电磁现象的普遍规律

1、第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符厶的微分性与矢量性，推导下列公式：B) (A、)B、（A B） c A（B 人）A A cA解：矢量性为a (b c) =b (c a) = c (a b)c (a b) = (b C)a-(C a(a b) c (c a)b- (c b)a微商性g(a.b)二竺 b a 坐dtdtdt (a b)= dtdt空b a坐dt由得Bc C A)八(Bc A) _(Bc i)AAc C B)八(Ac B)-(Ac、)Bc A) A- c B)=+得A)、(Ac B) _屆(a' )b因为 (A B)(Ac B)、(裟 bJ)-上式得(A b = BT c

2、 A) A ( B)&、)A (九呢令B = A得'、A2A C A) 2(A，)Aa c A)=¥ A2 _(A')A2.设卩是空间坐标x, y, z的函数，证明:'、f (u)二兰 I u,du J'、%(u)八 u L, duA(u)八 u ddu解：if(u)- f(u)ex f(u)?yf(u)Mexcyczdf(u) ；:udf (u) ；:udf(u) ；:uexeyezdu ；xdu ：ydu :zdf(u)/：uuu .(3ey ejdu :x:y:-zaaa' A(u) A AyAzduexcyczdA< ；:

3、u dAy ju dA, ；:udu :xdu ；:y=+du ；:zdu'、A(u)二exexI Axey:yAyezczAz=(皂一込(込出)j(3 一独是；:u dA, : u l:y: z: z : x: x : ydAc : u dAy ；:u: u dA, : u t=(zy)ex ( xz)eydu :y du :z du :z du :x口 dA八u -du'2' 2' 23.设r =7(x-x) ，(y-y) ，(z-z)为源点x到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果，并体会对源变数求微商（臭厶乜丄逼厶） 次 创 氐与对场变

4、数求微商(exe,ex的关系'、r - -r JrW -y = 0,可，有=一灯，一3 = 0,( r 式 0) rrr（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） 求 I r,i r,(a ')r,i (a r),Esi n(k)及 iE。sin（k：），其中 a, k 及均为常矢量。解：eey-yex' 2' 2' 2y ；' 2' 2' 2(x_x) (y_y) (z_z)(x_x) (y_y) (z_z)z 二zZ T(x-x)2 (y-y')2 (z-z)2- (y -y)$*.(xx)2 (yy)2 (zz)2

5、 弓.(xx)2 (yy)2 (z z)2d- (z-z)z (x_x)2 (y_y)2 (z_z)2()ey()ez.y r : z rez):zr-r 1 1 1 < ()ex( )e()e_r :x r-1 .:T'r -2( exeyr ；x:y丄忒丄山訂丄（览.x r : y r : z rr：x:y：zr3r1 1' -3 才、r '、(飞)r rrr1 c 33 0 n i r r r r=0或这样证明3:r=0 （梯度的旋度恒为零）。4 r-3zr1(一 r)r 1 r ®r4 r=0 (r=0)3 ri，1八(F)4 rr3:丄'

6、;r r3-3 -r ( r：)丄(-3)rr3仝，3r= 0(r =0)-：Zy (xx')(y y')(z z').x=3ex.:xX Xey:yy _y-0=xaydxL、L、_lC,caz)r.y；z；：r: r: r二 axayaz _:x；y:zJ =axexayeyazez二 a（注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明 第一项；：r比一:x同理,二a*6(x - x) ey(y - y) ez(z-z)二axe* :xay r ay ey , 列汀az- az eZ ,:z故(a i) r 二 axex ay ey azez 二 a、(a r

7、)di 丄 亠 d二 aC r)(a、)r - rC a)(r人)a-a 0 (；、)：+00=(a 人)：二 a、Lsin( L,)= sin(F£ E。sin( L,) E。寸 singx -x)ky(y -y')kz(z-z')= E°xkxCOskx(x-x ) ky(y - y) kz(z-z) E°ykycoskx(xx') ky(yy ) kz(z z') E°zkzcoskx(x-x') ky(y - y') kz(z-z')'、E°sin(k r)二八 sin(k

