数学教师的专业发展 罗增儒

1、数学教师的专业发展“行动成才、岗位成家”的一二三陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编：710062电话：E-mail：我将要与大家交流的话题是“数学教师的专业发展”，采用的方式是“讲故事”（故事也就是案例，讲故事也就是教学聊天, 方言亦叫摆龙门阵、侃大山、神吹、唠嗑（东北）, 片闲传（陕西），倾计（广东）我真诚希望，我们今天的交流，既不辜负这个美好的金秋、更不辜负你们更加金色、美好的未来教师发展的途径很多（有的岗位成才、有的行政成官、有的读学位成家），岗位成才教师的发展也会有自己的个性化轨迹，切入点各有不同：有的在职业理想中学习；（从小就有当教师的理想）有的在教学实践中研究；（在教学第一线摸爬滚打

2、，勤奋努力）有的在案例分析中前进；（不停顿的反思课怎么上、题怎么解）有的在同伴互助中提升；有的在论文写作中发展；（爱写教学笔记，投稿发表文章）有的得益于名师的指点；（或提携）有的由于在某个公开课上一炮打响；有的在在指导学生学习、写作小论文上获得成功；所有这些，你们都可以根据自己的实际加以选择和借鉴下面，我想说一些基于个人体验的、“行动成才、岗位成家”的建议：一个机遇，两条途径，三重境界一个机遇：课程改革两条途径：在“校本教研”中“行动成才”，在“教育数学”中“岗位成家”提高数学教学和数学解题两个核心竞争力，占领数学教学和数学解题两个专业制高点，成为数学教育家或教育数学家三重境界：第一境界是经验

3、型教师（站上讲台），第二境界是技术型教师（站稳讲台），第三境界是研究型教师（站好讲台）1 课程改革的历史机遇（建议1）随着新世纪课程改革的开展，我国数学教学的生活化取向、活动化取向、个性化取向正在热情地展开（体现了人本主义、大众数学、建构主义），同时也面临许多始料未及、而又缺乏现成解决方案的问题，向我们提出了从理论到实践的挑战、从教学到数学的挑战，这是教师发展的历史机遇（参见郑毓信数学教育改革十五诫数学教育学报，2014，6）需要研究的问题很多比如，一方面对所有的课程都有“三维目标”（知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观），另方面，义务教育阶段数学课程目标（2011）对数学课程分为总目标

4、和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述（有的学科还从五个、六个方面加以阐述）；此外还有“四基”（通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），它们之间是什么关系？标目容内各门课程数学课程每学期数学课程每一章数学内容每一节数学内容课程或课堂目标知识与技能知识技能数学思考过程与方法问题解决情感、态度与价值观情感态度过程与方法是否对应“数学思考”与“问题解决”？“是”的原因是什么？“不是”的理由又是什么？继续展开，可思考的问题就更多了.（下面，先看具体的例子） 1-1 教学中遇到的一些案例故

5、事1：线面垂直的引进在课堂引入时，有老师创设如下教学情境（学生起立、问好之后） 教师：刚才你们起立时，身体是怎样的？ 学生：是站立的教师：“站立”是什么意思？如果同学们在操场上集合，当体育老师喊“立正！”时，你们应该怎么做？ 学生：站直身子 教师：如何判断你们的身子是否站直了？ 学生：与地面垂直 教师：那么怎样才叫做与地面垂直呢？与地面垂直的意义又是什么呢？ 学生：教师：请你们先在小组中讨论一下，再回答老师好吗？也可以结合一些例子说明，譬如体操运动员在平衡木上怎样才不会摔下来；幻灯投影时，如果要使图像的大小和形状都不改变，那么光线与屏幕应该是什么关系等等经过一番讨论后，教师再引导学生举出生活中

6、熟悉的例子，如旗杆、电线杆、桥墩、楼房的立柱、树木生长的方向这样自然而然地得到了直线与平面垂直的概念，学生便有了数学就在身边的感觉(摘自刊物文章) 评析：这位老师接着上课起立、自然地创设“线面垂直”的情景是值得肯定的，但学生是否获得了直线与平面垂直的概念呢？是否获得了直线与平面垂直的判别方法呢？值得考虑另外，立正、运动员在平衡木上不摔下来、幻灯投影、旗杆、电线杆、桥墩、楼房的立柱、树木生长的方向等等不加以提炼是数学吗？是学生身边的数学吗？至于重心投影不离支面就不会摔下来，它与“线面垂直”有关系吗？幻灯投影能不改变图像的大小吗？我们说，有效的情景应该起始于精细的数学认知分析，使情境具有数学对象的

7、必要因素和必要形式（这是一个创作与创造的过程），只注意情景的形式，缺失数学及其本质（去数学化），会好心办坏事并且，未加提炼的生活现实还不是数学！生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们提供太多的理性承诺，学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验如何防止“去数学化”，既是教学的挑战，又是数学的挑战故事2：勾股定理与正弦定理的教学设计（1）勾股定理的设计测量你的两块直角三角尺的三边长度，并将各边的长度填入下表：根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系评析：这个活动的设计值得商榷，一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数让学生猜想三边长分别为3、4、5

