2.1变量分离方程与变量变换ppt课件

1、第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 2.1 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换xyyxeyeyedxdy122yxdxdy定义定义1 1 形如形如) 1 . 2()()(yxfdxdy的方程的方程, ,称为变量分离方程称为变量分离方程. .,)()(的连续函数的连续函数分别是分别是，这里这里yxyxf),(yxFdxdy2.1.1 2.1.1 变量分离方程的求解变量分离方程的求解,)()(dxxfydy)2 . 2()()(cdxxfydy.) 1 . 2(),()2 . 2(的的解解就就为为所所确确定定的的函函数数由由cxy) 1 . 2()()(y

2、xfdxdy写写成成将将时时当当) 1 . 2(,0)(y分分离离变变量量01两边积分得两边积分得02的的某某一一原原函函数数)(1y的的某某一一原原函函数数)(xf例例122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分离变量分离变量两边积分两边积分原方程的解为原方程的解为解解.)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000上上的的通通解解中中，必必须须予予以以补补含含在在方方程程可可能能它它不不包包的的解解也也是是则则使使若若存存在在yyyy注注: :例例1 1 求微分方程求微分方程)101 (yydxdy的所有解的所有解. .解解dxyydy)101 (

3、积分得积分得110lncxyy分离变量分离变量,100, 0)101 (yyyy和和求出方程的所有解为求出方程的所有解为由由故方程的所有解为故方程的所有解为. 0110ycceyx和和为为任任常常数数，,110 xcey. 0c化简整理，得化简整理，得解解分离变量后得分离变量后得dxxdyy123两边积分得两边积分得121ln2cxy整理后得通解为整理后得通解为21)(ln4cxy,)(ln42cx无意义无意义在在由于函数由于函数其中其中0,1231xxyecc之之一一中中有有意意义义或或故故此此解解只只在在00 xx例例2 223ydxdyx求微分方程求微分方程的通解的通解. .中中，这个解

4、不包含在通解，这个解不包含在通解此外还有解此外还有解0y例例3 3 求微分方程求微分方程yxpdxdy)(.)(,的的连连续续函函数数是是其其中中的的通通解解xxp解解将变量分离后得将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得两边积分得1)(lncdxxpy由对数的定义有由对数的定义有1)(cdxxpey即即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中也包括在上式中知知若在上式中充许若在上式中充许也是方程的解也是方程的解此外此外ycy.,)(为为任任常常数数cceydxxp故方程的通解为故方程的通解为例例4 4.1)0(cos2的的特特解解求求初初值值问问题题yxydxd

5、y解解，xydxdy的通解的通解先求方程先求方程cos2得得将将变变量量分分离离时时当当,0yxdxydycos2两边积分得两边积分得,sin1cxy因而通解为因而通解为,sin1cxy.为任意常数为任意常数其中其中c得得到到的的且且不不能能在在通通解解中中取取适适当当也也是是方方程程的的解解此此外外cy,0再求初值问题的通解再求初值问题的通解, ,1,1)0(cy得得代代入入通通解解以以所以所求的特解为所以所求的特解为.sin111sin1xxy 我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解另外，我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若

6、能通对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也可用初等解法求解下面介绍几种典型的可通过适当的变量变可用初等解法求解下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换，化为变量分离的微分方程类型换，化为变量分离的微分方程类型2.1.2 2.1.2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型（）齐次方程）齐次方程.222111cybxacybxafdxdy（）形如）形如为为任任意意常常数数的的方方程程，其其中中222111,cbacba)5 . 2()(xygdxdy.)(的连续函数的

7、连续函数是是这里这里uug方程称为齐次方程方程称为齐次方程, ,求解方法求解方法,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy其其中中（）形如）形如，方程化为，方程化为引入新变量引入新变量作变量代换作变量代换xyu )(10解以上的变量分离方程解以上的变量分离方程02.30变量还原变量还原例例5 5求解方程求解方程)0(2xyxydxdyx解解方程变形为方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程这是齐次方程, ,代代入入，则则原原方方程程变变为为及及令令udxduxdxdyxyu分离变量，得分离变量，得xdxudu2uu 2udxduxudxdux2即即两边积分得两边积分得cxu)ln(

8、,)(ln(2cxu代入原来变量代入原来变量, ,得原方程的解为得原方程的解为.0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxy即当即当 时时0)ln(cx为任意常数为任意常数cxdxudu2轴轴整整个个负负半半轴轴上上它它定定义义在在 x例例6 求下面初值问题的解求下面初值问题的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解解方程变形为方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程这是齐次方程,代入方程得代入方程得令令xyu 21udxdux将变量分离后得将变量分离后得xdxudu21两边积分得两边积分得cxuulnln1ln2整理后得整理后得cxuu21变量还原得变量还原得cxxyxy

9、2)(1. 10) 1 (cy，可定出，可定出最后由初始条件最后由初始条件故初值问题的解为故初值问题的解为) 1(212xy分三种情况讨论分三种情况讨论的的情情形形01210 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程为齐次方程, ,由由(I)(I)可化为变量分离方程可化为变量分离方程. .,222111cybxacybxadxdy.,222111为为常常数数这这里里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程的方程可经过变量变换化为变量分离方程. .（）形如）形如的的情情形形0221210bbaa则则方方程程可可改改写写成成设设,2121kbbaa2

10、22111cybxacybxadxdy则方程化为则方程化为令令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22这就是变量分离方程这就是变量分离方程不不同同时时为为零零的的情情形形与与且且212121003ccbbaa,00222111cybxacybxa).0 , 0(),(解解以以上上方方程程组组得得交交点点平平面面两两条条相相交交的的直直线线，代代表表 xy作变量代换作变量代换( (坐标变换坐标变换) ),yYxX则方程化为则方程化为YbXaYbXadXdY2211为为(10)(10)的情形的情形, ,可化为变量分离方程求解

11、可化为变量分离方程求解. .那么那么解的步骤解的步骤: :,0012221110cybxacybxa解解方方程程组组,yx得得解解，方方程程化化为为作作变变换换yYxX02YbXaYbXadXdY2211)(XYg分离方程分离方程，将以上方程化为变量，将以上方程化为变量再经变换再经变换XYu 03求求解解04变变量量还还原原05例例7 7求微分方程求微分方程31yxyxdxdy的通解的通解. .解解解方程组解方程组0301yxyx, 2, 1yx得得代代入入方方程程得得令令2, 1yYxXYXYXdXdY得得令令,XYu uudXduX112XYXY11将变量分离后得将变量分离后得XdXudu

12、u21)1 (两边积分得两边积分得cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为变量还原并整理后得原方程的通解为.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注注: :上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型. .)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外此外, ,诸如诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.

13、,变变量量分分离离方方程程均均可可适适当当变变量量变变换换化化为为些些类类型型的的方方程程等等一一次次数数可可以以不不相相同同的的齐齐次次函函数数为为其其中中yxNM例例8 8求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解0)()(22dyyxxdxxyy解解,xyu 令令ydxxdydu则则代入方程并整理得代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即即0)1 (22duuxdxu分离变量后得分离变量后得xdxduuu212两边积分得两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为变量还原得通解为.ln1cyxxy2.1.3 2.1.3 应用举例应用举例例例8 8、雪球的融化、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm6cm，经过，经过2 2小时后，其半径缩小为小时后，其半径缩小为3cm3cm，求雪球的体积随时间变化的关，求雪球的体积随时间变化的关系系解解则则表表面面积积为为雪雪球球的的体体积积为为设设在在时时刻刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根据球体的体积和表面积的关系得根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(323231tvts，再再利利用用题题中中条条件件得得引引入入新新常常数数k