工程力学-2作用于刚体的力系等效简化

1、工程力学1主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北305工程力学2迎 面风 力侧 面风 力空间任意力系空间任意力系工程力学3传动轴 (空间任意力系)工程力学4基本力系基本力系汇交力系汇交力系力偶系力偶系空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系平面汇交力系空间力偶系空间力偶系平面力偶系平面力偶系 汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个基本力系。基本力系。汇交力系汇交力系是指力系中各力的作用线都汇交于一点的力系。是

2、指力系中各力的作用线都汇交于一点的力系。力偶系力偶系一群力偶的集合。一群力偶的集合。工程力学5工程力学6力对物体可以产生力对物体可以产生-取决于力矩的大小、转向。取决于力矩的大小、转向。-取决于力的大小、方向；取决于力的大小、方向；工程力学7 当作用于刚体上的力作用线与矩当作用于刚体上的力作用线与矩心心O在同一平面内时，力对该平面内在同一平面内时，力对该平面内任一点的矩是一代数量。任一点的矩是一代数量。FhFMO)(阴影 S21.1.大小；大小；2.2.方向。方向。力矩等于力与力臂的乘积力矩等于力与力臂的乘积, ,是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。工程力学8FdFMO)(阴影 S2作

3、用效应取决于：作用效应取决于：力矩的大小；力矩的大小； 力的作用线与矩心力的作用线与矩心所 组 成 的 平 面 的 方所 组 成 的 平 面 的 方位位 。力矩的转向；力矩的转向；空间内力对点之矩是一个矢量，力矩矢量是影响转动的空间内力对点之矩是一个矢量，力矩矢量是影响转动的独立因素。独立因素。工程力学9右手螺旋定则：右手螺旋定则：在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌心面向转轴而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。心面向转轴而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。工程力学10常用力矩矢量常用力矩矢量MO（F）来表示。来表示。kjiFkjir

4、zyxFFFzyxkjixkjiFrFMO)()()()(xyzxyzzyxyFxFxFzFzFyFFFFzy工程力学11定位矢量定位矢量xyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFM 空间内力对点之矩空间内力对点之矩kFMjFMiFMFMzOyOxOO)()()()(工程力学12矢量叉积物理含义矢量叉积物理含义两个向量两个向量 a 和和 b 的叉积写作的叉积写作 a b （有时也被写成（有时也被写成 a b，避免和，避免和字母字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：混淆）。叉积可以被定义为： sina babn在这里在这里 表示表示 a 和和 b 之间的角度之间的角度（

5、0 0 180 180），它位于），它位于这两个矢量所定义的平面上。而这两个矢量所定义的平面上。而 n 是一个与是一个与 a 和和 b 均垂直的单位矢均垂直的单位矢量。量。 空间内力对点之矩空间内力对点之矩abab工程力学13 力对轴之矩：力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量工程力学14 力对轴之矩：力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量 力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点面交点O之矩。之矩。OABxyxyOzSdFmm2)()(

6、FF它是代数量，正负规定它是代数量，正负规定特殊情况：当力与轴在同一平面内时，力对该轴的矩等于特殊情况：当力与轴在同一平面内时，力对该轴的矩等于0 0。工程力学15 力矩关系定律力矩关系定律而而OA1B1恰为恰为OAB在平面在平面I I上的投影。上的投影。cos11OABBOASSzzFM(F)M(F)MOOcos)(OABS 2(F)MO112)(FM)(xyOBOAzSFMxyyFxF 此即力此即力F对对z轴之矩的分析表达式轴之矩的分析表达式工程力学16)()()(FMyFxFFMxFzFFMzFyFzxyzyzxyxyzx(F)M(F)M(F)MOOO 力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影