8、或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是容易的事，比如，学生可以由和，猜想（还可能有学生得出整除；并且，当时有无穷个直角三角形满足），更何况要猜想三个非整数之间的平方关系这样处理，容易导致学生盲目的猜想和虚假的探究，在这“盲目”和“虚假”中知识夹生、变相填鸭和浪费时间（2）正弦定理的设计测量三角形的三边长度、三个角度，填表计算结果，并作小组交流，会得出有什么结论？小组一二三评析：说四点看法（1）与“勾股定理的设计”一样，这样处理，容易导致学生盲目的猜想和虚假的探究，在这“盲目”和“虚假”中知识夹生、变相填鸭和浪费时间（2）关于数学探究 “为什么要计算与的比”缺少交待探究不是把学生送

9、上公共汽车，美其名曰：学生自己走到了目的地（3）这种探究没有反映定理的本质正弦定理的一个本质含义是:平面几何中“大边对大角”的精确数量化，也就是找出“三角形的边与角的具体关系”清对比下面的处理：另一方案：由“大边对大角”考虑所学过的增函数（1）（2）（3）（4）（5）这是在找三角形的边与角的具体关系，是在真探究，但会不会太发散还可以研究.（4）这种探究也没有反映定理的另一个本质：“三角形”的代数刻画（怎样用代数式刻画三角形？）我有一次听完课后问：“能写出正弦定理的条件和结论吗？能写出正弦定理的逆命题吗？能证明正弦定理逆命题的真假吗？”结果是：全军覆没！逆定理 若为正实数，且， ，则对应的线段构

10、成一个三角形，且边的对角为，边的对角为，边的对角为证明：由已知知中最多有一个不是锐角，因而，以，为两角夹边可以作，使，由，得再由正弦定理，有 ，得 ，所以对应的线段构成一个三角形，边的对角为，边的对角为，边的对角为故事3 他们需要什么帮助？（1）化简他需要什么帮助？这位学生既懂二倍角公式，又懂点英语这是应该肯定的，但存在两个混淆：把作为数学整体符号的英文与作为数学个体符号混为一谈了（约掉了分子分母的），把作为数学符号的英文与作为英语单词的英文混为一谈了（2）在一次公开课上，教师讲完“负负得正”的法则后，有一道题（3）×（4）？学生除得出12外，还有得出15，9，12的教师请这些学生解

11、释答案的由来学生1：在数轴上，从3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好到15的地方，故得 图1 学生2：在数轴上，从3出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好到9的地方，故得图2 （两个学生说法一样，但图示不同，结果也就不同）学生3：在数轴上，从原点出发，反方向移动4次，每次移动3格，恰好到12的地方，故得 图3 他们需要什么帮助？这个案例以“在数轴上如何自然地说明负负得正规定的合理性”的方式，又一次把传统的教学难点提到了议事日程上来我们认为，恐怕首先要在数学上搞透彻，然后才能在教学设计上说清楚、讲明白（数学的挑战！）一个显而易见的问题是：在数轴上如何显示与的区别？1-2 问题涉及的关系所

12、涉及的关系主要有：（1）关注过程和关注结果的关系（过程与结果，预设与生成）没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果，是事实的外在灌输，不追述结果的过程是缺乏价值、缺乏意义的过程，是时间的低效消费过程与结果并重精心预设是精彩生成的基础，精彩生成是教学观念、教学能力和精心预设的升华预设与生成并重（2）学生自主学习和教师讲授的关系（教师与学生，讲授与探究）在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学应该是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动（形式主义：必须撤讲台摆桌子，必须先学后讲，教师讲不得超过10分钟，）误解接受学习是旧的，探究学

13、习是新的，其实，历史上是先有探究学习后有接受学习，探究学习与接受学习各有优势与局限性；讲授法不是万能的，没有讲授法是万万不能的；应该讲授与探究结合（数学教学不应只讲“学生自主探究”，却完全不提“教师的必要指导”） （3）合情推理和演绎推理的关系（归纳与演绎）数学上有两种类方法，一类是发现的方法，一类是论证的方法直觉用于发现（有利于创新但未必可靠），逻辑用于证明（可靠但不利于创新）应既教猜想又教论证（4）生活情境和知识系统性的关系（生活经验与知识体系）生活中只有数学的原型和数学的应用，谁见过数学上的“1”、几何上的“点”？ 缺乏直观的概念是盲目的，缺乏概念的直观是空虚的，数学教学既要有“引进的情

