catiaV5自由曲线曲面的基本原理Word版

1、自由曲线曲面的基本原理（下）浙江大学 单 岩浙江黄岩华日（集团）公司 梁建国5 自由曲线的几点说明下面我们针对造型的实际需要，对自由曲线的特点和生成方式作几点补充说明，以便读者更有效地使用CAD/CAM软件中的有关功能5.1 与坐标系无关性读者或许会注意到，在Bezier曲线的表达式中（见上期文章），根本没有出现任何坐标变量（如x,y,z），即使是控制顶点Pi的坐标值也未出现，即这种表达式是与坐标无关的。它的优点至少有三个方面：（1）与现实世界保持一致，更易于理解。现实世界中本来就不存在什么坐标系，坐标系只是人为创造出来的一个位置基准，是可以任意变化的。实际空间上的每一个点客观上占据着一个确定

2、的空间位置，是不依赖于任何坐标系的客观存在，而坐标系仅仅是用于帮助描述这个空间位置。也就是说，对于一个确定的空间点，坐标系的变化不会使其空间位置发生任何变化，但其坐标值（即对这个位置的描述）却发生变化。同样，一条自由曲线是由一组控制顶点通过插值得到的，其形状仅与控制顶点之间的位置(注意不是坐标值！)和插值方式有关，因此其表达式中自然没有必要出现坐标变量。（2）表达方便、统一。对于非参数化表达（如直线y=x）而言，当坐标系逆时针旋转90度时，它的表达式就发生变化（y=0），有时甚至无法得到新的表达式。这就为编制统一的处理软件带来了极大困难。而Bezier曲线的表达式与坐标系无关，始终保持统一，因

3、此方便编制统一的计算程序。（3）图形处理速度更快。当我们在计算机屏幕上显示一条曲线时，它已按一定精度离散成许多点。如果这时需要对显示进行一些变换（如旋转），则对于非参数化表达的曲线我们只能将其离散点一一进行变换（因为其表达式发生了变化或者根本无法表达），这将耗费大量的计算时间。而对于Bezier曲线则只要将数量有限的控制顶点进行变换后重新通过插值运算重新绘出新的曲线即可，而插值过程是线性运算（见上期文章），速度远高于旋转变换运算，因此整个变换过程要比非参数化表达的曲线快得多。5.2 参数与参数域从自由曲线的表达方式可知，自由曲线上的每一个点对应于一个参数t，t的取值范围称为参数域，通常定义在0

4、到1之间。如图5所示，当参数t在参数域上等间距取值（0.25）时，自由曲线上的对应点称为等参数分隔点。也就是说，相邻的等参数分隔点在参数域上具有相同的间距（图中为0.25），即均匀分布，而在曲线上的间隔（弧长）却不均匀。如图5中P(0)到P(0.25)的参数间距与P(0.75)到P(1) 的参数间距相同（均为0.25），但在曲线上P(0)到P(0.25)的弧长却远小于P(0.75)到P(1)的弧长。上述可简单总结为：2 / 7自由曲线的参数等分段不等弧长。P(0) P(1) P(0. 5) P(0. 25)P(0. 75)010.250. 50.75参数域t图55.3 形状的控制直观地，我们可

5、以将自由曲线上的点看作各控制顶点共同影响（影响的方式取决于插值方式）的结果，表达式中的基函数Bin(t)可以理解为各控制顶点Pi对曲线形状的影响力，且这些影响力（即基函数Bin(t)）的总和始终是固定的常数1。随着参数的变化，各个控制顶点的影响力分配会有所变化：当参数越靠近0，则起始控制顶点P0的影响力B0n(t)及其附近的控制顶点的影响力就越大。反之当参数越靠近1，则终止控制顶点Pn的影响力Bnn(t)及其附近的控制顶点的影响力就越大。如对Bezier曲线而言，当参数值取0时，控制顶点P0的影响力（即基函数B0n(t)）的值为1，达到最大值，而其它控制顶点的影响力均为零，此时对应的曲线上的点

