第四节 流体流动总衡算方程

1、1.4 1.4 流体流动的基本方程流体流动的基本方程流体动力学研究基本途径是衡算方法。具体的说，是通过流体动力学研究基本途径是衡算方法。具体的说，是通过质量守恒、能量守恒及动量守恒原理对过程进行质量、能质量守恒、能量守恒及动量守恒原理对过程进行质量、能量及动量衡算从而获得物理量之间的内在联系和变化规律。量及动量衡算从而获得物理量之间的内在联系和变化规律。1.4.1 1.4.1 连续性方程连续性方程稳态流动时系统的质量守衡：稳态流动时系统的质量守衡： 输入量输出量积累量输入量输出量积累量在作稳态流动的管路中任意取截面在作稳态流动的管路中任意取截面1-11-1和和2-22-2，作质量衡算，作质量衡

2、算: :输入量输入量111111AuVW222222AuVW输出量输出量累积量累积量0WWWW21222111AuAuWWW21依依由于由于1-11-1和和2-22-2截面的任意性，上面的方程可推广到整个管路：截面的任意性，上面的方程可推广到整个管路：const.222111 nnnAuAuAu意义意义：流体作稳定流动时，流经流路各截面的的质量流量流体作稳定流动时，流经流路各截面的的质量流量 不变不变 稳定流动状态下的稳定流动状态下的连续性方程连续性方程若流体若流体不可压缩不可压缩（ =const.），上式便可化为：），上式便可化为：const.2211 nnAuAuAu不可压缩性流体的连续性

3、方程不可压缩性流体的连续性方程 上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排及管路上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排及管路上是否装有管件、阀门或输送设备等无关；上是否装有管件、阀门或输送设备等无关； 若流体在圆管内流动，则若流体在圆管内流动，则2222211144dudu于是于是22222111dudu2212112dduu22112dduu对于不可压缩性流体对于不可压缩性流体说明说明 上述公式适用于同一流路中连续流动的流体。上述公式适用于同一流路中连续流动的流体。例：稳态下水以例：稳态下水以1.5m/s的流速从一条细管流入粗管，已知粗的流速从一条细管流入粗管，已知粗管内径是细管内径的两

4、倍，求粗管内水的流速。管内径是细管内径的两倍，求粗管内水的流速。解：选细管处为解：选细管处为1-11-1截面，粗管处为截面，粗管处为2-22-2截面截面根据连续性方程根据连续性方程 ，有：，有： 水为不可压缩流体水为不可压缩流体 ，故：，故：22222111dudu22112dduu(m/s) 375021512211122112.ddudduu12211.4.2 1.4.2 机械能衡算方程机械能衡算方程 流动系统中的能量流动系统中的能量 内能内能(internal energy )U ： the energies with fluid inside 热热(hea

5、t )Q ：the heat obtained from environment 位能位能 (potential energy )Ep：the energy caused by the gravity流体的位能相当于将流体由基准水平面提流体的位能相当于将流体由基准水平面提升到某高度升到某高度Z 所做的功。所做的功。 动能动能 (kinetic energy )Ek： the energy caused by fluid flow流体的动能相当于将流体从静流体的动能相当于将流体从静止加速到流速止加速到流速u u所做的功。所做的功。 静压能静压能 (static pressure energy )

6、Es：the energy opposed to static pressure of fluid在流动性统中任取在流动性统中任取1-1和和2-2截面，则截面，则各截面上所提所具有总能量分别为：各截面上所提所具有总能量分别为：流体的静压能相当于将流体在体积不变的情况下推进具有某静流体的静压能相当于将流体在体积不变的情况下推进具有某静压强压强 p的系统时所做的功。的系统时所做的功。 s1k1p1111EEEQUEs2k2p2222EEEQUE 理想流体稳态流动的机械能衡算方程理想流体稳态流动的机械能衡算方程机械能是动能与势能的总和，理想流体在流动过程中没有阻力机械能

7、是动能与势能的总和，理想流体在流动过程中没有阻力 于是，图中系统理想流体稳态流动的机械能衡算：于是，图中系统理想流体稳态流动的机械能衡算：0 21EEEEs2k2p2s1k1p1EEEEEEm kg流体通过截面流体通过截面1所受的力：所受的力：pAF 流到截面流到截面2时流体流过的距离：时流体流过的距离：AmAVLm kg流体流过流体流过L距离所做的功：距离所做的功：pVpmAmpAFLWm kg的流体具有的位能的流体具有的位能mgZ(Nm)m kg的流体具有的动能的流体具有的动能221mu(Nm)m kg流体所具有的静压能流体所具有的静压能pVpm(Nm)12LLAV (m)V (m)222

