小波基础知识

1、l小波变换的历史：小波变换的历史：l小波分析是当前数学中一个迅速发展的新小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。泛的双重意义。l小波变换的概念是由法国从事石油信号处小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师理的工程师J.MorletJ.Morlet在在19741974年首先提出的，年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。家的认可。 l18221822年年FourierFourier变

2、换变换, ,在频域的定位最准确，无任在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。何时域定位能力。l 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力力l19461946年年GaborGabor变换，变换，STFTSTFT，窗函数的大小和形状与，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。l19821982年年BurtBurt提出金字塔式图像压缩编码，子带编提出金字塔式图像压缩编码，子带编码码(subband coding),(subband coding),多采样率滤波器组多采样率滤波器组(multi

3、rate sampling filter bank).(multirate sampling filter bank).l19101910年年HarrHarr提出规范正交基。提出规范正交基。l19811981年年StormbergStormberg对对HarrHarr系进行改进，证明了小波系进行改进，证明了小波函数的存在。函数的存在。l19841984年年,Morlet,Morlet提出了连续小波提出了连续小波l19851985年年,Meyer,Grossmann,Daubecies,Meyer,Grossmann,Daubecies提出提出离散的小波基离散的小波基l19861986年年,Me

4、yer,Meyer证明了不可能存在时域频域证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。波的自正交性。l19871987年年,Mallat,Mallat统一了多分辨率分析和小波统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。变换，给出了快速算法。l19881988年，年，DaubeciesDaubecies在在NSFNSF的小波专题研讨的小波专题研讨会进行了讲座会进行了讲座lJ.MorletJ.Morlet，地震信号分析。，地震信号分析。lS.MallatS.Mallat，二进小波用于图像的边缘检，二进小波用于图像的边缘检测、图像压

5、缩和重构测、图像压缩和重构lFargeFarge，连续小波用于涡流研究，连续小波用于涡流研究lWickerhauserWickerhauser，小波包用于图像压缩。，小波包用于图像压缩。lFrischFrisch噪声的未知瞬态信号。噪声的未知瞬态信号。lDutilleuxDutilleux语音信号处理语音信号处理lBeykinBeykin正交小波用于算子和微分算子的正交小波用于算子和微分算子的简化简化l正如正如18071807年法国的热学工程师年法国的热学工程师J.B.J.FourierJ.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到三

6、角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家著名数学家J.L.LagrangeJ.L.Lagrange，P.S.LaplaceP.S.Laplace以及以及A.M.LegendreA.M.Legendre的认可一样。幸运的是，的认可一样。幸运的是，早在七十年代，早在七十年代，A.CalderonA.Calderon表示定理的发表示定理的发现、现、HardyHardy空间的原子分解和无条件基的空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且准备，而且J.O.StrombergJ.O.Stromberg还构造了历史还构造了历史上非常类似于

7、现在的小波基；上非常类似于现在的小波基； l19861986年著名数学家年著名数学家Y.MeyerY.Meyer偶然构造出一个真正的偶然构造出一个真正的小波基，并与小波基，并与S.MallatS.Mallat合作建立了构造小波基的合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.DaubechiesI.Daubechies撰写的撰写的小波十讲（小波十讲（Ten Lectures Ten Lectures on Waveletson Wavelets）对小波的普及起了重要的

8、推动作对小波的普及起了重要的推动作用。它与用。它与FourierFourier变换、窗口变换、窗口FourierFourier变换（变换（GaborGabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale AnalysisMultiscale Analysis），解决了），解决了FourierFourier变换变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为不能解决的许多

9、困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。式的进展。 l小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处

10、理的目的就是：准确的分析、诊分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。号处理问题。 l小波变换如同一台可变焦距的数学显微小波变换如同一台可变焦距的数学显微镜，改变各种焦距便可探测到被处理信镜，改变各种焦距便可探测到被

11、处理信号中所隐含的奇异点并识别出它的性质，号中所隐含的奇异点并识别出它的性质，或分析出非平衡信号所包含的各种成分，或分析出非平衡信号所包含的各种成分，从而可有效地探测并诊断出精密复杂设从而可有效地探测并诊断出精密复杂设备中的疑难故障，是该领域具有明显应备中的疑难故障，是该领域具有明显应用前景的前沿课题用前景的前沿课题l现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。特别适用

12、于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理、模式识别、图象处理；量子力学、理论物理、模式识别、语音识别、地震勘探、流体力学、电磁场、语音识别、地震勘探、流体力学、电磁场、CTCT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算数值计算。l军事电子对抗与武器的智能化；计算机分军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数

13、据处理；大型机成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少面的减少B B超、超、CTCT、核磁共振成像的时间，、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。提高分辨率等。

14、 l(1)(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。向量压缩等。 l(2)(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。小波在信号分析

