高等数学第章第7节傅立叶级数ppt课件

1、第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxnkxnkd)cos()

2、cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos

3、1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxkaxxkxfdcos2dcos)(01n

4、xxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里叶级数 .称为函数)(xf 傅里叶 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理

5、3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅里叶级数的条傅里叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 设 f (x) 是

6、周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里叶系数先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ),2,0,(xx77

7、sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明: :), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ), 2, 1(nx

8、nxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , )(xxf周期延拓)(xF傅里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它机动 目录 上页

9、下页 返回 完毕 例例3. 将函数将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx那么xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0

10、时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明说明: :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 42,421312242设,413121122222217151311,6141212222知82122234131211又21213624822212248222机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数其傅里叶级数为为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxn

11、xxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 设设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因而02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn机动 目录 上页 下页 返回 完毕 n1根据

12、收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),迫近 f (x) 的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 将周期函数将周期函数tEtusin)(展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因而0d)(2ttu机动 目录 上页 下页

13、 返回 完毕 t 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf机动 目

14、录 上页 下页 返回 完毕 1xyo例例6. 将函数将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页

15、下页 返回 完毕 1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1yox内容小结内容小结1. 周

16、期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 假假设设0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓

17、方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习处收敛于2.)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,xyo110 x3. 设设,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式 .解解: 由题设可知应对由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)

18、2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2), 0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 写出函数写出函数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目录 上页 下页 返回 完毕 xyo11)(xfP250 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 3; 5 ; 7 ; 8 (2)第八节 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业 备用题备用题 1.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21xx3sin0 x3cos31x3sin91)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