高中数学选修2-3-条件概率

1、2.2.1条件概率条件概率我们知道求事件的概率有加法公式：我们知道求事件的概率有加法公式：1.事件事件A与与B至少有一个发生的事件叫做至少有一个发生的事件叫做A与与B的的 和事件和事件,记为记为 (或或 );AB AB 3.若若 为不可能事件为不可能事件,则说则说事件事件A与与B互斥互斥.A B复习引入：复习引入：()( )( )P ABP AP B 若事件若事件A与与B互斥，则互斥，则.那么怎么求那么怎么求A与与B的积事件的积事件AB呢呢?2.事件事件A与与B都发生的事件叫做都发生的事件叫做A与与B的的积事件积事件,记为记为 (或或 );ABAB 一般地，在已知另一事件一般地，在已知另一事件

2、A A发生的前提下，事件发生的前提下，事件B B发生的可能性大小不一定再是发生的可能性大小不一定再是P(B).P(B).条件的附加意味着对样本空间进行压缩条件的附加意味着对样本空间进行压缩. . 探究：探究： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。是否比前两名同学小。思考思考1 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是

3、多少？ 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？思考思考2 对于上面的事件对于上面的事件A和事件和事件B，P(B|A)与它们的概与它们的概率有什么关系呢？率有什么关系呢？1.定义定义 一般地，设一般地，设A，B为两个事件，且为两个事件，且 ，称，称 )( )(P ABPPAAB ( )0P A为事件为事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率. .P(BP(B| |A A）读作读作A A发生的条件下发生的条件下B B发生的概率，发生的概率， 条件概率（条件概率（co

4、nditional probability ）P(B|A）相当于把相当于把A当做新的样本空间来计算当做新的样本空间来计算AB发生的概率。发生的概率。BAAB ()( )()( )n ABP BP ABAPAAn基本概念基本概念2.条件概率计算公式条件概率计算公式:()(|)( )P ABP B AP A注注: :0(|)P B A1; ; 几何解释几何解释: : 可加性：可加性： 如果如果BC和和互斥互斥， 那么那么 ()|(|)(|)PBCAP B AP C A BA.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样

5、本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 3.概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系基本概念基本概念例例1 1 在在5 5道题中有道题中有3 3道理科题和道理科题和2 2道文科题。道文科题。如如果不放回地依次抽取果不放回地依次抽取2 2道题，求：道题，求：(1)第第1次抽到理科题的概率；次抽到理科题的概率；解解：设为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间，“第1次抽到理

6、科题”为事件A，211534( )123 ( )20, ( )12,( )(1.5) ( )20n AnAn AAAP An 23n(AB)63 n()6,( ().n( )20210) AP ABAB3()110 (|1 ().3( )253)P ABP B AP A法()61 ( | )(1222)n ABP B An A法“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.(2)第第1次和第次和第2次都抽到理科题的概率；次都抽到理科题的概率；(3)在第在第1次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。次抽到理科题的概率。你能归纳出求解条件

7、概率的一般步骤吗？你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？想一想想一想 ()()P ABP An ABP BAn A求解条件概率的一般步骤：求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件）用字母表示有关事件（2）求）求P(AB），），P(A)或或n(AB),n(A)( 3 )利用条件概率公式求利用条件概率公式求练一练练一练 1. 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,问问: “ 第一颗掷出第一颗掷出6点点”的概率是多少？的概率是多少？ “掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率又是多少的概率又是多少? “已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点，则掷出点数之和不小于，则掷出点数之和不小于10”的概率呢

8、？的概率呢？111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566616263646566 n BP Bn 61366解：设解：设为所有基本事件组成的全体，为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出第一颗掷出6 6点点”为事件为事件A A，“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”10”为事件为事件B B, ,则则“已知第一颗掷出已知第一颗掷出6 6点，点，掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”10”为事件为事件ABAB(1) （2)（3） n APAn 61366 n ABP BAn 0312|62

9、P AB P BAP 011|2ABABBA例例 2 一张储蓄卡的密码共有一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按次就按 对的概率。对的概率。练习：练习：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气

10、象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和和18%，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12%，问：，问：（1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定颗骰子决定, ,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3 3的的条件下条件下再再

11、出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ B= B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，设设A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33，只需求事件只需求事件 A A 发生的条件下，发生的条件下，事件事件 B B 的概率即（的概率即（B BA A）()2(|)( )3n ABP B An AB5 5A2 21 13 34,64,6解法一解法一（减缩样本空间法）（减缩样本空间法）例题例题1解解1：在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益在某次外交谈判中，中外双方都为了

12、自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定颗骰子决定, ,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3 3的的条件下条件下再再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ B= B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，设设A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33，只需求事件只需求事件 A A 发生的条件下，发生的条件下，事件事件 B B 的概率即（的概率即（B BA A）B5 5A2 21 13 34,64,

13、6例题例题1解解2：由条件概率定义得：由条件概率定义得：()(|)( )p ABP B Ap A123132解法二解法二（条件概率定义法）（条件概率定义法）练习：一个箱子中装有练习：一个箱子中装有2n 个白球和（个白球和（2n-1）个黑球，）个黑球，一次摸出个一次摸出个n球球.(1)求摸到的都是白球的概率；求摸到的都是白球的概率；(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率。色的概率。 2. 如图所示的正方形被平均分成如图所示的正方形被平均分成9 9个部分，向大正个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），方形区域随机的投掷一个

14、点（每次都能投中），设投中最左侧设投中最左侧3 3个小正方形的事件记为个小正方形的事件记为A A，投中最，投中最上面上面3 3个小正方形或中间的个小正方形或中间的1 1个小正方形的事件记个小正方形的事件记为为B B，求，求 P P( (A A| |B B), ), P P( (B B| |A A),),解：解： ， , 1()9P AB 1( )3P A1()( )19(|)449P ABP A BP B 4( )9P B1()19(|)13(3)P AP ABP B A1.某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活到活到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年

15、为，求现年为20岁的这种岁的这种动物活到动物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”(即即20)，B表示表示“活到活到25岁岁” (即即25)则则 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率为所求概率为 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP AAB0.560.560.70.75 5BAABB由于故，2.2.抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数B=B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是奇数，求出现

16、的点数是奇数的概率的概率 解：即事件解：即事件 A A 已发生，求事件已发生，求事件 B B 的概率的概率也就是求：（也就是求：（B BA A）A A B B 都发生，但样本空都发生，但样本空间缩小到只包含间缩小到只包含A A的样本点的样本点()2(|)( )3n ABP B An AB5 5A2 21 13 34,64,6 3. 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得取得一等品的概率；一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等已知取得的是合格品，求它是一等品的概率品的概率 解解设设B表示取得一等品，表示取得一等品，A表示取得合格品，则表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品， 70()0.7100P B （2）方法方法1：70()0.736895P B A 方法方法2： ()()( )P ABP B AP A因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以70 1000.736895100AB707095955 5BAABB4、5个乒乓球，其中个乒乓球，其中3个新的，个新的，2个旧的，每次取一个，不个旧的，每次