15、中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)(3)在工程技术等方面的应用。包括计算在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面远程宇宙的研究与生物医学方面 l1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, l Siam, Philadelphia, PA 1992

16、.l2. S. Mallat, A wavelet tour to signal l processing, Academic Press, Boston, 1998.l3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷，小波与算子，第一卷，l 世界图书出版社，世界图书出版社，1992.l4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。l5. 关肇直关肇直,张慕庆张慕庆,冯德兴冯德兴, 线性泛函分析入门，线性泛函分析入门，l 上海科学技术出版社，上海科学技术出版社，1979.l距离空间距离空间为距离的距离空间。为以之间的距离，和为则称有三角不等式：对称性：

17、时，当且仅当非负性：而且满足都对应一个实数是任一集合，设),(),(),(),(),(,. 3),(),(. 2. 0),(0),(. 1),(,yxXyxyxyzzxyxXzyxxyyxyxyxyxyxXyxXl说明RndttytxyxnRZCRZ)()(,内积为欧氏空间表示表示正整数集合表示复数集合表示实数集合表示整数集合22/11221212222/122222/12121,)(),(:),(.4)(,)()(),()(:)()()(.3,;,)()(max),(,)(:)(,.2)(),(,.),(.1lyxyxyxxxxxxllRLyxdttytxyxdttxtxRLRLbaCyxb

18、attytxyxbatxtxbaCbaCyxyxRyxxxxxnRniiiiinRRniiinnn定义距离平方可和离散序列空间定义距离能量有限空间平方可积函数空间定义距离上的连续函数是连续函数空间定义距离的全体所组成的集合维向量维欧氏空间22/11221212222/122222/12121,)(),(:),(.4)(,)()(),()(:)()()(.3,;,)()(max),(,)(:)(,.2)(),(,.),(.1lyxyxyxxxxxxllRLyxdttytxyxdttxtxRLRLbaCyxbattytxyxbatxtxbaCbaCyxyxRyxxxxxnRniiiiinRRnii

19、innn定义距离平方可和离散序列空间定义距离能量有限空间平方可积函数空间定义距离上的连续函数是连续函数空间定义距离的全体所组成的集合维向量维欧氏空间线性空间线性空间来定义其长度。量，用范数对于线性空间的任一向结合律及分配律。并且满足加法或数乘的运算），素的加法和元素的数乘中定义了线性运算（元是任一非空集合，在设xXX线性赋范空间线性赋范空间xyyxyxyxXyxxxRxxxxXxX),(,. 3,. 200, 0. 1,距离定义为时，当且仅当与之对应，满足存在非负实数为一线性空间，设Banach (Banach (巴拿赫巴拿赫) )空间空间空间。为完备的线性赋范空间称中，该空间为完备的。都在都

20、有极限，并且此极限中的任一序列设空间BanachXxXZiiHilbert Hilbert （西耳伯特）（西耳伯特）空间空间空间完备的内积空间称为，距离称为内积空间。范数中的内积，为称时当且仅当，满足，中定义了函数到，从为复数域上的线性空间设HilbertyxyxyxxxxXXxxxxxzyzxzyxCzyyxXzyxCXXX,),(,. 0,0, 0,. 3,. 2,. 1,什么叫什么叫张成张成spanspan？kkkkkkkkkkkteatgXtgespanXteXZkRatteaXteXte)()(,)()(,);()()(有即张成的线性空间：为由序列称成的集合，即所有可能的线性组合构表

21、示为为一个函数序列，设什么叫基底？什么叫基底？为空间的基底是唯一的，称式系数是线性无关的，使得上如果Zkkkkteate)()(什么叫正交？什么叫正交？yxyxyxXyx正交，记作与称中的两个元素，若为内积空间, 0,什么叫标准正交系？什么叫标准正交系？中的标准正交系为空间，则称满足：内积空间中元素列Xenmnmeeennmn10,什么叫完全的标准正交系？什么叫完全的标准正交系？. 0,xexZnXxeXnn，必有若，中的标准正交系内积空间什么叫双正交基？什么叫双正交基？对偶系之间。正交性体现在展开系和但是满足不一定满足正交关系，基底)()(),(klteteekln1122,. 4,. 3.

22、 2.1, 2 , 1;), 2 , 1(nnnnnnnneexxXxexxXxXMXenespanMHilbertne的完全标准正交系是则四个条件等价空间的标准正交系，为设1)(),()(nnnetetxtxParseval的形式：表示为一个付里叶级数空间的任意元素均可以一种正交系，则的本质联系。只要找到定理和付里叶展开之间完全标准正交系、称为框架。中的元素也能够展开为是相关的，空间函数序列)()()(),()()(1ttttxtxXtknkkkZjjjZjjZjjZjjZjjfAffAfBABAtfBffABAHfHtHilbertH,)(,0,)(122222由此式可推得称此框架为紧框架，