数学必修一复习提纲

1、模块知识网络第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：、4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或二： 集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均为B中的元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）结论： 任何一个集合是它本身的子集：AÍA如果 AÍB, BÍC ,那么 A&#

2、205;C 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集三：集合的基本运算两个集合的交集:= ;两个集合的并集: =;设全集是U,集合,则交并补AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.考点题型及相关练习题型1：基本概念题下列6个关系式，正确的是 &

3、#252; 二教P6题型一，P7基础巩固1、4题型2：集合的互异性（注意要检验） -1，-1ü 二教P8基础巩固6 ,新题速递 ，P14能力提升3题型3：集合的运算（看清集合里面是什么元素） 1、（2008年江西理）定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ D ）A0；B2；C3；D62、(2007·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 解析 ；因为，所以，求MN. x|0<x3 ü 二教P9借题发挥1，P14基础巩固4、5、8题型4：确定参数范围 设集合A=xR|ax2+2x+1=0, 集合B=x|x<0,若 ,求实数a的取值范围.

4、 (-,1ü 二教P14能力提升6，周练7 选择题第二题 第2讲 函数知识梳理函数的奇偶性（1）偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数考点题型及相关练习Ø 考点1：定义域（满足解析式有意义的x的集合，注意写成集合或区间的形式）题型1：给定解析式，求定义域1)分式的分母不为零.2)偶次方根的被开方数不小于零.3)零次幂的底数不为零.4)对数函数的真数大于零.5)指、对数函数的底数大于零且不为1.6）如果函

5、数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（各部分取交集）1、求 的定义域. 2、（2008安徽文、理）函数的定义域为 解析 ；由解得3、（2006·湖北）设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解析由得，的定义域为，故 解得。故的定义域为.选B.题型2：抽象函数的定义域1、 已知函数的定义域为，求的定义域因为的定义域为，所以在函数中，从而，故的定义域是2、已知的定义域是，求函数的定义域因为函数的定义域是，则，从而，所以函数的定义域是. 题型3：实际问题中函数的定义域题型4：做题时优先考虑定义域（如判断函数是否相等，画图

6、象，求单调区间，求值域、最值、判断奇偶性，解不等式等）ü 周练8第15题，二教P78题型五Ø 考点2: 求函数解析式（代入法、换元法、待定系数法、解方程组法、通过图像、实际问题）1已知二次函数满足，求方法一：换元法令，则，从而，所以方法二：配凑法因为，所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以2.已知函数满足，求（解方程组法）因为，以代得由联立消去得Ø 考点3：值域、最值题型1：已知解析式，求值域或最值（1）配方法（2）换元法（3）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。（4）利用函数的单调性（5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根

7、据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求如函数就是利用函数和的值域来求。ü P61借题发挥2，P78借题发挥3，P79备选例题例1，当堂检测6，基础巩固1，P80基础巩固6题型2：抽象函数的最值问题.二教P38题型四题型3：含有参数的最值问题1、动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间（详见笔记）ü 二教P60能力提升5，6 ，P40基础巩固6Ø 考点4：单调性题型1：求单调区间（函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域）（注意：单调区间不

8、能）1、函数的单调递减区间是（ ）A; B; C; D 解析 C；由得，又由知函数在上是减函数，根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是2、函数的单调增区间为（ ）A；B；C；D解析 D；由得或，又函数在上是减函数，在上是减函数，所以函数的单调增区间为题型2：判断函数的单调性1、快速判断：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；，复合函数f（g（x）的单调性：同增异减2、定义法：五步骤任意取x1、x2；作差或作商；变形；定号；下结论。（对数函数型可以先比较真数的大小）ü 二教P78题型四、借题发挥，P79备选例题例3题型3：抽象函数的单调性定义在R上的函数，当x0时，且对任

9、意的a、bR，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2xx2）1，求x的取值范围.解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。解析（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）·f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f

10、（x2x1）·f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）·f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.ü 二教P36能力提升8，新题速递2，P38题型四，周练7第21题，题型4：已知函数单调性，求参数的取值范围.1、已知 是上的减函数，那么的取值范围是 解析 ；要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以ü 二教P34题型四，周练7第7题Ø 考点5：奇偶

11、性（具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称）题型1：利用定义判断函数奇偶性首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数u 注意：1、函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判

12、定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定1、判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）·；（3）；（4）思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解析 （1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x