8、 r) Eo sin二kxcos(k r)ex kycos(k r)ey kzcos(kr)ez " e + kye + kzezE0=(E°xkx Eoyky - E°zkz)coskx(x x ) ky(y y ) kz(z-z) = cos(F：)E0 k二 cos(Lr*)(kxdd =cos(k r)(k E。)注，这个题出错率比较高，也可以这样证明：' EOin(Lr) aid m=P sin(k r) E。 sin(k r” E。由于V ”E°=0, Vsin(k r)=V(k r)cos(k r)，而V(k r)=k 4 二?.V

9、 Eosin(k r) =k E°cos(k r)'、Eosin(k r)=p sin(k r) E。E°sin(k r)由于' EO=0, i sin(Lr)=、(Lr)cos:N xE°sin(k r) = k 汇 E°cos(k r)4.应用高斯定理证明f dS f应用斯托克斯（Stokes ）定理证明I.sdS、 =QdL'解：用一非零任意常矢量 c点乘原式左边，得dv' fdv(' f) c(f c)= (i=(：(because '、 c = 0)所以上式右边=£V(f xg)dV应用

10、高斯定理得叩(sc) dS再利用三矢量混合积，得z订c (dS f)s二dS f因为c为任意非零常矢量，故f dV' f注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明:等式左边的x分量为e dv' f = dvex C f)v利用 a b c = b c a所以IJ dM dv f = dv f exvv再利用高斯定理，得 f. i-T 4 .Bi .ex Jdv(V 汉 f )= Jds (f 汉 q )s£ex ds fsJ r- 4=ex，J ds 疋 f可见,同理,v dV ' f的x分量与 QdS f的x分量相等。 可证y与z分量都如上所证

11、相等。故/Vi f =QdS ” (证毕)5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为P(t) = V 说t)XdV利用电荷守恒定律九竺=0证明P的变化率为dP解：dPdtcP '.M'VxdV 一 J J(x,t)x dV- (JX)dV 亠 I J X dV =尸(J x )=J)x+J i x4'4 丄=-QsJx dS 壮 J 0' x)dV'-7'$ Jx dS 、JdVx =1 (单位张量)取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的J -0，则Jxd S =0.VJ(x,t)dVm R6若m是常矢量，证明除 R=0点以外矢量 A =3-的旋

12、度等于标量R3:=m_-一 -3的梯度的负值，即' A =(R=0),其中-为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。解:(m 3)RRRRR=m (3) (m ' )-33 ( m) ( 3'、)mR.RRR1RR=m (3) (m ')尹RR.+XR3 R3 R7.有一内外半径分别为ri和血的空心介质球，介质的电容率为；，使介质内均匀带静止自由电荷订，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。解：对空间I做高斯面，由：4二 r2E| 二丄(里二 r； -： r13?f头33Ei3； r233-e ©_ ri),对空间n：做高斯面，由24

13、r DndSfdVvJIri3)r3 ；r2对空间川：做高斯面，由24：r Em = 0r_ （一）订；o（r3 ri3）43；r23r2P =P（13®3 ；= （3-0）C r，雪）rr = r2时,由边值条件：巳n - Rn 二一；：P ( P 由1指向2) P = Rn - Bn（；- ；。） 4 屋3 2-A r323；d"； - ；。） f32233二晋（1_°）匚（3r2:P = Rn - Bno （；-；0）4fE、 厂（J）= 0（r = r-i）-r2），导8.内外半径分别为n和a的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 体的磁导率为卩

14、，求磁感应强度和磁化电流。解：由B dl二所以2二rB| -冷二 r2 - r1 Jf所以B方向为畤*2rB对区域n由2r-riJfrr2.2二rH j 二二 r2 -r； J2 2 |-riJ方向为2B【"iH广沪r2-ri2 Jf对区域川有2 二 rB 皿=0B皿=0JoJo同理-1JZ r2“ 2 、1r1戸丿JZ7丄I2_I气二乂 Jz h）+川r-1 耳 Jz r仏r< 2r12J Z r2r2：j；Ck2 2r 丿一2 ri2丿2ri22r-1 i = （J；r20）十-Ar-n2-1 2 JJZ JZr122 2JJ V-1 Jzr %.:t JM='、M