7、等于该力力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影等于该力对该轴之矩。对该轴之矩。kFjFiF(F)MO)()()(zyxMMM 力矩关系定律力矩关系定律工程力学17 例例1 1：如图所示，曲轴上如图所示，曲轴上A 点作用力点作用力F1 、F2 、F3 。已知：。已知：F1 =10 kN，F2 =5 kN，F3 =20 kN， 尺寸如图。求各力对三轴之矩。尺寸如图。求各力对三轴之矩。工程力学18解法一解法一：按力对轴之矩定义计算:工程力学19解法二解法二：用力对轴之矩的分析式计算：三个力作用点三个力作用点A的坐标为：的坐标为：12,32,8zyx三个力在轴上投影分别为：三个力在轴上投影分别为：工程力学

8、20代入分析计算公式：代入分析计算公式：可见，两种方法计算结果相同。一般采用分析式计算可能会容易一些。但要注意每一个力作用点的坐标、力的投影以及正、负号不要弄错！工程力学21 例例2:2: 手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内，内，AB=BC=l，CD=a，F在垂直于在垂直于y轴的平面内，夹角如图，求力对轴的平面内，夹角如图，求力对x x，y y，z z三三轴之矩。轴之矩。工程力学22解：解：cos,sinFFFFzxsin)()(cos)(cos)()(FalyFFMlFxFFMFalyFFMDxzDzyDzxk)(j )(i )(kjiFr)F(MAxyzxyzzyxyFxFxFzFzFy

9、FFFFzyx工程力学23 例例3:3: 空间力空间力F沿棱边为沿棱边为a的正方体的对角线的正方体的对角线AB作用，作用，如图，求如图，求MO(F)。工程力学24解：解：FFFFFFzayxzyxAAA31,31,310, 0FaFyFzFMFxFzFMFaFzFyFMxAyAzzAxAyyAzAx33)(0)(33)(ki(F)MOFaFa3333工程力学25 作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为线相互平行的两个力称为力偶力偶，记作，记作(F, F )(F, F )。 力偶作用效应：可使刚体转动。力偶作用效应：可使刚体转动

10、。工程力学26 作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为线相互平行的两个力称为力偶力偶，记作，记作(F, F )。 工程力学27FFd力偶作用力偶作用面面力偶臂力偶臂 力偶两个力所在的力偶两个力所在的平面，称为平面，称为力偶作用面力偶作用面。 两力作用线之间的两力作用线之间的垂直距离，叫作垂直距离，叫作力偶臂力偶臂。 力偶使物体转动的力偶使物体转动的方向称为方向称为力偶的转向。力偶的转向。工程力学28 虽然有虽然有 ，但它既不平衡，也不能，但它既不平衡，也不能合成为一个合力，只能使刚体产生合成为一个合力，只能使刚体产生纯转动效应

11、纯转动效应。因此，。因此，力偶是一个基本的力学量！力偶是一个基本的力学量！其作用效果用力偶矩来度其作用效果用力偶矩来度量。量。0FFF工程力学29 平面力偶平面力偶只能使物体有两个可能的转向，即逆时针转动只能使物体有两个可能的转向，即逆时针转动或顺时针转动。故或顺时针转动。故平面力偶矩平面力偶矩M是是一个代数量一个代数量。工程力学30dFFAB)(F(F)OOOMMMFdFd21FdF FF 平面力偶平面力偶1.1.大小；大小；2.2.方向。方向。 力偶矩等于力与力偶臂的乘积，力偶矩等于力与力偶臂的乘积，而而与矩心位置无关。与矩心位置无关。工程力学31在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量

12、在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量 M 表示表示,矢量矢量M 的长度：表示力偶矩的大小的长度：表示力偶矩的大小；M 的方位：垂直于力偶作用面；的方位：垂直于力偶作用面；指向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。指向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。 空间力偶空间力偶工程力学32 空间力偶空间力偶F)rFrBA(F)r(rBAFrBAFF力偶中两力对空间任一点之矩的矢量和等于该力偶矩矢，而与矩心的选择无关。)(FM(F)MFFMOOO),(工程力学33 空间力偶空间力偶)(FM(F)MFFMOOO),(F)rFrBA(力偶在作用面内的转向力偶在作用面内的转向。F)r(rBAFrBAsinBA

