电磁场及电磁波教案4(hao)

1、第四章第四章 静态场的解静态场的解主要内容主要内容n边值问题的分类边值问题的分类n边值问题的唯一性定理边值问题的唯一性定理n镜像法镜像法n分离变量法分离变量法n有限差分法有限差分法4.1 边值问题的分类边值问题的分类n边界条件边界条件：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数。常数。n边值问题边值问题：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。n静态场问题通常分为两大类静态场问题通常分为两大类：1.分布型问题分布型问题n由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求由已知场源（电荷、电流）分布

2、，直接从场的积分公式求空间各点的场分布空间各点的场分布2.边值型问题边值型问题n已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布n静态场边值问题的解法可分为静态场边值问题的解法可分为：1.解析法解析法n给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法2.数值法数值法n通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、有限元法有限元法边界条件的类型：边界条件的类型：n实际边值问题的边界条件分为三类：实际边值问题的边界条件分为三类：1.已知整个边界上的电位函

3、数，称为已知整个边界上的电位函数，称为“狄利克莱狄利克莱”边界条件边界条件2.已知整个边界上的电位法向导数，称为已知整个边界上的电位法向导数，称为“诺伊诺伊曼曼”边界条件边界条件3.已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数，称为混合边界条件上的电位法向导数，称为混合边界条件格林公式格林公式两式相减，得格林第二恒等式两式相减，得格林第二恒等式4.2 4.2 唯一性定理唯一性定理n边值问题的求解是偏微分方程的求解，同边值问题的求解是偏微分方程的求解，同时要考虑解得时要考虑解得存在性存在性、唯一性唯一性和和稳定性稳定性。n已知整个边界上的电位函

4、数（第一类边界已知整个边界上的电位函数（第一类边界条件），则场域的解答是唯一的。条件），则场域的解答是唯一的。n已知整个边界上的电位法向导数（第二类已知整个边界上的电位法向导数（第二类边界条件），则场域的解答是唯一的。边界条件），则场域的解答是唯一的。n已知一部分边界上的电位函数和另一部分已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数（第三类边界条边界上的电位法向导数（第三类边界条件），则场域的解答是唯一的。件），则场域的解答是唯一的。唯一性定理证明（用格林公式，反证法）唯一性定理证明（用格林公式，反证法）n用于求解分布在导体附近的电荷产生的场。用于求解分布在导体附近的电荷产生的场。

5、4.3 4.3 镜像法镜像法 几个实例：几个实例：qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q等效电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 镜像法镜像法 (method of images) 实质：实质：是以

6、一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具代替边界的影响，将原来具有边界的有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。 依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位镜像位置置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷（th

7、e image charge），而这种方法称为而这种方法称为镜镜像法像法。 关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则：1. 1. 镜像电荷必须位于求解区域以外镜像电荷必须位于求解区域以外2. 2. 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。 1. 点电荷对无限大接地的导体平面的镜像点电荷对无限大接地的导体平面的镜像 介质 导体 q r P 介质 q

8、 r P hhrq 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4因为无限大接地导体平面的电位为零因为无限大接地导体平面的电位为零，求得，求得qq4.3.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 电荷守恒：电荷守恒：当点电荷当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷将产生

9、异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷镜像点电荷代替导体表面上异性的代替导体表面上异性的感应电荷感应电荷的作用。根据电荷守恒原的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。 半空间等效：半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为上述等效

10、性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。在上半空间中，源及边界条件未变。2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像电荷的密度和位置分别为镜像电荷的密度和位置分别为 介质 导体 r P 介质 r P hhr 介质 hz, 3. 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 xy1h2h2h1hq1qq3qq2qq 如图，两半无限大接地导体平面如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，则必须引入则必须引入3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像

11、电荷。如图所示。 对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为构成的边界，若夹角为 ，则，则所有镜像电荷数目为所有镜像电荷数目为2n-1个。个。n xqq 对于半无限大导体平面形成的对于半无限大导体平面形成的劈形边界劈形边界应用镜像法时，仅当这应用镜像法时，仅当这种导体劈的夹角等于种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个几个镜像电荷。例如，镜像电荷。例如，夹角为夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。