14、景化”，又要有“提炼的去情景化”（数学化）没有加以“数学化”提炼的情境、不恰当的情境是负情境、比理解内容还难的情境、形式主义与繁琐哲学的情景实际上都是一种“负情景”，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢侈消费 （5）改革与继承的关系（传统与创新）用一句话来概括中国数学教育的特色，那就是：“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”这里的“数学基础”， 其内涵就是三大数学能力：数学运算能力、空间想象能力、 逻辑思维能力；这里的“数学发展”是指：提高用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，促进学生在德智体各方面的全面发展与此相应的教学方式，则是贯彻辩证唯物主义精神，进行“启发式”教学，关注课堂教学

15、中的数学本质， 倡导数学思想方法教学，运用“变式”进行练习，加强解题规律的研究（参见张奠宙关于中国数学教育的特色与国际上相应概念的对照人民教育，2010，2） 如何继承而又促进学生的发展？ 应该把教学的主动权交给教师，有关部门可以提出指导性意见（如提出四种方式学习方式：除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式），具体实施由教师决定以前，行政决定农民怎样种地，粮食不够吃，后来，农民决定怎样种地，粮食吃不完课程改革与教师专业发展之间存在着良性循环：一方面，课程改革为教师专业发展提供机会，并促进教师的专业发展；另一方面，教师的专业发展是课程改革的重要支撑，课程改革也因教师活

16、跃的身影和创造的激情而充满活力课程改革使得中国成为最需要教育家的时候，也成为最可能产生教育家的时候2 教学发展的两条途径2-1 在“校本教研”中“行动成才”（建议2）校本教研是一种行动研究，行动研究是实践者在行动中为解决自身问题而参与进行的研究教师结合自己的教学实际进行校本教研，就是一种行动研究（1）什么是校本教研？校本教研是教师在教学过程中以问题为中心开展的研究活动; 校本教研体现了行动研究，并被认为是教师专业发展的必由之路学校是校本教研的主阵地；教师是校本教研的主体；教学问题是校本教研的核心；案例分析是校本教研的具体形式 （2）校本教研的核心要素 实践与反思，自我反思：是教师个人以自己的教

17、学活动为对象，对其中的教学行为、教学现象和教学问题进行审视、分析、探讨、研究，从而最终解决问题并促进自身的专业发展;自我反思是教师与自我的对话; 自我反思是校本教研的基础教学前反思：运用已有的知识、经验对教学进行“精心设计”，提高教学的预测和分析能力教学中反思：边教学、边反思，具有监控性教学后反思：对教学过程中出现的现象、问题及时进行分析、研究、总结、提炼，使教学经验理论化交流与合作 交流与合作是指教师之间针对某些教学问题进行相互切磋，合作研讨，彼此分享，共同成长；它是教师与教师之间的对话；它是校本教研的主要标志包括优秀教师帮助和指导青年教师 引领与创新 专业引领是专业研究人员参与校本教研，在

18、其中发挥引领作用，使研究不断发展（防止萝卜煮萝卜还是萝卜）专业引领的实质是理论对实践的指导，其中一个有效的方式是“案例分析”教师要读书：教育家的书，学科专业书：学习方法书，心理学的书，订阅专业报刊等 教学研究的一些案例故事4：“二分法”生活情景的提炼第1、教学情况的呈现如所周知，闭区间上的连续函数，若，则存在，使作为连续函数的一个应用，高中新课程介绍了“二分法”求方程的近似解在这个课题的的教学中，常常见到教师创设商品“猜价格”游戏，每次猜后老师都会给出“多了”还是“少了”的提示，说高了的往低猜，说低了的往高猜，不断调整，逐步接近商品的真正价格，由此引入“二分法”然后，以求一个具体方程（如）的近

19、似解为例，经历求近似解的过程，总结出“二分法”的一般程序但是，学生学完这节课之后，感到“猜价格”与“二分法”之间，现实情景与数学内容是两张皮比如，除了“一半、一半又一半”类似之外，在“猜价格”情景里，学生见不到“连续函数”，见不到“区间端点的函数值异号”，见不到“函数零点”，见不到“方程”，见不到“方程的解”等等到底是：“猜价格”游戏不具有“二分法”的必要因素与必要形式（所以，现实情景与数学内容必然是两张皮），还是教学没有组织学生去建立联系，教师没有发挥出主导作用？报刊上存在专家的不同声音，你是什么意见？（讨论发言）第2、数学化的提练“猜价格”游戏与“二分法”的联系，不仅是“一半、一半又一半”

20、类似，下面是一个数学化的提练过程： （1）设商品的价格为元，它在元与元之间（），人猜的价格为元，得连续函数，定义域为；并且“人猜对”对应着方程的根（2）取中点，若猜得高了，表明，则在区间上再取中点；若猜得低了，表明，则在区间上再取中点（3）余此类推，区间长度越来越小，也就是猜的价格越来越接近真实价格，所猜的价格就是方程根的近似值猜对时就是方程的准确解（4）于是，我们可以用不断取中点的方法来求方程的近似根“二分法”第3、对案例分析（校本教研）的启示（1）如何由“猜价格游戏”（ 生活化情景）提炼出连续函数和它的应用二分法？就是一道题下来，设商品的价格为元，它在元与元之间，人猜的价格为元，得连续函数