13、FrFFFdOMsinBArd 力偶对刚体的作用，不取决于作用面在空间的具体力偶对刚体的作用，不取决于作用面在空间的具体位置，而取决于作用面在空间的方位。位置，而取决于作用面在空间的方位。工程力学34 如图所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物块上，力偶矩都等于如图所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物块上，力偶矩都等于200Nm200Nm。图。图a a、b b中两力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此，这两个中两力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此，这两个力偶对物块的作用效果相同，使静止物块绕力偶对物块的作用效果相同，使静止物块绕x轴转动；图轴转动；图c c中，虽然力偶矩的中，虽然力偶矩的

14、大小未变，但它使物块绕大小未变，但它使物块绕y轴转动，与前两个力偶对物块的作用效果不同。轴转动，与前两个力偶对物块的作用效果不同。工程力学35 从力偶三要素可知，力偶矩从力偶三要素可知，力偶矩矢量不必规定具体的作用点，亦矢量不必规定具体的作用点，亦无具体的作用线，仅仅规定了它无具体的作用线，仅仅规定了它在空间的方位及指向。因此，力在空间的方位及指向。因此，力偶矩矢量是自由矢量偶矩矢量是自由矢量( (仅针对刚仅针对刚体而言体而言) )。 空间力偶空间力偶( (对于变形体，力偶作用在不同截面处，变形效应则不同对于变形体，力偶作用在不同截面处，变形效应则不同) )。工程力学36性质性质1.1. 力偶

15、不能用一个力来等效，也不能用一个力来力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡，平衡，力偶只能用力偶来平衡力偶只能用力偶来平衡。工程力学37 性质性质2.2.力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，与矩心的位置无关。偶矩，与矩心的位置无关。 性质性质3.3.作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。推论推论1 1 保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大小，其对刚体的保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大

16、小，其对刚体的作用效果不变。作用效果不变。 推论推论2 2 作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面内自由搬移。内自由搬移。工程力学38平面力偶的图上表示平面力偶的图上表示 用力和力偶臂表示用力和力偶臂表示ABF1F1du用用m 或或 m 表示表示. m 表示表示大小大小 , 表示旋向表示旋向.工程力学39空间力偶的图上表示空间力偶的图上表示力偶矩矢量力偶矩矢量工程力学40 在作力多边形时，若任意变换各分力的先后顺序，可得到形状不同在作力多边形时，若任意变换各分力的先后顺序，可得到形状不同的力多边形，但是这并不影响最后所得合力的大

17、小和方向。的力多边形，但是这并不影响最后所得合力的大小和方向。工程力学41汇交力系各力汇交力系各力Fi 和合力和合力FR在在直角坐标系中的解析表达式直角坐标系中的解析表达式kjiFkjiFRRRRzyxziyixiiFFFFFF,由合力投影定理由合力投影定理nizizniyiynixixFFFFFF1R1R1R,得到汇交力系合力的大小和方向余弦得到汇交力系合力的大小和方向余弦 RRRRRRRRR2Rz2R2RR),cos(,),cos(,),cos(FFFFFFFFFFzyxyxkFjFiF工程力学420ixF0iyF0izF从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力系平衡的充分必从汇交力系合成结果

18、显然可得到，汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即要条件是：力系的合力等于零，即 FR=0。力多边形自行封闭（或：各力矢量首尾相接，自行封闭）。力多边形自行封闭（或：各力矢量首尾相接，自行封闭）。力系中所有各力在直角坐标系各个轴上投影的代数和都等于零。即力系中所有各力在直角坐标系各个轴上投影的代数和都等于零。即工程力学43例一例一 如图所示悬臂式起重机，梁如图所示悬臂式起重机，梁OA受到平面汇交力系作用。受到平面汇交力系作用。已知：已知：OB =AB, =45.,重物重物D 重重 G =5kN,梁梁OA重不计。重不计。求：钢索求：钢索BC的拉力及铰链的拉力及铰链O的约束反力。的约束

