函数的极限第3课时ppt课件

1、函数的极限(3)一般地,当自变量x无限趋近于常数 (但不等于 )时,0 x0 x如果函数)(xf无限趋近于一个常数, a就说当x趋近于0 x时,函数 的极限是)(xf, a记作,)(lim0axfxx 也可记作.)(0axfxx时时，当当)(lim0 xfxx也叫做函数)(xf在点0 xx 处的极限.(2)常用的函数的极限CCxx 0lim复习对于极限表达式 中的,)(lim0axfxx 0 xx ,应怎样理解?应理解为x可以用任何方式无限趋近于0 x包括:从表示 的点的左边无限趋近于0 x0 x从表示 的点的右边无限趋近于0 x0 x从表示 的点的两侧交错地无限趋近于0 x0 x不论,以哪种

2、方式趋近,只要0 xx 就有.)(axf下面讨论函数的“单侧极限,即自变量x只能从表示 的点的一侧0 x无限趋近于 是函数 的极限.0 x)(xf考虑函数 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxfy1-1oxy当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于1当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于1由于x从不同方向无限趋近于0时,)(xf所无限趋近的值不同,所以,)(xf在x=0处无极限即.)(lim0不不存存在在xfxx下面讨论函数的“单侧极限,即自变量x只能从表示 的点的一侧0 x无限趋近于 是函数 的极限.0 x)

3、(xf考虑函数 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxfy1-1oxy.)(lim0不不存存在在xfxx但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数)(xf就会无限趋近于一个确定的常数.当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于1例如:由此,我们得到单侧极限的定义.一般地,如果当x从点 左侧(即 )无限趋近于 时,0 xx 0 x函数)(xf无限趋近于常数, a就说 是函数0 x记作.)(lim0axfxx 0 xx a)(xf在点处的左极限,一般地,如果当x从点 右侧(即 )无限趋近于 时,0 xx 函数)(xf无限趋近

4、于常数, a就说 是函数0 x记作.)(lim0axfxx a)(xf在点处的右极限,0 xx 0 x由函数在一点处的左、右极限定义可知,对于函数 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(时时当当时时当当时时当当xxxxxxfy, 1)(lim0 xfx. 1)(lim0 xfx根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出axfxx )(lim0.)(lim)(lim00axfxfxxxx 练习下列函数在点x=0处的左极限、右极限各是什么?其中哪些函数在点x=0处有极限. );0( 1)0( )()1(2时时当当，时时当当xxxxxf );0( x-)0( )()2(时时当

5、当，时时当当xxxxg ).0( 12)0( 12)()3(时时当当，时时当当xxxxxh0)(lim, 1)(lim00 xfxfxx0)(lim, 0)(lim, 0)(lim000 xgxgxgxxx1)(lim, 1)(lim00 xhxhxx2,2,21.5,1.5,1.5无,无,无,0,0,0-1,2,无0,无,无,练习求下列函数的极限64lim)1(222 xxxx212lim)2(22 xxxx分析:54)3()2(lim)2)(3()2)(2(lim)1(22 xxxxxxxx43)2(lim)12(lim212lim)2(22222 xxxxxxxxx假如 是分式函数,那么

6、)(xf)()(lim)(lim00 xhxgxfxxxx 假如, 0)()(00 xgxh则应先约去零因子0 xx ,再求极限假如, 0)(0 xh)()()(lim000 xhxgxfxx 则则假如，而而0)(, 0)(00 xgxh.)(lim0不存在不存在则则xfxx11lim)3(1 xxx(3)不存在P-84#2(6) 1 , 211 , 12)(),(lim)4(1xxxxxfxfx其中其中分析:3)12(lim)(lim11 xxfxx1)21(lim)(lim11 xxfxx)(lim)(lim11xfxfxx .)(lim1不不存存在在故故xfx.)(lim )(lim )

7、(lim )(lim)(lim ,)(lim )(lim)(lim )(000000000不不存存在在一一个个不不存存在在时时，则则中中至至少少有有与与，或或否否则则，当当时时，有有分分点点，则则当当是是分分段段函函数数，且且如如果果xfxfxfxfxfaxfaxfxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxx .)(0 ,)0( )0( )( 的的极极限限时时，试试讨讨论论已已知知xfxxaxbaxxf .lim)(lim00aaxfxx .)(lim)(lim00bbaxxfxx ).()( 0 , baxfxba或或极极限限存存在在，为为时时，函函数数则则若若 .)( 0 , 极极限限不不存

8、存在在时时，函函数数则则若若xfxba 分析:. 3)(lim , 0)(lim)( .12212求求出出这这一一函函数数的的最最大大值值是是一一个个偶偶函函数数，且且设设函函数数 xfxfcbxaxxfxx. 1)(11)(1, 1 . 34)(lim)(lim . 0)(lim)(lim)(, 0),()()(222221122的最大值为的最大值为故函数故函数解得：解得：由由为偶函数，故为偶函数，故xfxxfcacacaxxfcacaxxfcaxxfbxfxfcbxaxxfxxxx 分析:)(lim )(lim )0( 0 )0( |)( .1300 xfxfxxxxxfxx 与与的的图图

9、象象，并并求求出出作作出出函函数数 )0(1)0(0)0(1)(时时时时时时xxxxf分析:1)1(lim)(lim00 xxxf1lim)(lim00 xxxf1.判断下列各命题是否真命题,如果不是,指出错在哪里.假假0,0,03,3,30,2,无1,1,1一般地,如果当x从点 左侧(即 )无限趋近于 时,0 xx 0 x函数)(xf无限趋近于常数, a就说 是函数0 x记作.)(lim0axfxx 0 xx a)(xf在点处的左极限,一般地,如果当x从点 右侧(即 )无限趋近于 时,0 xx 函数)(xf无限趋近于常数, a就说 是函数0 x记作.)(lim0axfxx a)(xf在点处的右极限,0 xx 0 x小结:axfxx )(lim0.)(lim)(lim00axfxfxxxx 假如 是分式函数,那么)(xf, 0)()(00 xgxh则应先约去零因子0 xx , 0)(0 xh)()()(lim000 xhxgxfxx 则则，而而0)(, 0)(00 xgxh.)(lim0不存在不存在则则xfxx,再求极限)()(lim)(lim00 xhxgxfxxxx 假如假如假如.)(lim )(lim )(lim )(lim)(lim ,)