二项式定理在数列求和中的应用

1、二项式定理在数列求和中应用班级：数学 1403姓名： 王琪 学号:14404337二项式定理在数列求和中的应用【摘要 】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系， 结合组合不等式， 推导 出形如 an na(a 2, 3, 4)的前 n 项和的公式 , 并给出求更高次求和公式的一般方 法。【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一、项式定理和杨辉三角介绍：1, 二项式定理：(ab)nCn0anb0C1nan 1b1Cn2an 2b2LCnr an rbrLCnna0bn其中C叫做二项式系数。2, 杨辉三角：二项式定理的应用非常广泛 , 也很重要 , 主要表现在两个方面 : 一是它所 揭

2、示的方法富有启发性 ; 二是它与高等数学联系紧密 .学习与掌握它 , 既有利于 培养学生联想和抽象思维的能力 , 也有利于其今后进一步的学习 .二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数 学家贾宪所首创 .它记载于杨辉的详解九章算法 （1261）之中. 在阿拉伯数学 家卡西的著作算数之钥 （1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用 的计算方法与贾宪的完全相同 . 在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他 1527年出版 的算数书的封面上刻有此图， 但一般称之为“帕斯卡三角形” . 因为帕斯卡在 1654 年也发现了这个结果 .而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫

3、流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前 夕，牛顿就开始了二项式定理的研究， 值得注意的是， 牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况 . 牛顿第一次提到二项式定理是在 1676年6月13日他写 给奥尔登堡转给莱布尼兹的一封信中， 此后牛顿对于该定理进行不断的推理、 猜 想和证明，最终建立了二项式定理 . 牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃 了他以前用于求积的插值法， 而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单 最直接的方法来使用 .随着时间的推移， 二项式定理被越来越多的人运用， 直到今天， 二项式定理 已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一 . 二项式定理是在处理有关两个元素和

4、的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公 式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多 数学分支中都可见其踪影 .二、二项式的性质二项式定理： .理解二项式定理应注意：(1)二项式中，a是第一项，b是第二项，顺序不能变;2) 展开式中有 n 1项(比指数多1)；3) Cn0,C1n,L ,Cnn 是二项式系数;(4) a的指数降幕，b的指数是升幕，两者的指数的和等于 n ；5)二项式展开时要注意各项的符号规律;6)注意二项式定理的可逆性 .二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质：性质一性质二二项式系数表中，除性质三性质四种计算方法结果相a b n 的二项展奇数项的二

5、项a b n 的二项展令a b 1即得系数相等，即 Cnm之和， Cnm Cnm 1Cn0 Cn1 L Cnna b n 的二项展开式中，外其余位置的数都，所有二项式系数的和等于末两端“等距离”的两项的二项式二项式系数的和，即Cn c； L c；r L C： C； Lc；r1 L 2n1.(令a 1,b1 即得).、重要组合恒等式：(1) ,cn；cnc；cr 1证明：Cn 1cn(n 1)!(r 1)!( n r)!(n 1)!r!(n 1r)!-r (n r)J r!(n r)!r !(nr)!c；（证毕）C： 1C； 2l cnr 1n 1 Cn (n r)证明（数学归纳法）：上式左边=

6、1右边是C；1，所以是正确的。假设上式对nk(kr）正确即C；C；1C：2 L C：1 ck1那么就有C；Cr：1Cr 2 L Ck 1Ckck1 Ck再有组合不等式（1）可C； C； 1 Crr 2 LC：1 c： c：故综上所述 对于所有大于r的正整数n （2）式都是成立的。四、一元n次多项式根与系数的关系对于多项式Xn a1Xna2Xn 2 L an 1X an 0 若 X1,X2, x；L x；是它的 n 个根则有一下等式成立:1)1a1x-ix2LXn1)2a2X-I X2X1 x3LXn 1 Xn1)iaiXklXk2 L Xk （所有i个不同的根的乘积的和）1)”a1a?a3L

7、a.五、应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成cr cr 1 Crr2 L cr n 1 Crrn（n r）当r=1，2, 3, 4的时候上式也就是:n(n 1)1)1 n(n 1)(n 2)2!1 410 L£n(n1)(n12)n(n 1)(n2)(n3)3!4!1 515 L丄n(n1)(n12)(n3)n(n1)(n2)(n3)(n 4)4!5!六、归纳总结2-n(nn命题一：k1mnmkn1m 1k 1k 1证明：nk 1 m?m3mmnn1mk 1nmmk1?m3mm nk 1nn两式相减有:k1mkmn 1 m 1k1k 1n命题二：1 nk 1由乘法的定义可知：n个

8、1相加的结果为nn命题三:k n nk 1证明：由二项式定理知:1 2 k2 2k 1，从而:nk2 2kk 1n即： kk 1n1 2 k2k 1222 k k 1 k21k 1k 1k 1k 12n 11 nn n 1n即： kk 1命题四：1一n n 1 2n 161 3 k3 3k2 3k 1，从而nnk13k 3k 3k:1k 1k 1nnn即：k13k33k2k1k 1k 1由此可得：nninn3 k2k13k33k 1k 1k1k 1“ 3n n1n11 321nn1 2n12n即：k21nin 12n 1k162命题五:k3nn 1k:12证明：由二项式定理可知：k证明：由二项

9、式定理可知：knn3 k 1k 1k 1nk 1k 1n1 4 k4 4k3 6k2 4k 1，从而k4 4k36k24k 1n即： k 1k 1nk4nk3n6 k2k 1k3k411n6即:k3命题六:k22nk4丄n k 1302n1 3n23n证明：由二项式定理可知:k55k410k310k2 5k 1，从而k55k410k310k25k 1n即： kk 1由此可得:n5 k4k 1k5k4k5k 1101n n302nn10kk3n10kk2k3k 12n 1101 3n2 3nF面我们讨论一般情况下数列的和,由二项式定理可知:m 1 mCm 1 k10k 110即:k22nkm1m

10、 mCm 1km 1 m 1Cm 1kcm1k Cm1，从n而有 kk 1可得:nmCmk 11km即:m 1 m 1Cm 1 kCm 1kmm 1 m 1 Cm 1 kcm1k1nm 1kk 1nmC mnm 1 m 1Cm 1 kk 1cm点需11 m 11kcm1k需1kmn 1m1 1cm；km1k 1Cm 1k至此，我们求出了连续自然数任意次方的和若多项式 f(k) k(k1)(k 2)L (k1)他的根分别是k10, k21,k32,L ka a 1，则他的展开式中ka 1的系数是a1(01)(a 1)a2a2kK kK L ka 人同 理 f'(k) k(k 1)(k 2)L (k a2)展开式ka2的系数是：a1(0 12 L a 2)则可能导致无法二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准