19、反力。 工程力学44解：解：1、选取研究对象：梁、选取研究对象：梁OA 2 2、画梁、画梁OA OA 的受力图的受力图：G、FB 、FO。构成一平面汇交力构成一平面汇交力系，汇交点为系，汇交点为E 点，如图点，如图 . .工程力学45可分别用两种方法求解：可分别用两种方法求解：几何法：几何法：作力多边形如图，是一自行封闭的三角形；由图根作力多边形如图，是一自行封闭的三角形；由图根据正弦定理求得据正弦定理求得sin45 sin(45)11.18sin(90) sin(45)14.15OBFGkNFGkN工程力学46(2)2)解析法解析法: :取坐标轴如图所示，列平衡方程：取坐标轴如图所示，列平衡

20、方程：0 ,coscos0 xBOFFF0,sinsin0yBOFFFG注意：平衡方程的规范形式。注意：平衡方程的规范形式。解出： FO 为负值，表示受力图中为负值，表示受力图中FO 假定方向与正确指向相反。假定方向与正确指向相反。kNkN18.11;15.14OBFF工程力学47工程力学48例二例二重重1kN的物体，用两根钢索的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不悬挂如图所示。不计钢索的重量，求钢索的拉力。计钢索的重量，求钢索的拉力。工程力学49解：解： 1.1.取重物为研究对象取重物为研究对象2.2.受力分析：已知重力受力分析：已知重力W，钢索对重物的拉力，钢索对重物的拉力FAB和和

21、FBC。其受力图。其受力图如图所示。如图所示。工程力学50（1 1）几何法）几何法 根据受力图作封闭的力三角形，如图所示。作图时，应从根据受力图作封闭的力三角形，如图所示。作图时，应从已知力已知力W作起，并根据各分力矢量首尾相接的矢序规则。作起，并根据各分力矢量首尾相接的矢序规则。根据正弦定理，有根据正弦定理，有sin30sin45sin(1803045 )BCABoooooFFW很容易解得很容易解得FAB和和FBC。FABFBCW30o45o工程力学51（2 2）解析法）解析法取如图所示的直角坐标系。以取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列出平衡方程：轴为投影轴列出平衡方程：0,sin

22、30sin4500,cos30cos450ooxBCABooyBCABFFFFFFW联立方程求解的联立方程求解的FAB和和FBC。xyFBCFABW45o30o注意：平衡方程的规范形式。注意：平衡方程的规范形式。工程力学52 在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投影轴在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投影轴x、y的方位不一定是水平与铅垂的，可以根据其中一根轴与未知的方位不一定是水平与铅垂的，可以根据其中一根轴与未知力相垂直的原则选取，如图所示。力相垂直的原则选取，如图所示。相应的平衡方程为：相应的平衡方程为：0,sin15cos3000,cos15cos600ooxBCABooy

23、ABFFFWFFW从方程中第二式可以直接解出从方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出代入第一式就可以解出FBC。FBCFABWxy工程力学53注意几点注意几点: :几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角形）。几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角形）。各力矢量一定要首尾相接。各力矢量一定要首尾相接。解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负号解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负号不要搞错。不要搞错。解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投机取巧。机取巧。受力图要完整画出，平衡方程

24、要规范。受力图要完整画出，平衡方程要规范。 工程力学54力偶系：力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。 4M 若力偶系中各力偶均位于同一平面内则为平面力偶若力偶系中各力偶均位于同一平面内则为平面力偶系，否则为空间力偶系。系，否则为空间力偶系。工程力学55111dFm 222dFm11mdP22mdP21PPRA21PPRB2121)(mmdPP 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 dRMA工程力学56平面力偶系的合成平面力偶系的合成 MMMMMn21 平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的

