平面一般力系平衡方程的其他形式

1、第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。1.1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点 A A、B B 及 X X 轴，如图 4 41313 所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即X0MA0(4-6)(4-6)MB0式中 X X 轴不与 A A、B B 两点的连线垂直。证明：首先将平面一般力系向 A A 点简化，一般可得到过 A A 点的一个力和一个力偶。若MA0 成立，则力系只能简化为通过 A A 点的合力 R

2、R 或成平衡状态。如果MB0 又成立，说明 R R 必通过 BoBo 可见合力 R R 的作用线必为 ABAB 连线。又因 X0 成立，则RXX0,即合力 R R 在 X X 轴上的投影为零，因 ABAB 连线不垂直 X X 轴，合力 R R 亦不垂直于 X X 轴，由RX0 可推得 R0。可见满足方程(4 46)的平面一般力系，若将其向 A A 点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。13134-1affl4T4-1affl4T4 42.2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A A、B B、C,C,如图 4 41414所示，则力系的平衡方程可写为三个力

3、矩方程形式，即MA0MB0（47）MC0式中，A A、B B、C C 三点不在同一直线上。同上面讨论一样，若MA0 和 MB0 成立，则力系合成结果只能是通过 A A、B B 两点的一个力（图 4 41414）或者平衡。如果MC0 也成立,则合力必然通过 C C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，MC0 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4-54-5）、式（4 46 6）、式（4 47 7）, ,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方

4、程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。【例4 47 7】某屋架如图 4-154-15（a a）所示，设左屋架及盖瓦共重P3kN,右屋架受到风力及荷载作用，其合力 P27kN,P2与 BCBC 夹角为 80，试求 A A、B B 支座的反力。【解】取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴 X X 轴和 Y Y轴，如图 4-154-15（b b）所示，列出三个平衡方程X0XAP2cos700XAP2cos7070.3422.39kNMA0YB164PP2sin7012P2cos704tan304R12P2sin704耳cos70tan30B16431270.94470.3420.577165.34kNMB016YA12PP2sin704P2cos704tan3012R4P2sin704P2cos70tan30164.24kN校核YYAYBPP2sin704.245.34370.940YA说明计算无误。【例4 48 8】梁 ACAC 用三根支座链杆连接，受一力 P50kN