8、2121122pugzpugz对于每对于每kg流体：流体：gzmmgzEp位能位能静压能静压能pmpVEs动能22122kummuEs2k2p2s1k1p1EEEEEE依依(J/kg)上式即为不可压缩性理想流体的机械能衡算方程，也即著名的上式即为不可压缩性理想流体的机械能衡算方程，也即著名的伯努利方程伯努利方程 (Bernoulli equation)。理想流体稳态流动，无外功加入时，在任一截面上单位质量理想流体稳态流动，无外功加入时，在任一截面上单位质量的流体所具有的位能、动能、静压能之和为常数。的流体所具有的位能、动能、静压能之和为常数。022puzg柏努利方程说明，理想流体在各截面上所具

9、有的总机械能相柏努利方程说明，理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械等，而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械能可以相互转换。能可以相互转换。【柏努利方程的意义柏努利方程的意义】 阀门开启后阀门开启后能量转换演示能量转换演示1-1截面的位能转化为截面的位能转化为2-2、3-3、4-4截面的动能和静压能截面的动能和静压能阀门关闭时阀门关闭时Z1122334422up 实际流体稳态流动的机械能衡算方程实际流体稳态流动的机械能衡算方程机械能损失机械能损失实际流体有黏性，因而在流动过程中因摩擦产生流动阻力而导实际

10、流体有黏性，因而在流动过程中因摩擦产生流动阻力而导致能量损失致能量损失 (energy loss)每公斤流体能量损失用每公斤流体能量损失用 hf 表示，单位为表示，单位为J/kg，指流体在两截，指流体在两截面间所消耗的能量。面间所消耗的能量。大多数情况下为克服流动阻力需要有外功加入，外功用大多数情况下为克服流动阻力需要有外功加入，外功用We表表示，单位为示，单位为J/kg，指流体在两截面间所获得的能量。指流体在两截面间所获得的能量。 We是泵或其它输送机械对单位质量流体作的有效功，它是是泵或其它输送机械对单位质量流体作的有效功，它是选择输送机械的重要依据。选择输送机械的重要依据。 能量损失一般

11、产生热而进入环境，是能量损失一般产生热而进入环境，是永久损失永久损失，不能恢，不能恢复或转化为其他压头。复或转化为其他压头。实际流体稳态流动的伯努利方程：实际流体稳态流动的伯努利方程：f2222e121122hpugzWpugz 根据输送设备对单位质量流体所做的有效功根据输送设备对单位质量流体所做的有效功We可以计算输可以计算输送设备的有效功率和轴功率送设备的有效功率和轴功率(W) See wWN有效功率有效功率单位时间内输送设备所做的有效功单位时间内输送设备所做的有效功 伯努利方程的分析伯努利方程的分析轴功率轴功率泵轴所需的功率泵轴所需的功率NNe( ( 是泵的效率是泵的效率) ) 其他基准

12、下的伯努利方程其他基准下的伯努利方程以以1N流体为基准：流体为基准：mg22f2222e1211hpugzWpugz当当m=1时，则以时，则以1N流体为基准的伯努利方程：流体为基准的伯努利方程：f2222e121122HgpguzHgpguz位压头位压头动压头（速度头）动压头（速度头）静压头静压头有效压头有效压头压头损失压头损失以以1m3流体为基准流体为基准:VhpugzWpugzf2222e121122hpugzWpugzm22f2222e1211当当m=1时，则以时，则以1m3流体为基准的伯努利方程：流体为基准的伯努利方程：f2222e121122hpugzWpugz对于对于静止流体静止流

13、体，伯努利方程可化为：，伯努利方程可化为：pgzpgz2211)(1212zzgpp流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式2211pgzpgz 柏努利方程式的应用柏努利方程式的应用 管路中流体流量的确定管路中流体流量的确定【例例】20的空气流过水平通风管道，在内径自的空气流过水平通风管道，在内径自300mm渐渐缩到缩到200mm处的锥形段测得表压为处的锥形段测得表压为1.2kPa和和0.8kPa。空气流。空气流过锥形段的能量损失为过锥形段的能量损失为1.60J/kg，当地大气压力为，当地大气压力为100kPa，求空气体积流量。求空气体积流量。解解: : 压缩性判断压缩性判断 20%0.4%1

14、00%1001.2100)(0.8-100)(1.2100121%ppp气体在此条件下可看作不可压缩，可以使用伯努利方程。气体在此条件下可看作不可压缩，可以使用伯努利方程。 选择基准面，确定衡算范围选择基准面，确定衡算范围在粗管处选择在粗管处选择1-1截面，细截面，细管为管为2-2截面，并以管中心截面，并以管中心线为基准，在线为基准，在1-1和和2-2截面截面间列伯努利方程。间列伯努利方程。以以1 kg 流体为基准：流体为基准：f2222e121122hpugzWpugz依题意，依题意，z1=0， p1=1200 Pa(表压表压)， z2=0， p2=800 Pa(表压表压)， hf=1.60