15、=m = n M2'M<|B 二 JHf±_i1%卩丿9.倍。即:解:7%1 1i i%r2 -*J f“r丄1»0丿、2 20 J2 22 > n 1 r2r210丿 22P1J01nnr Jf n Jf n7 此|口 = % | 2r2 r2 J f22f(r F)一丄BnJo"丄1% J 2r1=0(r =)证明均匀介质内部的体极化电荷密度订二宀1）4由均匀介质有D = oE PD = ；E'p " Pi D = 6D =片=-(0E+P=-；0 ；E%皿2 a2 一Jf r订总是等于体自由电荷密度儿的- （1-一

16、76;）（但两个电流10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。 元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：令两个线圈中的电流分别为I1和I2。电流圈L1对另一个电流圈L2中的电流元I2dl2的作用力为:其中I1dl1 r123r12是电流圈L1在电流元I2处激发的磁感应强度，r,2是从L1中的电流元I1到电流元l2dl：的矢径。将式代入式，并对L2积分，利用斯托克斯定理，同时注意到' 轉=0,12即得到电流圈对L2的作用力:Idi 1124 二 LJ-11；F财也皿2型rr 11 di 1 域12 已13厂04:Udi2 di 112312I112|di

17、1 (di 212) -12(di2 di1)J 0电1山2曲L hdi1 I卩s J G)dS 严12I1I2312=0因为v幽）=0叩 L1+(d")3r)2同样，电流圈L2对L1中的电流元Jdh的作用力为：其中d=1 =1口： B(r21)B(r 21)-21321B（21）是电流圈L2在电流元hdh处激发的磁感应强度，21是从电流元I2dl2到电流元I1dl1的矢径。L2对L1的作用力为4:一21dl1 dl2注意到r 21 - - ri2于是有11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为 和，令在两板接上电动势为 的电势，求：电容器两板上的自由电荷面密度介

18、质分界面上的自由电荷面 密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：32fLic 1Le£2ELWWfWfE1E2E111E212 =-；1 ；2Wf l1wfn D2 - D1 二 wf 2当介质漏电时由J =；:EJ12二 2同理WfE1-jwf1二 1Wf2 = J2Wf 2 二 n E2 - E1 21 + 12 ?12. 证明： 当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足:tg 屯 ；2tg 刊；1址二，其中厂和2tgt 二 1其中1和；2分别为两种介质的介电常数，齐和二2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。当两种导电介质内

19、流有恒电流时，分界面上电场线曲折满足分别为两种介质的电导率。解：因为两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷 f =0，故边值关系为若两种介质都是线性均匀的，即D.；2E2 , D1»：1E1，贝yE2sin 2 = E1 sin 3, ；2E2cos v2 二 “Eqos 刊tge ；2tg 刊；i当电流恒定时，边值关系为E2t - E1t， J2n 二 J1n，若两种介质都是线性均匀的，即j = :1E1， J2 - ；2E2，贝yE2sin= E1 sin 弓，二2E2cos=-1E1cos1也二tg1-113. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电

20、场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。解：设导体为1介质，介质为2介质。设导体表面自由电荷面密度为 -f，静电平衡 条件下，导体内电场为零，由边值关系：n E2 - E1 1=0，知E2t =E1t =0，即导体外表面处的电场的切向分量为零，电场线垂直于导体的表面。在恒定电流情况下：由稳恒条件，'、J -0，在界面上有n J J1 = 0，又由于1J2 =0J =；E1，代入上式，得4斗n E1 = 0即导体内表面处电场线总是平行于导体表面。14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为 f，极间填充电导率为二的非磁性物质。(1) 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。(2) 求 > 随时间的衰减规律(3) 求与轴相距为r