25、代数和。合力偶矩用各分力偶矩的代数和。合力偶矩用M 表示：表示：工程力学57充要条件是充要条件是: :所有各分力偶矩的代数和等于零。所有各分力偶矩的代数和等于零。 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 021MMMMMn2. 2. 作用于刚体的力系等效简化作用于刚体的力系等效简化工程力学58 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 2. 2. 作用于刚体的力系等效简化作用于刚体的力系等效简化021lGmGlm21工程力学59空间力偶系的合成空间力偶系的合成 任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。偶矩矢等于各分力偶矩矢的

26、矢量和。nii1MM合力偶矩矢量工程力学60空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡000iziyixMMM0MM1nii合力偶矩矢量需要注意的是：能够与力偶平衡的只能是力偶。能够与力偶平衡的只能是力偶。工程力学61 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为M1=M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺柱和的距离，固定螺柱和的距离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。求两光滑螺柱所受的水平力。例四例四工程力学62解：取工件为研究对象。解：取工件为研究对象。 0M0321MMMlFAlMMMFA321N200AFNFFAB200 对于力偶系平

27、衡问题，在分析约束反力方向时，不仅要根据对于力偶系平衡问题，在分析约束反力方向时，不仅要根据约束特性，而且要正确利用力偶只能与力偶相平衡的概念去确定约束特性，而且要正确利用力偶只能与力偶相平衡的概念去确定铰链、固定端等约束反力的方向。铰链、固定端等约束反力的方向。工程力学63例五例五 长为长为 l=4 m的简支梁的两端的简支梁的两端A、B 处作用有两个力偶，处作用有两个力偶，大小各为大小各为M1 =16 N m，M2 = 4 N m，转向如图。试求，转向如图。试求A、B支座的约束力。支座的约束力。604mABM1M2工程力学64604mABM1M2由平衡方程由平衡方程M =0-M1+ M2+F

28、B l cos60= 0FB=6 NFA、FB为正值，说明图中所设为正值，说明图中所设FA、FB的的指向正确。指向正确。FA = FB = 6 N16 + 4 + FB 4cos60 = 0M1M2ABFAFBd工程力学65 图示杆图示杆CD有一导槽，该导槽套于杆有一导槽，该导槽套于杆AB的销钉的销钉E上。今在杆上。今在杆AB、CD上分别作用一力偶如图，已知其中力偶矩上分别作用一力偶如图，已知其中力偶矩M1的大小的大小为为1000Nm，不计杆重。试求力偶矩，不计杆重。试求力偶矩M2的大小。的大小。例六例六工程力学66CEMFMCEFEE112211222MMMCEFE工程力学67 如图所示机构

29、的自重不计。圆轮上如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子的销子A放在摇杆放在摇杆BC上的光滑导槽内。上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2 kNm ， OA = r =0.5 m。图示。图示位置时位置时OA与与OB垂直垂直,角角=30o , 且系且系统平衡。求作用于摇杆统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶上的力偶的矩的矩 M2 及铰链及铰链O，B处的约束力。处的约束力。例七例七rM2M1工程力学68rM2M1先取圆轮为研究对象。先取圆轮为研究对象。解：解： 因为力偶只能与力偶平衡，因为力偶只能与力偶平衡，所所以，力以，力FA 与与FO 构成一力偶，故构成一力

30、偶，故 FA= FO。0sin,01rFMMA30sin1rMFAM1工程力学69再取摇杆再取摇杆BC为研究对象。为研究对象。0sin, 02rFMMAkN 830sin1rMFFFABOAAFF其中其中mkN 8412 MMrM2M1AFM2工程力学70例八例八图示结构，已知图示结构，已知a、m，杆重不计。求：铰，杆重不计。求：铰A、C的反力。的反力。工程力学71 图示圆盘由图示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶点处的轴承支持，在力偶M 和力和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？所平衡？为什么？为什么？FMO 力矩和力偶有什么联系？力矩和力偶有什