21、，定义域为；并且“人猜对”对应着方程的根，就是解了一道数学题.学生在这个数学活动中，学到了二分法，看到连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想”，“近似逼近的数学思想”，“数形结合的数学思想”，“特殊与一般的数学思想”，“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学去学会思维（不要误解，上课的前半段讲概念、证定理没有解题，后半段才有解题）（2）我们通过这个案例和反思，来启引大家认识案例，关注案例分析，体会案例分析的过程，感悟“我要进行案例分析，我能进行案例分析”的理念，实际上是在进行“案例教学”（3）以上我们共同经历一个“案例”，共同进行了一次

22、“案例研究”可以从中获得很多收获，如，创设情境问题的一些理论认识：认识到现实情境可以成为学生认识抽象数学模式的“认知基础” 强调从具体情景到抽象数学模式之间有一个“数学化”的提炼过程 提出一些注意事项如，创设的情境应具有相应数学对象的必要因素与必要形式；要注意情景的局限性等教学处处有创造的空间我们的认识不要封闭，要广开思路，面对教材、专家我们的认识也不要封闭 故事5：“二分法”中数学思想的提炼人们认为，在“二分法”课题中有丰富的数学思想，如函数与方程的数学思想，近似逼近的数学思想，数形结合的数学思想，特殊与一般的数学思想，程序化地处理问题的算法思想等等请研讨“数形结合”数学思想的具体体现（研讨

23、）到底“二分法”课题中是怎样“数形结合”的？常常只听到“由数到形”的描述：把方程的解转化为函数图象与轴的交点（太笼统，学生掌握不了）其实，这里既有“由数到形”、又有“由形到数”，是一个双流向的“数形结合”第1、由数到形的操作化落实“由数到形”经历了4个操作步骤：方程的解方程组的解函数的零点函数图象与轴的交点数式逐渐演变为形象，几何味越来越重、越来越浓 （1）方程的解.首先是求一元方程的近似解这是一个纯代数的问题，一维的、静态的（2）方程组的解.令为，问题转化为求二元方程组的解这还是一个纯代数的问题，保持静态特征，但已经是二维的了，便于向坐标系过度（3）函数的零点.把方程转变为函数，把方程转变为

24、函数值为零这虽然还是一个纯代数的问题，但已经是二维、动态的了函数的零点双兼几何与代数.（4）函数图象与轴的交点.通过坐标系把函数转化为图象，把转化为图象与轴的交点（零点）这就把数变成了形，零点在轴上的2与3之间（如图4）这一过程的基本线索是把方程的解（数）转化为函数图象的零点（形）第2、由形到数的操作化落实“由形到数”经历了4个操作步骤：坐标系数轴表格二分法形象逐渐演变为数式，代数味越来越重、越来越浓 （1）坐标系在二维坐标系上可以看到函数的图象与轴的交点（零点），这个交点（零点）在轴的2与3之间这是二维坐标系的形象（如图4） （2）数轴因为是找轴上的零点，所以考虑一维数轴上的区间就够了，取区

25、间的中点，用区间套逐步逼近零点这是一维数轴上的形象，零点在区间上被逼近（参见图4中的轴） 图4（3）表格，把逼近的形象用数值反映出来，计算端点的函数值，填写在表格上，区间两端点的数值越来越接近零点这就把一维形象通过表格呈现为“数”（4）得出“二分法”的一般程序这是一维的纯代数表达，也是从特殊到一般的归纳这一过程的基本线索是把找函数零点（形）的方法直观地提炼为“二分法”程序（数）学生在这个双流向“数形结合”的活动中，从特殊到一般提炼出了“二分法”，看到了“函数与方程的数学思想”、体验了“近似与逼近的数学思想”，积累了“程序化地处理问题的算法思想”没有行动支撑的思想会是空洞而生硬的，没有思想指导的

26、行动会是盲目而肤浅的数学教学既要用数学思想去指导教学设计，又要用教学操作去落实数学思想故事6 直线与平面垂直的判定的探究活动第1、探究活动的呈现讲授“直线与平面垂直的判定”时，有这样一个探究活动（人民教育出版社A版数学（必修2）§2-3-1） 如图5，请同学们准备一块三角形纸片，我们一起来做一个实验：过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上（与桌面接触） （1）折痕与桌面垂直吗？ 图5（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？容易发现，当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直（图6） 图6 思考（1），有人说，折痕所在的直线与桌面所在的平面上一

