平面向量的内积

1、1、向量的夹角的概念、向量的夹角的概念)1800( 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 与与 同向同向abOABaba Bbb AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角 记作记作.记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060

2、Cs 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角F功是一个标量，它由力和位移两个向量来功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把确定。这给我们一种启示，能否把“功功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？看成这两个向量的一种运算的结果呢？记作记作= 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 abba即有即有cosbaab叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），bacosba规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量

3、与任意向量的数量积为0，00a即即 表示数量而不表示向量,与、 不同, 它们表示向量； aababba在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是0180（1）（2）（3）“”不能省略不写，也不能写为“”“”不能省略不写，也不能写为“”2、数量积的概念、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质不适合练习练习1，已知，已知|a |=5，|b |=4，a与与b的夹角的夹角 ， 求求a b.6054cos60 154( )210 解：解： a b =|a | |b |cos知道 与 能不能求出a ba bcoscosa ba b0变1：当 时求ab变3：当 时求18

4、0ab90ab变2：当 时求变4： 与 同方向，求a e ea(3)cos =( a b )/(|a|b|).(2)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|. 特别地特别地,a a (或写成或写成 a 2)=| a |2或或| a |=a a 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单方向相同的单位向量，位向量， 是是a与与e的夹角的夹角,则则 ab= /2cos =0(4) e a = a e=| a |cos .| a | b |cos =0 a b =0a b =| a | b |cos (1)ab a b =0.3、

5、向量数量积的性质、向量数量积的性质练习练习3 3、判断下列命题是否正确、判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.( )()( )()()()7.7.对实数对实数a,b,ca,b,c有有 (ab)c=a(bc(ab)c=a(bc) ) 对向量对向量, ,是否是否有有( (a a. .b b) )c c= =a a

6、( (b b. .c c) ) 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？积能否满足下面的运算律？已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：, ,a b c （1）a bb a （交换律）（交换律）（2）()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）4()()abcabc（不一定成立）（不一定成立）4、向量数量积的运算律、向量数量积的运算律54602oa

7、babkkabab例2、已知， 与 的夹角为，问当 为何值时，向量与垂直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 本节课我们主要学习了平面向量的本节课我们主要学习了平面向量的夹角夹角,数量数量积的概念积的概念,运算率运算率与与性质性质，常见的题型主要有：，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模4、运用

8、数量积的性判定两向量是否垂直、运用数量积的性判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角练习2：作图并求出求下列各组向量的夹角（1） =(=(0,-3) =(2,0)(2) (2) =(0,2) =(-2,2)=(0,2) =(-2,2)abab例2:已知: ,当 ; ; 与 的夹角为时,分别求 与 的数量积.4,5abababba150ba已知: ,当 ; ; 与 的夹角为时,分别求 与 的数量积.4,5abababba150ba解: , 与 同向或反向aabb , 与 同向或反向aabb若 与 同向,则,ab0若 与 同向,则,ab04520若 与 反向,则,ab180若 与 反向,则,ab18045( 1)20