31、么联系？又有什么区别？又有什么区别？工程力学72 如图所示，在物体上作用有两力偶如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1)和和 (F2, F2)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？F1F2F1F2F1F2F1F2工程力学73注意学习并掌握静力学解题的基本步骤：注意学习并掌握静力学解题的基本步骤： （1）选取研究对象：按题目要求，考虑选取其中某一个或某几个刚 体为研究对象。 （2）分析受力：分析研究对象的受力情况，画出完整的受力图. （3）如属平衡问题，则根据平衡条件（几何条件或分析条件）求解.* 几何法：画出封闭的力多边形，利用几何关系计算未知

32、力的 大小和方向；* 分析法：选取坐标轴，然后列对应的平衡方程（注意平衡方 程的规范），最后求解平衡方程。 工程力学74平移定理：平移定理：须在该力与须在该力与指定点指定点B所决定的平面内附加所决定的平面内附加一力偶，其力偶一力偶，其力偶矩矩 等于原等于原力力 F 对指定点对指定点B之之矩。矩。到刚体内任一到刚体内任一指定点指定点B若不改变该力对于刚体的作用，若不改变该力对于刚体的作用，则必则必作用在刚体上作用在刚体上A点的力点的力 F 可以平行移动可以平行移动工程力学75力的平移定理揭示了力与力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力偶的关系：力 力力+ +力偶力偶 力的平移定理是力系简化的理论

33、基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是分析力对物体作用效应的重要方法。力的平移定理是分析力对物体作用效应的重要方法。工程力学76“旋转球旋转球”使得球既向前移动，又作转动。使得球既向前移动，又作转动。工程力学77问：能否将力问：能否将力F从从D点移动点移动到到E点并附加力偶。点并附加力偶。ABDCEFF Md 分析：不能。力的移动只分析：不能。力的移动只能在同一个刚体上；因为刚架能在同一个刚体上；因为刚架不是一个刚体，所以力不是一个刚体，所以力F不能从不能从D点平移到点平移到E点，即使是加附加点，即使是加附加力偶也不行。力偶也不行。工程力学78平面力系向一点的简化与合成平面力系

34、向一点的简化与合成 思路：思路： 应用力的平移定理，将平面力系分解成两个力系，即平面应用力的平移定理，将平面力系分解成两个力系，即平面汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。设有一平面力系设有一平面力系 Fl 、F2 、 、Fn 。在平面内任选一点。在平面内任选一点 O，称，称为为简化中心简化中心。工程力学79 平面力系向一点的简化与合成平面力系向一点的简化与合成n1iin21RFFFFFniiOnOFMMMMM121)(主矢：主矢：平面力系中所有各力的矢量和平面力系中所有各力的矢量和FR ；主矩：主矩：各力对于简化中心各力对于简化中

35、心O之矩的代数和之矩的代数和MO。主矢、主矩是描述平面力系特征的两个物理量。主矢、主矩是描述平面力系特征的两个物理量。工程力学80 平面力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同平面力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。一点之矩的代数和。)()(niiOROmM1FF 平面力系向一点的简化与合成平面力系向一点的简化与合成工程力学81jiFyxRFF)(FMMOO 平面力系向作用面内任选一点平面力系向作用面内任选一点 O简化，一般可得一个简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心心

36、 O；这个力偶的矩等于该力系对于；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩点的主矩。 平面力系向一点的简化与合成平面力系向一点的简化与合成 一般情况下，主矩和简化中心的选择有关。由于主矢只是力系一般情况下，主矩和简化中心的选择有关。由于主矢只是力系中各力的矢量和，与简化中心的选择没有关系。中各力的矢量和，与简化中心的选择没有关系。工程力学82主矢主矢 FR主矩主矩 MO合成结果合成结果0 00 0平衡平衡0 0非非0 0力偶力偶非非0 00 0力力非非0 0非非0 0力力 平面力系向一点的简化与合成平面力系向一点的简化与合成工程力学83（2） 简化为一力偶简化为一力偶, 即即M=MO 。此时等效于