27、条直线垂直，就可以判断垂直平面你同意他的说法吗？（一般不行，在的垂面上可以）思考（2），如图6，由折痕，翻折后垂直关系不变，即，由此你能得到什么结论？一般地，我们有下面的判定定理定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直第2、探究活动的改进 我们说，这个活动有沦为“低效教学”的危险，照本宣科的教师会将学生的“容易发现”代替他（她）应该发挥的主导作用有两个值得思考的问题：（1）为什么要考虑两条相交直线？（故事2中“为什么要计算与的比”）（2）没有把活动结果与“线面垂直的定义”相对照为什么图5的折痕与桌面不垂直？为什么图6的折痕与桌面垂直？判别的标准只有一个：线面垂直的定

28、义就是看直线是否与平面内的任意一条直线都垂直 但是，既不作严格的证明，又要有直观上的说服力，能做到吗？追求高效课堂的教师给出了有出息的回答方案：垂直于一条直线不行，直线可以转动；垂直于两条平行直线也不行，直线也可以转动但垂直于两条相交直线就不同了，直线一转动就不能保持与两条相交直线都垂直对图6，在桌面上放置一面镜子，看折痕的影子是否与共线，若不共线（对应图5）则容易找到镜子上的一条直线与折痕不垂直（比如折痕与倒影所成角的平分线）；若折痕与倒影共线（对应图6），这时可以让图6右边的图形绕旋转，旋转过程中可以看到：（1）折痕所在的直线不动；（不变性）（2）保持不变；（不变性）（3）可以取遍平面上所

29、有方向的直线；根据线面垂直的定义，折痕与镜子上的任意一条直线都垂直旋转过程可以先一圈，明白了，减为半圈，最后不旋转也明白由此可得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（既不作严格的证明，又要有直观上的说服力）这体现了结合教学进行研究行动研究（成为数学教育家的前景）2-2 在“教育数学”中“岗位成家”（建议3）“教育数学”是张景中院士首先提出的一个新概念（数学教师，1989年第2期，署名井中），它的任务是：为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造；承担这一任务的是教育（数学家欧几里得的几何原本、希尔伯特的几何基础、柯西的分析教程、布尔巴基的数学原理等都是教育数学

30、在中国数学的历史上，优质小丛书的创作、“初等数学”的研究、竞赛数学与高考数学的构建等，都是“教育数学”的组成部分如果说，面对学生数学学习的困难有人用“学少一些、学浅一些”来解决的话，那么，“教育数学”则着眼于提供“新的结构、新的方法、新的体系”,使学习更容易而又更丰富（我国的课程标准好像是:由数学教育家发布，然后由教育数学家修订）进行“教育数学”的研究可以继续搜寻初等数学的新结论，为初等数学的理论宝库增添新的资源；也可以阐发现代数学与初等数学的联系，为现代数学的发展提供深刻的背景；还可以既作为解题理论提炼的基本素材、又作为解题理论检测的实验园地这些工作能使解题研究不再是一株只开花不结果的绿树当

31、前，抓住下面3个基本方向进行“教育数学”研究是有益的，既便于开展工作，又能够出成果（有成为教育数学家的前景） （1）从高等数学出发，应用高等数学的知识和能力，去高观点处理初等问题，取得初等问题的高统一，新推广、深发展.容易理解：初等数学中的好些已知部分，由于采用的观点高了，方法先进了，是会得到升华的；其中的一些内容，也唯有采用高观点，新方法，才能完成理论上的体系，才能达到结构上的完整，才能获得方法论上的统一数系、函数等概念和理论，仅限于中学范围，只能作比较粗糙的、有点松散的处理；而不等式证明、极值求解、解析几何的运动以及更广泛的解题方法，除非从高等数学的思想方法中吸取营养，否则将永远是解题者的

32、个人机智和因题而异的一招一式，因此，用高等数学的知识去统一初等数学的概念和理论；用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律；用高等数学的能力去推广初等数学的已知结论和增补初等数学的未知空挡等等，都是既有理论水平又有实际价值的课题初等数学中的一些空挡，也会由于现代思想的高能量幅射和现代化技术的高效率开发而显现出来如所周知，波利亚以初等数学为题材，进行解题方法和数学发现的研究，获得了世界公认的成果吴文俊教授研究计算机证明平面几何题，不断涌出新的定理 （2）从初等数学出发，应用初等数学的思想、观点和方法，去寻找高等问题的初等处理或实际应用.应该认识到，高等数学的许多基础部分都植根于初等数学，至今，

33、初等数学的各种方法、原理、公式，模型还不断被高等数学所吸收、改造、运用和发展另一方面，高等数学的许多专题，又是完全可以初等化、通俗化的比如，循环数列、函数方程、母函数、图论、组合数学等不是已经源源涌进中学校园、特别是第二课堂了吗? （3）对初等数学进行横断面的综合研究.截取初等数学中的某些横断面，并尽可能与其他相关学科作交叉，将有可能产生新课题、新领域或新学科笔者在这方面主要做了三件互有联系的工作：进行“数学解题学”的建设这是截取“解题”这一横断面，进行解题过程的理论分析，主要是从解题活动本身提炼理论价值，探索“怎样解题”、“怎样学会解题”的规律，努力总结人们发现解法、找到思路、学会解题的思维