6、就是控制顶点P0。如前述 ，自由曲线的形状取决于两个因素：控制顶点和插值方式（即控制顶点对曲线的影响方式）。因此我们可以通过改变控制顶点或插值方式来控制曲线的形状。通过改变控制顶点控制曲线形状比较简单，也很直观，是通常采用的一种方式。而通过改变插值方式来控制曲线的形状则很少使用，因为插值方式决定了曲线的类型（如Bezier或NURBS等），因此对插值方式的修改是受到限制的，一般仅能通过所谓的加权系数（weight）进行调整。如图6所示：P1P2P3P1P2P3P ( t) =(1-t)2 P1 +2t(1-t) P2+t2P3P ( t)=(1-t)2P1 +4t(1-t)P2+t2P3（加权

7、）(a) (b)图5图5a是一个二阶Bezier曲线（三个控制顶点），如果我们将中间的控制顶点P2的系数（即P2对曲线形状的影响力）加倍，即乘以加权系数2，可得到P2的系数变为4t(1-t)。这时曲线形状就会更向P2靠拢，如图5b所示。5.4 利用CAD软件生成自由曲线学过CAD/CAM软件造型的读者都知道，一般的CAD/CAM软件提供两种自由曲线的生成手段，一是采用控制顶点（在UG中称为极点poles）生成自由曲线；另一种是采用通过点（through points）生成自由曲线。如图6所示。控制顶点通过点图6基于控制顶点的生成方式与本文所描述的自由曲线生成原理是是一致的，那么采用通过点又是如

8、何生成自由曲线的呢？实际上，在这种情况下自由曲线仍然是由一组控制顶点决定的，只不过这组控制顶点不是由造型人员指定，而计算机软件根据造型人员指定的通过点换算出来的，这个由通过点换算控制顶点的过程称为反算拟合。基本过程如下：曲线控制顶点软件反算拟合造型人员通过点由于采用控制顶点生成自由曲线时造型工程师一般难以直观预测和准确控制生成效果，因此在实际应用中，多数采用通过点生成自由曲线。6 自由曲面自由曲面的生成原理与自由曲线完全相同，也是将一组控制顶点进行插值得到的。其形状也同样取决于控制顶点和插值方式这两个因素。不同的是，自由曲面的插值是在两个参数方向上进行的，其过程也分为两个阶段，如图7所示。图中

9、的自由曲面以一个3x4的控制顶点方阵定义，沿参数v方向有三排控制顶点，每排由四个沿u方向排列的控制顶点组成。下面我们介绍曲面上任一点P（u,v）的计算过程：第一阶段是对沿u方向排列的四排控制顶点以参数u进行插值计算，得到P1(u)、P2(u) 和P3(u)；第二阶段是对P1(u)、P2(u) 和P3(u)沿v方向以参数v进行第二次插值计算得到P(u,v)，而以P1(u)、P2(u) 和P3(u)为控制顶点插值（v在0到1之间变化）生成的自由曲线则称为等u参数线。uv P3(u) P (u,v)样条曲面 等u参数线 P2(u)P1(u)u图7Bezier曲面的表达式为：可以证明，沿u、v方向的两

10、次插值运算的次序与最终生成的P(u,v)是无关的，即无论是先沿u方向进行插值还是先沿v方向进行插值其结果都是一样的，这就保证了曲面形状不依赖于u、v方向的设定。由于自由曲面的生成原理与自由曲线相同，区别仅仅是多一个方向（即多了一维），因此本文前述的关于自由曲线的各项性质均可推广到自由曲面。这里需要特别强调的是一般情况下等参数线之间的间距是不均匀的。7 NURBS样条前面我们介绍了一种基本的自由曲面（线）类型-Bezier样条，而在现有的各种CAD/CAM系统中，实际采用的是一种称为NURBS（非均匀有理B样条）的自由曲面（线）类型。其表达式为：与Bezier表达式对比我们可以看出：（1） 与Bezier曲面相同，NURBS曲面同样是由控制顶点和插值方式决定其形状的；（2） NURBS曲面的插值方式与Bezier不同，因而导致公式中控制顶点对曲面形状的影响力（系数）完全不同。这也是NURBS与Bezier的这两个样条类型的根本差别，即插值方式决定了曲面的类型。（3） NURBS样条曲面表达式更复杂，也更灵活。它可准确表达二次曲面（线），而Bezier不能。这是它替代Bezier的一个主要原因。（4） NURBS表达式中还出现了权系数wij，便于通过调整插值方式改变曲面形状（见本文5.3节中的相关内容），这也是其优点之一。7 小结以上我们介绍了自由曲线（面）的生成原理和