子数列问题的分类例析

1、子数列问题的分类例析湖南祁东育贤中学 周友良 421600数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系.一、从一个数列中按下标的规律取出一些项构成新的数列例1、已知等差数列中，前10项和，若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项，第项，按原顺序组成新数列，且这数列前n项和为，试比较与的大小。解析：设的公差为d ,则当，>2当n=5时, =2当n>5时, <2。例2等差数列的首项是2，前10项之和是15，记求及的最大值分析：由已知可求出公差d解好本题的关键是对“”这一表达式准确、全面的认识：是数列的

2、子数列，其中2，4，8，组成等比数列，则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求最大值的不同解法解：设等差数列的公差为d，由已知： ，解得 求的最大值有以下三种解法解法一：由令，解得又，解得即在数列中： ，所以当时，的值最大，其最大值为： 解法二：数列的通项令，得，由此可得故使，的最大值为4解法三：由，若存在自然数，使得，且，则的值最大 解得，取时，有最大值：反思回顾：上述三种求最值的方法都是运用函数思想解法一是通过数列的单调性及值的正负，求子数列的前n项和的最值解法二是直接研究子数列解法三是研究的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数的单调性例

3、3、数列的相邻的项是方程的两根，且，求无穷数列的各项的和。解：因为是方程的两根，由韦达定理得，由得，由得，又，÷得：，在中令，有。由此可知数列的偶数项组成以为首项，以为公比的等比数列。由又可得，又，÷得：，在中令可得，由知数列的奇数项（）组成以为首项，以为公比的等比数列。注：有些数列必须对奇数项和偶数项分别考虑，问题才能解决。二、从一个数列中取出一些项按项的规律构成新的数列，例4、已知等差数列的首项的部分项组成的数列，为等比数列，其中（I）求数列的通项公式；（II）若数列的前n项和为的值.解：（I） （II） . 例5、已知为等差数列，公差中的部分项组成的数列恰为等比数列，

4、其中，求求证：；解析： 由题设知，即为成等比数列，则即公比又=三、求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理例6、已知两个等差数列：5，8，11，； 3，7，11，； 它们的项数均为100项，试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析：方法一、设两数列共同项组成的新数列为，易知，又数列5，8，11，的通项公式为，公差为3，而数列3，7，11，的通项公式为，公差为4，所以数列仍为等差数列，且公差为d=12，故数列的通项公式为，又得，所以已知两数列有25个共同的项。方法二、整除性 设，n+1只能取4，8，12，100，共25个例7、设

5、An为数列an的前n项和，An= (an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列dn，证明：数列dn的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列dn的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn的前r项的和；Dn为数列dn的前n项和，Tn=BrDn，求.分析：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻an与bn的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.易错分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含

6、有r，会使所求的极限模糊不清.解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=3·32n=3·(41)2n=3·42n+C·42n1(1)+C·4·(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C·42n1·(1)+C·4·(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，Br=，点评：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为41，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)n问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.例8在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解：不妨设，则为与的公共项构成的等差数列 (10