34、模式由于理论构架的不同，可以有百花齐放的解题观点，如解题推理论，解题化归论，解题化简论，解题信息论，解题系统论，解题差异论，解题坐标系等等最重要的是，我们要了解已有的观点，并形成之际的观点附：数学解题新概念的13个要点：（1）对数学题、数学解题、数学解题教学作出了初步的界定（特别提示:如何构建概念、怎样发现和论证定理也是题！）（2）认为：回答“怎样解题”“怎样学会解题”的学说叫做“数学解题学”（“数学解题学”研究的对象是“解题活动”（是从“解题活动”本身提炼理论价值），提出了“数学解题学”建设工作中的基本矛盾和主要标志，给出了支撑解题理论的一批名词：解题思想、解题观点、解题目的、解题过程、解题

35、程序、解题方法、解题原则、解题策略、解题分析、解题力量等）（3）认为成功解题有四个基本要素：知识结构、思维能力、经验题感、情感态度，从而不成功或失败的解题也与这些因素缺失有关，总结为四类错误：知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误（4）总结了解题推理论、解题化归论、解题化简论、解题信息论、解题系统论、解题差异论、解题坐标系等解题观点认为，出现百花齐放的解题观点是一个学说走向成熟的必经阶段，赞成先了解各种解题观点并最终形成自己的解题观点 （5）认为数学家解题是发现和创造的过程，教学解题是师生再发现与再创造的过程教学是一种学术活动，解题教学中的数学题可以是一个微型的学术课题，解答数学题应该

36、是探索与发现的研究活动，解题不仅仅是熟练和巩固，它也是获取数学新知识和数学新技能的学习过程 （6）认为数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学，是通过数学去学数学（7）认为数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学，是通过数学活动去学会数学（8）认为数学解题是评价学习时不可削弱的基本构成，解题测试的基本理念是呈现数学，是通过数学内容去测试数学水平（9）提出了数学教育中数学的四种形态和数学教学的三个世界数学的四种形态是：数学的生成形态、数学的学术形态、数学的教育形态、数学的再生成形态；数学教学的三个世界是：生活世界、数学世界、教学世界，解放教

37、学世界、从而解放学生世界的一个途径是：教学世界与生活世界的融通（10）认为解题教学是解题活动的教学解题活动是一种思维活动，解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程是学习时间的奢侈消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，学会数学地思维，把过程与结果结合起来（仅仅满足于获得答案意味着理解的死亡）（11）认为暴露数学解题的思维活动有两个关键的过程第一过程是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程，第二过程是对初步思路反思的元认知过程，解题教学不仅要有第一过程的暴露（已引起重视

38、），而且还要有第二过程的暴露（想知道很多又有很多不知道）（12）认为科学的解题习惯有四个步骤：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思每个人的完整解题都会进行“看题、想题、写题、回题”四个基本操作，并可提炼为科学解题的四个步骤，问题是能不能将这个感性的认识上升到理性的高度（比如：大家都知道解题的首要前提是理解题意（审题），但审题“审什么、怎么审”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的思维核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的最终呈现是书写表达，但书写“写什么、怎么写”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道学会解题的好途径是回顾反思，但反思

39、“思什么、怎么思”能够说清楚、讲明白、做到位吗？）（13）认为学会解题要经历四个阶段：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析,而自觉分析通常要经历整体分解与信息交合两个阶段进行“数学竞赛学”的建设这是截取“竞赛”横断面进行综合研究可以毫不夸张地说，中国初等数学研究的现代繁荣，得益于数学竞赛的先锋突破与后盾依托作用如今，作为数学的数学竞赛已经形成一个教育数学的新层面，作为教育的数学竞赛也诞生了一个数学教育的新分支，“数学竞赛学”正呼之欲出 （对于数学竞赛，我们有这样的比喻：在一片荒芜空白的土地上，老一辈数学工作者开疆拓土、引水浇肥，终于种起了庄稼，获得了丰收，同时也长起了杂草，甚至毒草于是有人叫

40、喊，长杂草、长毒草是由于数学工作者种庄稼造成的；也有好心人来清理土地，结果首先砍掉的不是杂草、毒草，而是庄稼比如，大量的小学“奥数”或“奥校”，明明是为“择校”服务的“应试教育”，明明是为了赚钱的加重负担，明明是与中国数学会、与“数学竞赛”毫无关系的“冒牌奥数”（杂草、毒草），但却生长至今裘宗沪研究员的近作数学奥林匹克我愿意做的事，能帮助我们理解这个比喻下面是两个例子：（1）在叙述完“奥校”停办、初中联赛被取消之后，书中说：“因此，对竞赛的这种所谓限制也跟停办奥校的政策一样，把正常的庄稼砍掉，却不去根除野草，不正规的竞赛反而更容易生存，想来真是不无滑稽”（2）关于高校招生的介入、“高考保送、加

