点估计的评价标准ppt课件

1、8.2 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数, 不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用常用规范规范(1) 无偏性(3) 一致性(2) 有效性)(E 定义定义 设设 ),(21nXXX是总体X 的样本是总体参数 的估计量),(21nXXX则称是 的无偏估计量. 存在,)(E都有且对于任意 无偏性),(21nXXX是总体X 的样本,证明: 不论 X 服从什么分布,nikikXnA11是k的无偏估计量.证证nikinikikXEnXnEAE11)(1)1()(例例1 设总体设总体X 的的 k 阶矩阶矩)(kkXE存在因

2、此niXEkki, 2 , 1)(由于kknn1特别地, 样本二阶原点矩niiXnA1221 是总体二阶的无偏估计量)(22XE原点矩是总体期望 E( X ) 的无偏估计量X样本均值例例2 设总体设总体 X 的期望的期望 E( X )与方差与方差 D( X )存在存在, ),(21nXXX是 X 的一个样本, n 1 (1) 不是 D( X ) 的无偏估计量; niinXXnS122)(1(2) 是 D( X ) 的无偏估计量. niiXXnS122)(11证证212121)(1XXnXXnniinii前已证. 证明证明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()()(

3、)(1)(121212XEXEnXXnEniinii因此)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故 证毕.例例3 设设),(21mXXX是总体 X 的一个样本 ,X B ( n , p ) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成只要将未知参数表示成总体矩的线性函数总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩然后用样本矩作为总体矩的估计量的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量无偏估计量. npXEX)(令

4、)1 ()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此, p 2 的无偏估计量为) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 设总体设总体 X 的密度函数为的密度函数为00, 01);(xxexfx0为常数),(21nXXX为 X 的一个样本证明X与,min21nXXXn都是的无偏估计量证证 )(1XEEX故)()(XEXE是 的无偏估计量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 nZ 是 的无偏估计量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1)(1 (1

5、),(1)(21zXzXzXPzFnZ例例5 设总体设总体 X N ( , 2),),(21nXXX为 X 的一个样本求常数 k , 使niiXXk1|为 的无偏估计量niiniiXXEkXXkE11|解解注意到XXi是 X1, X2, Xn 的线性函数, niiXXnXXnXX) 1(1210)(XXEi21)(nnXXDi21, 0nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|)(|dzennznnz221201212nn122 niiniiXXEkXXkE11|故nnkn122令)1(2nnk),(2111nXXX都是总体参数 的无偏估计量, 且)()(21DD则称12比更有效.

6、定义定义 设有效性有效性),(2122nXXX所以所以,X比比,min21nXXXn更有效更有效.是是 的无偏估计量的无偏估计量,问哪个估计量更有效？问哪个估计量更有效？ X与,min21nXXXn由前面例由前面例4 可知可知, 都都00, 01);(xxexfx0为常数为常数例例6 设设 密度函数为密度函数为),(21nXXX为为 X 的一个样本的一个样本,221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ，例例7 设总体期望为设总体期望为 E( X )= , 方差方差 D( X )= 2 ),(21nXXX为总体X 的一个样本设) 1 (常数. 11niic., 2 , 11ninci证明i

7、niiXc11是 的无偏估计量(2) 证明X比iniiXc11更有效证证: (1) niiiniicXEcE111)()(2) niiiniicXDcD122121)()(ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(结论结论算术均值比加权均值更有效.而njijiniiniicccc1122121例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.213212211212143413132XXXXXX都是 的无偏估计量由例7(2) 知3最有效.罗罗克拉美克拉美Rao Cramer） 不等式不等式假设是参数 的无偏估计量, 那么)(),(

8、ln1)(02DXpnED其中 p ( x , ) 是总体 X 的概率分布或密度函数， 称为方差的下界.)(0D 当 时, 称 为达到方差下界的无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.)()(0DD例例8 设总体设总体 X 的密度函数为的密度函数为00, 01);(xxexfx),(21nxxx为 X 的一个样本值.求 的极大似然估计量，并判断它是否是达到方差下界的无偏估计量.0为常数解解 由似然函数由似然函数niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的极大似然估计量为XXnnii11它是 的无偏估计量.nXnDDnii

9、21)1()(而xxfln),(ln故 是达到方差下界的无偏估计量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定义定义 设设 是总体参数是总体参数 的的),(21nXXX则称是总体参数 的一致(或相合)估计量.估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 依概一致性一致性率收敛于 , 即,0一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论1. 样本样本 k 阶矩是总体阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量阶矩的一致性估计量. 2.设 是 的无偏估计量, 且 , 那么0)(limDn 是 的一致估计量.由大数定律证明用切贝雪夫不 等式证明矩