15、 J/kg，We=0f22212122hpupu于是：于是：)(kg/m201293315810) 8010021100(229)(22332121m.RTppM方程中的空气密度取平均压强下的平均密度方程中的空气密度取平均压强下的平均密度所以所以6121800221120022221.u.u（1）根据连续性方程，有根据连续性方程，有1122112252)200300()(u.udduu（2）联立式（联立式（1）和（）和（2），得：），得：u1=12.8 (m/s)，u2=28.8 (m/s)于是，空气体积流量于是，空气体积流量/s)(m9040812304432121s.udV 确定容器间相对

16、位置的确定确定容器间相对位置的确定【例例】 将密度为将密度为900kg/m3的料液从敞口高位槽送入塔中，高位的料液从敞口高位槽送入塔中，高位槽内液面恒定，塔内真空度为槽内液面恒定，塔内真空度为8.0kPa，进料量为，进料量为6m3/h，输送管，输送管规格为规格为 452.5mm的钢管，料液在管内流动能量损失为的钢管，料液在管内流动能量损失为30 J/kg，计算高位槽内液面至出口管高度计算高位槽内液面至出口管高度h。h1122选高位槽液面为选高位槽液面为1-1截面，管出口内侧截面，管出口内侧为为2-2截面，并以截面，并以2-2截面为基准水平面，截面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程：在两截面间

17、列柏努利方程：解：选择基准面，确定衡算范围解：选择基准面，确定衡算范围f2222e121122hpugzWpugzz1=h，u1=0，p1=0(表压表压)，We=0，z2=0，hf=30J/kg p2=-8.0103Pa(表压表压)，Vs=6m3/h，d=45-22.5=40mm， =900 kg/m3f2222e121122hpugzWpugz(m/s)33136000404622.uf2222hpugh(m)24230900108233181912132f222.hpugh这个高度为料液提供了动能，并克服流动阻力，使料液能这个高度为料液提供了动能，并克服流动阻力，使料液能顺利流入塔内。顺利

18、流入塔内。 输送设备的功率确定输送设备的功率确定【例例】 用泵将敞口贮槽内的液体送入表压为用泵将敞口贮槽内的液体送入表压为0.2 MPa的高位槽的高位槽中，输送管为中，输送管为 684mm钢管，管出口处高于贮槽液面钢管，管出口处高于贮槽液面20 m，料液密度料液密度1100 kg/m3，送液量送液量30 m3/h，溶液流经全部管道的能，溶液流经全部管道的能量损失为量损失为120J/kg，求泵的轴功率（泵的效率为，求泵的轴功率（泵的效率为65%）。）。20m 22 11解：选择基准面，确定衡算范围解：选择基准面，确定衡算范围选贮槽液面为选贮槽液面为1-1截面，管出口内侧为截面，管出口内侧为2-2

19、截面，并以截面，并以1-1截面为基准水平面，在两截截面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程：面间列柏努利方程：f2222e121122hpugzWpugz20m 22 11依题意：依题意：z10，u10，p1=0(表压表压)，z2=20 m， p2=0.2106 Pa(表压表压)，hf=120J/kg(m/s)952360006043022 .uf2222e121122hpugzWpugz(J/kg)375021201100102029522081962e.W(kW)0871000650360011003037502see.wWNNf22222hpugzWe 管路中压力的确定管路中压力的确定4

20、.5m 22 11【例例】泵送水量为泵送水量为50 m3/h，进口管为，进口管为 1144 mm的钢管，管的钢管，管路中全部能量损失为路中全部能量损失为10 J/kg。泵的入口处高出水面。泵的入口处高出水面4.5m，求，求其进口处真空表的读数。其进口处真空表的读数。解：选择基准面，确定衡算范围解：选择基准面，确定衡算范围选贮槽液面为选贮槽液面为1-1截面，泵进口处为截面，泵进口处为2-2截面，并以截面，并以1-1截面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程：截面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程：其中：其中： z10，u10，p1=0(表压表压) ，We=0 ，z2=4.5 m(m/s)581)

21、360010604(5022 ./uf2222e121122hpugzWpugz)表压)(55393)10258154819(1000222222 Pa -.hugzpf 在应用伯努利方程式解题时，要注意下述几个问题：在应用伯努利方程式解题时，要注意下述几个问题： 截面的选取截面的选取 衡算范围的划定衡算范围的划定【伯努利方程使用说明伯努利方程使用说明】l衡算范围内要包括所有的已知量和待求量。衡算范围内要包括所有的已知量和待求量。l截面与流动方向垂直；截面与流动方向垂直；l待求量必须在其中一个截面上反映出来。截面上除待求量外，待求量必须在其中一个截面上反映出来。截面上除待求量外，其他量必须是已知的，或通过其他方法能计算出的。其他量必须是已知的，或通过其他