41、分”，书中说：“其实数学会从来就没有赞成过推荐保送的事情”1986年，有关部门曾表示“给我们100个保送上大学的名额”，裘先生说：“我当时就表示我没有能力出一份考卷保证100个学生都是合格保送的，因此拒绝了这件事情”）进行“数学高考学”的建设这是截取“高考”横断面，并进行数学与考试学相结合的分析不管人们怎么看，高考和对高考的研究已经构成了一个具有中国特色的文化现象，它是考试文化的一部分，也是数学文化的一部分涉及高考的性质、高考的复习、高考的解题、高考的命题和高考临场的技术等很多方面，有的属于教育，有的属于数学其中的高考解题正与竞赛解题形成“双龙出海”之势，堪称中国初等数学研究大地上的长江与黄河

42、 此外，如何命题、如何考试、如何进行错例分析等都可以展开研究，并形成专门学问故事7 （2011年高考数学山东卷理科第15题）设函数，观察：根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， （归纳（类比）猜想题）答案：思路1 设，由已知有（归纳）思路2 （归纳）说明：由数列的前四项为2，4，8，16，能否得出？不能！如又如图15，圆周上有2个点时，其连线将圆分为两部分，记为；圆周上有3个点时，其两两连线将圆分为4部分，记作；圆周上有4个点时，其两两连线将圆分为8部分，记作；圆周上有5个点时，其两两连线将圆分为16部分，记作由此，作归纳，圆周上个点两两连线将圆分为部分但，而不是 图7思路3 用矩阵计算（逻辑

43、）故事22：某几何题的三视图如图8所示，求则该几何题的体积（或表面积）讲解 由图8可知，三视图均为四分之一的全等扇形，半径，从而，几何体为单位球在第一卦限部分，体积为 图8 表面积为 但是，这个题目的编拟有两个“潜在假设”： （1）“潜在假设”每一视图均为四分之一的全等扇形.其实，对球面，过点分别作三个平行于坐标 平面的截面，取所截得的第一个卦限部分（记为几何体），则由 知几何体的三视图形如图8，但体积不是单位球在第一卦限部分（2）其二，“潜在假设”三视图（如图8所示）均为四分之一全等扇形的几何体必为单位球在第一卦限部分其实，曲面 所围成的几何体不是单位球，但它“同时成立”，分别取，都得出单位

44、圆，并且对任意的，都有；从而，三视图均为四分之一全等扇形的几何体未必为球的一部分故事9：线性规划问题的新思路.题目 （2014 年高考数学广东卷（理科）第3题）若变量满足约束条件 且的最大值和最小值分别为和，则（A）8 （B）7 （C）6 （D）5讲解 本题源于课本的练习（教材第91页）：求的最大值，使满足约束条件 新的高考题在保留练习原型的同时，增加了两步运算：求最小值，求最大值与最小值的差这可以在“回归教材”的导向中，防止“死记硬背”，思维强度与教材要求大体持平，解法是现成的解法1 根据约束条件作出“可行域”如图9中的阴影，然后平移直线，并观察在轴上 的截距：当通过点时取到最小值，；当通过

45、点时取到最大值，所以选（C） 图9 这个截距解法的基本步骤是：步骤1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件”（代数不等式组）转化为“可行域”（图形）；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标步骤2 （由数到形的沟通）将“目标函数”（代数等式）转化为通过可行域的“直线”步骤3 （数形结合的寻找）在“可行域”内平移“直线”（目标函数），通过直线的“截距”找出“最优解”（通常在边界角顶点达到）可见，这主要是“数形结合”中一个“由数到形”的过程，也是一个“由条件到结论”的综合法过程，许多教师的解题教学大多满足于这样一种常规现状然而，对这两个基本过程作反思可以导致更多思路的解放（1）反思由数式到图形的单向性如所

46、周知，数形结合是“由数到形”与“由形到数”的双流向沟通，当线性规划的截距解法把数式转化为图形的同时，图形也必定会同步反馈出相应的代数信息，因而，线性规划问题的图形解法，通常都会有相对应的代数解法表现为不等式的放大缩小事实上，“当直线通过点时取到最小值”就等于告诉我们，取到最小值在不等式的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，的线性组合，则的最小值就可以通过不等式的缩小而求得 同样，“当直线通过点时取到最大值”就等于告诉我们，取到最大值在不等式的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，的线性组合，则的最大值就可以通过不等式的放大而求得把几何信息还原回代数信息，有代数解法：解法2 将表示