12、3/3/3q例：真空中，电量为1C的点电荷位于点P(0,0,1)处，xOy平面是一个无限大的接地导体板。求z轴上电位为10000V的点的坐标。解：根据镜像法，可知上半空间的电位是) 1(1) 1(14),(2222220zyxzyxqzyx406101111410), 0 , 0(zzz45. 067. 121zzxzOPfqo1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点

13、的连线上。那么，球面上任一点电位为电位为 rqrq 4 4可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 qrrq4.3.2 导体球面的镜像导体球面的镜像Padrqr 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 OPq 与与 OqP 相似，则相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为rrfarrqfaq镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为

14、fad2这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。 fqoPadrqr 若导体球若导体球不接地不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷像电荷 q 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令

15、且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q” 必须位必须位于于球心球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q” 以提供一定的电位。以提供一定的电位。qq qfOPadrq2. 点电荷对不接地导体球面的镜像点电荷对不接地导体球面的镜像 真空中一点电荷真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为点电荷距离球心

16、距离为d（da）。求：）。求： 导体球接地时空间电导体球接地时空间电位分布。位分布。 Q qOr rRdd( , )P r解解: :当导体球接地时，由镜像法，原问当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在题可等效为空间只存在Q和镜像电荷和镜像电荷q。易知：易知： aqqd 2add例例 则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：( , , )P x y z2202422142cos()/2 (/ )cosQrdrdarad radr ad导体球接地，因此球内空间电位为导体球接地，因此球内空间电位为0 0，即：，即：0()ra1. 点电荷对电介质分界平面的镜像点电荷对电介质分

17、界平面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。，求空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。等效极化电荷作用。qhO 1 2 zqhO 1 zhqPR1 R1 区域区域1 1的电位由的电位由q和位于区域和位于区域2 2中的镜像电荷中的镜像电荷q共同产生共同产生hO 2 PR2 qq z 区域区域2 2的电位由的电位由q和位于区域和位

18、于区域1 1中的镜像电荷中的镜像电荷 共同产生共同产生q 4.3.3 介质平面的镜像介质平面的镜像111114qqqqRR 221( , , )()4qqx y zR22221(0)4()qqzxyzhqhO 1 zhqPR1 R1hO 2 zPR2 qq q 在在z=0=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件1200121200zzzzzz12qqqqqqqq12121212(1(qqqqq 计算媒质 中电位)计算媒质2中电位)2. 线电流对磁介质分界平面的镜像线电流对磁介质分界平面的镜像hzx 2 1IO问题：线电流位于两种磁介质分界面上方问题：线电流位于两种磁介质分界面上方h，求空间

19、磁场分布。，求空间磁场分布。分析：在介质分界面上将存在磁化电流，空间分析：在介质分界面上将存在磁化电流，空间中的磁场由磁化电流和直线电流中的磁场由磁化电流和直线电流I共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像线电流等效磁化电流作用。解决问题方法：镜像法，即用镜像线电流等效磁化电流作用。 区域区域1 1的磁场由的磁场由I和位于区域和位于区域2 2中的镜像线电流中的镜像线电流I共同产生共同产生 区域区域2 2的的磁场由的的磁场由I和位于区域和位于区域1 1中的镜像线电流中的镜像线电流I”共同产生共同产生rhhPzx 1IH1H2OrI 1hzx 2 1IOhPzx 2I+IOr 2为了维持

20、边界条件不变，求出的上半空间及下半为了维持边界条件不变，求出的上半空间及下半空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件，空间的场在边界上应满足恒定磁场的边界条件，即即 。由此求得。由此求得2n1n2t1t,BBHHrIrI 2e 2e21HHHrII 2eH )()(2 1 IIIIIIII IIII2 1 12 2 1 12 rIrI 2e 2e21HHHrII 2eHhPzx 2I+IOr” 2x 1 1rhhPzIH1H2H1H2HOrI2n1n2t1t,BBHH例例 设一根载有恒定电流设一根载有恒定电流 I 的的无限无限长长导线与无限大的导线与无限大的理想导磁平面理想导磁平面平平行放置，如图示。导线与平面间的行放置，如图示。导线与平面间的距离为距离为 h ，试求上半空间任一点磁，试求上半空间任一点磁场强度。场强度。 Xhyx = 0IOXhyx = 0IOH1rhhPyx 0IH2OrI 0解解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流 I