37、只有一个。此时等效于只有一个力偶的作用。因为力偶可以在刚体平面内任意移动，力偶的作用。因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心故这时，主矩与简化中心O无关。无关。（3 3）简化为一个作用于简化中心的合力。简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化这时，简化结果就是这个力系的合力。（结果就是这个力系的合力。（注意：此时简化结果与简化注意：此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零中心有关，换个简化中心，主矩不为零）（1 1）力系平衡力系平衡, ,下节专门讨论。下节专门讨论。 工程力学84（4 4）力系的主矢、主矩都不等于零时力系的主矢、主矩都不等于零时，根据力的平移定理

38、根据力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力。 (*)ROFMd RRRFFF 合力的大小等于原力系的主矢，合力的大小等于原力系的主矢，合力的作用线位置由公式（合力的作用线位置由公式（*）确定。）确定。工程力学85平面力系合成的可能结果为：合成为一个力偶合成为一个力偶 合成为一个力合成为一个力 平衡平衡 工程力学86 例例1:1: 如图如图, ,求简支梁上线性分布载求简支梁上线性分布载荷的合力。荷的合力。 将荷载分布在线、面、体上的即为分布荷载，对应的分别为线将荷载分布在线、面、体上的即为分布荷载，对应的分别为线性分布荷载，面荷载，体荷载。性分布荷载，面

39、荷载，体荷载。为了描述分布力，引入分布力集度为了描述分布力，引入分布力集度q( (x),),即单位长度上的力即单位长度上的力. .如图所示的线性分布载荷，属于平面平行力系如图所示的线性分布载荷，属于平面平行力系. .工程力学87 例例1:1: 如图如图, ,求简支梁上线性分布求简支梁上线性分布载荷的合力。载荷的合力。dxlxqdxqdQxlxqqx在坐标在坐标 x 处取长为处取长为 dx 的微段，其集度为：的微段，其集度为：在此微段上的荷载为：在此微段上的荷载为：（1）确定合力的大小）确定合力的大小解：解：因此，合力因此，合力Q 的大小为：的大小为：qldxlxqdQQll210工程力学88（

40、2 2） 确定合力的作用点确定合力的作用点则有：由合力矩定理：)()(QdMQMAAlcxdQxQ23121qlxqlc即：lxc32 例例1:1: 如图如图, ,求简支梁上线性分布求简支梁上线性分布载荷的合力。载荷的合力。dxlxql20lxqlQc3221工程力学89 例例2:2: 如图如图, ,求悬臂梁上均布载荷的求悬臂梁上均布载荷的合力。合力。在坐标在坐标 x 处取长为处取长为 dx 的微段，其集度为：的微段，其集度为：（1）确定合力的大小）确定合力的大小解：解：qqxqdxdQ 在此微段上的荷载为：在此微段上的荷载为：合力合力Q 的大小为：的大小为：dxqdQQll0（2 2） 确定

41、合力的作用点确定合力的作用点有：)()(由合力矩定理：QQdMMAAlcxdQxQ221qlqxdxllxC21qlQ 工程力学90lq2q1可以看作一个三角形分布力和一个均匀分布力的叠加在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后在求解。 例例3: 3: 如图，梯形分布力向一点简化如图，梯形分布力向一点简化工程力学91结论： 1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线载荷的方向相同。3、合力的作用线通过载荷图的形心。qQxyxxCdx工程力学92 例例4 4：在长方形平板的在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2

42、kN，F3=F4=3 kN，试求该，试求该力系对力系对O点的简化结果，以及该力系点的简化结果，以及该力系的最简合成结果。的最简合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060工程力学93解：解：1.1.求主矢求主矢。建立如图坐标系建立如图坐标系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m306030 cos60 cos432FFFxxFFRkN 598. 0yyFFR30 sin60 sin421FFFkN 768. 0主矢的大小主矢的大小kN 794. 0 2R2RRyxFFF1 .52614. 0cosi , Fi , FRRRRFFx主矢的方向主矢的方向RF工程力学94RF FOO