47、为“约束条件” 中及的相应代数式的线性组合（待定系数法），有，当时取到最小值，；将表示为“约束条件”中及的相应代数式的线性组合（待定系数法），有，当时取到最大值，；所以选（C）这个不等式解法的基本步骤是：步骤1 将“目标函数”表示为“约束条件”中的相应代数式的线性组合（通常用待定系数法）步骤2 将相应不等式放缩为常数；步骤3 验证常数可以取到，找出“最优解”可见，这个解法无非是在定义域内（代数不等式组）求二元函数的值域（当然，中学教材不出现二元函数），这只不过是代数题的本义我们认为，对“数形结合”只说“由数到形”会给学生造成单流向的误解，选择时机补上对应的“代数解法”有助于学生获得“数形结合”

48、的完整认识、形成优化的认知结构值得注意的是，学生常常会由约束条件像解方程一样“解出”的范围（结果不惟一，如，），然后计算的范围（误得）这时，由于不等式的“加减消元”只是一个必要条件过程，不能保证同时取到端点值（不能取到），所以，得到的常常只是“估值范围”而非“取值范围”（是“必要条件”而非“充要条件”）同时呈现解法1、解法2，可以帮助学生认清出错的原因、又找到纠错的办法（2）反思由条件到结论的单一性如所周知，解题方法既有综合法（由因索果）又有分析法（执果索因），只要有可能，我们都应该提供综合与分析的双向沟通在线性规划问题上，如果我们着眼于“执果索因”，那么目标函数就会向我们呈现两个前景：其一是

49、“数形结合”的，即把转化为向量的数量积，然后在“可行域”上找数量积的最值（参见解法3）；其二是纯代数的，即把改写为参数式（其中满足），代入的约束条件得关于的不等式（组），由此可以确定的范围，进而求出的最值（参见解法4）解法3 作向量，记向量的夹角为（），则向量在向量上的投影为由于，所以，求的最值只需计算动向量在定向量上投影的最值根据约束条件作出可行域如图10中的阴影，在可行域上旋转动向量，可见：当位于处时投影取到最小值， 图10 ；当位于处时投影取到最大值， 所以选（C） 这个向量解法的基本步骤是：步骤1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件”（代数不等式组）转化为“可行域”（图形）；还用到了联

50、立方程求边界角顶点的坐标步骤2 （由数到形的沟通）将“目标函数”（代数等式）改写成“两向量的数量积”，再转化为一向量在另一向量上的投影步骤3 （数形结合的寻找）在“可行域”内找动向量在定向量上投影的最值（有正负），乘以的模得出的最值可见，这个解法与解法1中“数形结合”的基本过程是一样的，不同在于第2步把直线变为数量积，相当于作出了直线的垂直向量，相应的，第3步把直线的平移变为动向量的垂直投影把图9与图10合并得图11，可见，直线平移到，与位于是同一个位置 图11解法4 把化为代入约束条件（消去），有 得 由、有， 可解得，计及得 把代入（或、）分别有，当时，；，当时，所以选（C）这个参数解法的

51、基本步骤是：步骤1 将“目标函数”改写为参数式（不惟一），当时，可取当时，可取步骤2 代入“约束条件”（消去）得关于的不等式步骤3 确定的范围，进而求出的最值 可见，这个解法与解法2一样，都是用代数方法求二元函数的值域，不同在于解法2用定义域的数式来整体表示函数，直接对二元变量进行放缩，而解法4却把函数式代入定义域的数式中去，消元后对一元变量进行放缩（仿佛回到初中求一元一次不等式的范围），与此相适应，解法2用了待定系数法，解法4用了参数方程与消元法以上，呈现了线性规划问题的四个思路，它们各有自己的优势与局限，其中截距解法是最基本的，不等式解法是一点就通的，它与向量解法都可以看成截距解法的“变式

52、练习”，而参数解法则更适于放进选修层次大家在解题教学中可以根据自己的教学风格，既提供知识的横向沟通，又根据学生的具体实际而灵活渗透3 教师的教学发展3-1 教学应是一种学术活动（1）学术是一种有系统、较专门的学问，学术研究是一种探索未知的创新活动，数学教学就是一种有系统、较专门的学问，怎样教数学、怎样教得学生都能学会数学，是充满挑战性的课题，是一个无限广阔的创新探索空间我们说“应是”一种学术活动，包含着当前的大量事实“还不是”一种学术活动（存在低层次的简单重复），包含着“提升为学术活动”的渴望与鼓动（2）教师专业化应成长研究型教师，意味着教师职业的本质是创造（3）教师的课前准备是把数学的“学术形态”转变为“教育形态”的创造过程，是把“形式化”数学先“情景化”、然后“去情景化”提炼为“抽象性”数学（数学化）的一种学术活动（4）课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入实验园地，又像艺术家登上表演舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术 （5）学生的学习是在教师的参与下共同进行的数学再发现，是一种学术活动（6）改作业也是一种教学效果分析、归因分析、认知负荷分析的一种学术活动“照亮别人，毁灭自己”是没有道理的，至少是过时的3-2 教师教学发展的境界根据教师对教学的认识和把握，可将教师的教学从低到高分为三种境界，每一境界又可以分出两个层次，形成从低