13、）= =，f（x）=f（x）故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.u 注意：分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式2、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A；B；C；D解析D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以题型2：证明抽象函数的奇偶性定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有，求证f (x)为奇函数； 解析令x = y = 0，则f (0)

14、 + f (0) = f (0) = 0 令x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数u 注意：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)题型3：根据奇偶性确定参数1、已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A0；B；C1；D解析B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是02、已知函数（a、b、cZ）是奇函数,又，求a、b、c的值.解析；由f（

15、x）=f（x），得bx+c=（bx+c）.c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）3，得3，解得1a2.又aZ，a=0或a=1.若a=0，则b=，与bZ矛盾.a=1，b=1，c=0.ü 相关练习：二教P44例4题型4：周期问题1、函数对于任意实数满足条件，若则_解析；由得，进而得所以2、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 _ 解析由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得，又由是上的偶函数得，又在已知等式中令得，即，所以3、设是上的奇函数，当时，则为 解析 ；由得，故是以4为周期的函数，故，又是上的奇函数，且当时，所以ü 二教P44例2题

16、型5：奇偶性的应用1、已知是定义域为R的奇函数，若当时，则满足的的取值范围是 解析；当时，由已知条件得，又是定义域为R的奇函数，故得，即。当时由得；当时由得ü 二教P44例3、P43题型三Ø 考点6：函数的图像n 变换作图法1、平移： 2、对称： 左右平移，注意x前的系数必须是1. 注意：1、选择题可以通过定义域，特殊点快速排除错误选项.2、含绝对值的函数，先去绝对值，写成分段函数，再画图函数的图象大致是( )第3讲 基本初等函数知识梳理一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的

17、意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域值域在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数 （

18、二）对数的运算性质如果，且，那么： ·； ； n 注意：换底公式，（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域定义域值域为R值域为R在上单调递增在上单调递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象凹；当时，幂函数的图象凸；（3）时，幂函数的图象在区

19、间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴考点题型及相关练习考点1：比较多个数的大小以0,1对数进行分类，再通过化成同底等变形，或作差作商再比较.考点2：恒过定点问题指数型：，令=0，解出x，在代回原函数求y.对数型：，令=1，解出x，在代回原函数求y.考点3：计算题（注意记清楚运算公式）考点4：利用单调性解不等式（先化成同底，再利用单调性求解）第4讲 函数的应用知识梳理一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。n 注意：零点是数，不是点2、函数零点的意义： 方程有实数根函数的

20、图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根；经常分离成两个函数，通过观察两个函数图象的交点来求解. （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点第5讲 综合应用考点题型及相关练习考点1：恒成立问题1、课堂补充的二次函数值域为R、定义域为R的问题ü 周练9第18题，周练

21、8第21题已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设 （）求函数的不动点； （）对（）中的二个不动点、（假设），求使恒成立的常数的值；解：（）设函数7分 （）由（）可知可知使恒成立的常数. 14分2、已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。解题思路 欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。解析在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3， 即3、设则不等式的解集为 解析 ；当时，由得，得当时，由得，得4、已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析（）因为是奇函数，所以，即又由知（）解法一由（）知，易知在上为减

22、函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二由（）知又由题设条件得：，即，整理得上式对一切均成立，从而判别式考点2：其他综合练习1、(14分) 已知函数y=f(x)= (a,b,cR,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)<.试求函数f(x)的解析式解析f(x)是奇函数，f(x)=f(x),即 c=0, a>0,b>0,x>0,f(x)=2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,a=b2, 由f(1)得即, 2b25b+20,解得b2， 又bN,b=1,a=1,f(x

23、)=x+. 2、若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x2,3时,f(x)=x1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间1,3上,定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),(1) 求当x1,2时,f(x)的解析式;(2) 定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),求ABC面积的最大值.解:析(1)f(x)是以2为周期的周期函数,当x2,3时,f(x)=x1, 当x0,1时,f(x)=f(x+2)=(x+2)1=x+1. f(x)是偶函数,当x1,0时,f(x)=f(x)=x+1, 2分当x1,2时,f(x)=f(x2)=(x2)+1=x+3. 4分(2)设A、B的横坐标分别为3t,t+1,1t2,则|AB|=(t+1)(3t)=2t2, 6分ABC的面积为S=(2t2)·(at)=t2+(a+1)ta(1t2)=(t)2+2<a<3,<<2.当t=时,S最大值=12分考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用3、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。思路点拨欲求的取值范围，就要