是ABC的高则PBA=ACQ是显而易见的故命题即可得证。证明： BE、CF是ABC的高（已知） CFB=BEC=900（垂直定义） 又FOB=EOC（对顶角相等） PBA=900-FOB=900-EOC=ACQ（等角的余角相等） 在BAB和AQC中 【巩固练习】一、选择题 1一个三角形的三外内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是（ ） (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 等边三角形 2若MNPNMQ，且MN=8cm, NP=7cm, PM=6cm, 则MQ的长为（ ） (A) 8cm (B)

13、7cm (C) 6cm (D) 5cm 3.如图所示，ABDCDB，ABD=400，CBD=300，C=（ ） （A）200 （B）1000 （C）1100 （D）1150 4如图所示，已知，点E、F在DC上，DF=ED，AD=BC，D=C，则下列说法不正确的是（ ）(A) AEDBFC (B) DE=CF (C)AD=BF (D) AED=BCF 5.如图所示，ABC和DEF是两个全等的三角形，顶点A与F，B与D，C与E能互相重合，则下面书写正确的是（ ）（A）ABCDEF （B）ABCFDE （C）ABCDFE （D）ABCFED 6如图，ABC中，ADBC于D，且D是BC的中点，下列结论

14、错误的是（ ）（A）ABDACD （B）B=C （C）AD是A的角平分线 （D）ABC是等边三角形在直角三角形ABC和直角三角形中，且=，则下列结论正确的是（ ）（A）= （B）= （C）= （D）=二、填空题8如图，1=_,2=_,3=_,4=_9.若三角形的一个外角为1400，且B=C，则A=_10.如图，把ABC绕点A旋转一定角度就得ADE，则对应边AB=_，AC=_,BC=_；对应角B=_,C=_,BAC=_11.三角形一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是_三角形。12如图，在ABC中，B=320，C=550，ADBC于D，AE平分BAC交BC于E， DFAE于F，则ADF=_13如

15、图，ABC的两个外角的平分线相交于O，若A=800，则O=_14若三角形三个外角的度数比为2：3：4，则此三角形的形状为_三角形。三、解答题15如图，ABC中，A=C=AGD=600，GDB=FEC=300， 求证：（1）GDBC （2）BDAC16如图，AD是ABC中BAC的平分线，AE是ABC的外角的平分线交BC延长线于E，且BAD=200，E=300，求ADC的度数。17如图，AD、CE是ABC的高，AD、CE交于F，AD=BD，CD=FD，求证：AC=BF18如图，在ABC中，AB>AC, AD是ABC的角平分线 求证：AB-AC>BD-CD19如图，AD是ABC的中线，E

16、是BC的延长线上，且CE=AB，求证AE=2AD【参考答案】一、选择题1A；2B；3C；4C；5B；6D；7B；二、填空题8700 、750、600、500；9400或100010AD、AE、DE、D、E、DAE；11钝角；1278.501380014钝角三、解答题15提示：通过图形中相关角度计算来证明；16提示：易证DAE=900，ADC=900-E=600；17提示：证明ACDBFD18提示：在AB上截取AE=AC，连结DE，可证ADCADE， CD=ED，BE>BD-DE 即AB-AC>BD-CD19提示：延长AD至F点，使DF=AD，连结CF，可证ABDFCD（SAS），AB=CF， B=FCD ABCF， BAC+ACF=1800 又ACF=ACE ACFACE，AE=AF=2AD 薁袇莄芃螇袃莃蒅蚀膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃肀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈肃膇薀薀聿膇蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莅薄薁袇莄芃螇袃莃蒅蚀膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肃蚁薆膁肂莁螁肇肁蒃薄羃肀薅蝿袈