14正交化及正交矩阵ppt课件

1、. 向量的内积及其性质向量的内积及其性质向量内积的定义向量内积的定义设设 1122X, Ynnxyxyxy是两个是两个n维向量维向量 令令 1X, Yniiix y X YT 称称是向量是向量X和向量和向量Y的内积。的内积。 2. 内积的性质内积的性质(1) = (3) = + (2) = 3. 向量的范数向量的范数称称 21niix 为向量为向量X的长度的长度 (范数范数), 记为记为|X|(4)X,YX Y 称称|X Y|为为X与与Y之间的距离之间的距离.证明：证明： 令令 f(t) = ， 显然函数显然函数f(t) 0且且 f(t) = + = + t + t + t2 = |X|2 +

2、 2t + t2|Y|2 从而有：从而有： 2224X,Y4 XY0 即即 X,YX Y 证毕证毕称称X,YarccosXY 为向量为向量X与之间的夹角与之间的夹角.X,YcosXY 即即XYX,Y0 ,特别特别4. 范数的性质范数的性质(5) |X| 0, 且且 |X| = 0 X = 0(6)XX (7) XYXY 证明证明: 由由 2XYXY,XY 22X2X,YY 再由再由X,YXY 得到得到: 22XYXY 即即:XYXY 证毕证毕例例1. 设设X, Y, Z皆是皆是n维向量维向量, 试证明三角不等式试证明三角不等式:XZXYYZ 证明证明:XZ(XY)(YZ) XYYZ 例例2.

3、设设X, Y是两个相互正交的是两个相互正交的n维向量维向量, 试证明勾试证明勾股定理股定理:222XYXY证明证明:2XYXY,XY X,XX,YY,XY,Y 22XY定理定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。非零的正交向量组必然是线性无关的。证明：证明： 设设1, 2, , m是一组两两相互正交是一组两两相互正交的非的非零向量零向量. 1, 2, , m是一组数，是一组数， 1 1 + 2 2 + + m m = 0 使得使得那么那么 0 = = j 又又|j|2 0, 所以所以j = 0, j = 1, 2, , m 从而从而1, 2, , m线性无关线性无关 证毕证毕二二. 向量空间

4、的标准正交基向量空间的标准正交基标准正交基的定义及其性质标准正交基的定义及其性质定义定义:设设V是一个向量空间，是一个向量空间，1, 2, , m是是V的一组基，若满足：的一组基，若满足：1）1, 2, , m两两相互正交两两相互正交 2）|j| = 1, j = 1, 2, , m 则称则称1, 2, , m是向量空间是向量空间V的一组标的一组标准正交基准正交基.定理定理2 假设假设1, 2, , m是向量空间是向量空间V的一的一组标准正交基，组标准正交基， = 11 + 22 + + mm是是V中的一个向量，那么中的一个向量，那么j = , j = 1, 2, , m证明：证明： ,1,m

5、jjiii 1,mijii 1,2,jm j 2. Schmidt正交化过程正交化过程定理定理3 若若V是是Rn的一个非零子空间，则的一个非零子空间，则V一定一定有标准正交基有标准正交基 .证明：证明： 设设1, 2, , m是是V的一组的一组基。基。 取取 11, 111 1 2 取取 22211, 2211211, 222 取取 33311322, 333, 23321,kkkk 1 2 3 设设1, 2, , s, s m,是两两正交的单位是两两正交的单位向量向量,并且该向量组与并且该向量组与1, 2, , s等价等价.取取 1111,sssskkk 1121,sskskkk 111ss

6、s ; 当当 j = 1, 2, , s 时时, 1111,ssjsjskkjk 11,sjsjjj 0 显然显然, 1, 2, , s, s+1是两两正交的单是两两正交的单位向量位向量,并且该向量组与并且该向量组与1, 2, , s, s+1等价等价.经过若干次后我们就可以得到经过若干次后我们就可以得到V的一组标准的一组标准正交基正交基1, 2, , m。 1 = 1, 22211211,) 33311322221211,),) 证毕证毕Schmidt正交化过程正交化过程11211,)kkkkjjjj ,k = 1, 2, , m-1,1,2,.,jjjjm 例例3. 把列向量组把列向量组1

7、 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。正交化。解解: 令令 1 = 1, 22211211,) 1110230111 131321 33311322221211,),) 01110324315112111 431531 123114033111,12331535111 例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即

8、取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a3. 向量在向量空间上的正交投影向量在向量空间上的正交投影定义定义: 设设V是是Rn的一个非平凡的子空间的一个非平凡的子空间,Rn，若在若在V中存在某向量中存在某向量，使得，使得 - 与与V中中任何一个向量皆正交，则称任何一个向量皆正交，则称为向量为向量在在向量空间向量空间V中的正交投影向量。中的正交投影向量。 定理定理4. 设设V是是Rn的一个非平凡的子空间的一个非平凡的子空间, Rn,那么那么在向量空间在向量空间V中的正交投影向量

9、存在且中的正交投影向量存在且唯一唯一.证明：证明： 设设1, 2, , m是向量空间是向量空间V的一组标准的一组标准正正交基交基. 取取 1,mkkk 那么那么 = - = - = 0， 说明向量说明向量 - 与与V的标准正交基的标准正交基1, 2, , m中的任何一个向量皆正交，中的任何一个向量皆正交， 从而与从而与V中的任何一个向中的任何一个向量皆正交。量皆正交。 故故是向量是向量在向量空间在向量空间V中的正交投中的正交投影向量。影向量。 假设假设也是向量也是向量在向量空间在向量空间V中的正交投影向中的正交投影向量，量， 由于由于:= + = 0，j = 1, 2, , m， 以及以及V，

10、V的维数等于的维数等于m， 推知推知 = 即即, 在向量空间在向量空间V中的正交投影是唯一的。中的正交投影是唯一的。 定理定理5 设设V是是Rn的一个非平凡的子空间，的一个非平凡的子空间，Rn，是是在向量空间在向量空间V中的正交投影向量，则对中的正交投影向量，则对于于V中的任何一个向量中的任何一个向量，只需，只需 ，就，就有：有：| - | | - |2. 即：即：| - | | - | 证毕证毕三三. 正交方阵及其性质正交方阵及其性质定义：设定义：设A是一个是一个n阶方阵，若阶方阵，若ATA = En则称则称A为为一个一个n阶正交矩阵。阶正交矩阵。1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。矩阵是一个正交矩阵。2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个个列向量构成了列向量构成了Rn的一个标准正交基的一个标准正交基.3. 若若A是一个正交矩阵，那么是一个正交矩阵，那么|A|2 = 1定义定义: 若若A是一个正交矩阵，则称线性变换是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。为正交变换。正交变换有如下性质：设正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX21. = 2. | Y1| = | X1|3. Y1