43、MMmkN 5 . 030 sin3260 cos2432FFF由于主矢和主矩都不为零，故最简合成结果是一个合力由于主矢和主矩都不为零，故最简合成结果是一个合力FR。如图所示。如图所示。m R51. 0FMdO且合力且合力FR到到O点点的距离的距离RRFF2. 2. 作用于刚体的力系等效简化作用于刚体的力系等效简化 平面力系向一点的简化与合成平面力系向一点的简化与合成OM工程力学95 空间力系的简化与合成空间力系的简化与合成iFFR)(FMMMOiO 设有一平面力系设有一平面力系 Fl 、F2 、 、Fn 。在空间内任选一点。在空间内任选一点 O，称为，称为简化中心简化中心。利用力的平移定理，

44、得到一个空间汇交力系。利用力的平移定理，得到一个空间汇交力系和空间力偶系。和空间力偶系。工程力学961.1. 指原空间一般力系各力的矢量和指原空间一般力系各力的矢量和 。iFiRFF即 主矢主矢 的的RF解析求法解析求法注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和, ,所以它所以它与简化中心的位置无关。与简化中心的位置无关。大小大小: :222222F)()()(zyxzyxRFFFFFF方向方向: :RzRyRxFFFFFFcos,cos,cos 空间力系的简化与合成空间力系的简化与合成工程力学97 指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和。指原空间一般力系对简化中心之矩

45、的矢量和。 )(iooFMM即大小大小：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。它的大小和方向与简化中心有关。注意注意：222MOzOyOxOMMM主矩主矩 的的OM解析求法解析求法OOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos方向方向： 空间力系的简化与合成空间力系的简化与合成工程力学98 空间一般力系向任一点空间一般力系向任一点O 简化简化 ，一般可以得到一，一般可以得到一合力和一合力偶合力和一合力偶 ；该合力作用于简化中心；该合力作用于简化中心 ，其大小及，其大小及方向等于该力系的主矢方向等于该力系的主矢 ，

46、该合力偶矩矢量等于该力系，该合力偶矩矢量等于该力系对于简化中心的主矩。对于简化中心的主矩。空间力系的简化与合成结论：空间力系的简化与合成结论：工程力学991.1.空间力系平衡的情形空间力系平衡的情形 若主矢若主矢FR =0，主矩，主矩MO=0，这时，该空间力系平衡。，这时，该空间力系平衡。 空间力系向一点简化，可能出现下列四种情况，即空间力系向一点简化，可能出现下列四种情况，即 (1)FR =0，MO=0； (2) FR =0，MO0； (3)FR 0，MO=0；(4) FR 0，MO0。 2. 2.空间力系简化为一合力偶的情形空间力系简化为一合力偶的情形 若主矢若主矢FR =0，主矩，主矩M

47、O0，这时得一力偶。此时，主矩与简，这时得一力偶。此时，主矩与简化中心化中心O的位置无关。的位置无关。工程力学100 3. 3.空间力系简化为一合力的情形空间力系简化为一合力的情形 （3.13.1）若主矢）若主矢FR 0, 而主矩而主矩MO=0，这时得一力。显然，这，这时得一力。显然，这力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心过简化中心O，合力矢等于，合力矢等于原力系的主矢。原力系的主矢。工程力学101 （3.23.2）若主矢）若主矢FR 0，主矩，主矩MO0，且，且FRMO，如图，如图a所示。所示。这时，力这时，力FR 和力偶（和力偶（FR , FR）在同一平面内，如图）在同一平面内，如图b所示。故所示。故可将力可将力FR 和力偶（和力偶（FR , FR）进一步合成，得作用于）进一步合成，得作用于O 的一个的一个力力FR ，如图，如图c所示。所示。RoFMd 3. 3.空间力系简化为一合力的情形空间力系简化为一合力的情形0MFR工程力学102若主矢若主矢FR 0, 主矩主矩MO0，但，但FR MO，如图所示。，如图所示。这种结果称为这种结果称为力螺旋。力螺旋。 所谓力螺旋，就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直所谓力螺旋，就是由