空间向量的夹角

1、 空间向量的夹角教学说明教学说明 江苏如东马塘中学江苏如东马塘中学 张伟锋张伟锋x xD DC CB BA AE EF FA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1z zy yE1 空间向量的夹角教学说明教学说明教材分析教材分析方法手段方法手段教学程序教学程序教学评价教学评价教学目标教学目标 空间向量的夹角教学说明教学说明知识基础：知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示间向量的坐标表示, ,空间向量的数量积空间向量的数量积. .本节内容：本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直

2、线的夹角体几何中异面直线的夹角.后续内容：后续内容：向量在数学、物理上的综合运用向量在数学、物理上的综合运用. .教材分析教材分析 教学目标教学目标 方法手段方法手段 教学程序教学程序 教学评价教学评价 用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性定性”推理转化为推理转化为“定量定量”计算计算.地位作用地位作用 空间向量的夹角教学说明教学说明教学重点：教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；空间向量夹角公式及其坐标表示； 2) 2)选择恰当方法求两异面直线的夹角选择恰当方法求两异面直线的夹角. . 关键：关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写

3、出空间向量建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量 的坐标的坐标, ,将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题. . 教学难点：教学难点： 1)1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；角之间的区别； 2)2)构建恰当的构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标点的坐标及向量的坐标. .教材分析教材分析 教学目标教学目标 方法手段方法手段 教学程序教学程序 教学评价教学评价重点难点重点难点 空间向量的夹角教学说明教学说明知识目标知识目标 :v 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；掌握空间向量的

4、夹角公式及其简单应用；v 提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能. . 情感情感目标目标：v 激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；v 感受和体会数学美的魅力，激发感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学学数学用数学”的热情的热情. .能力目标：能力目标：v 培养学生观察分析、类比转化的能力；培养学生观察分析、类比转化的能力；v 体验从体验从 “ “定性定性” ” 推理到推理到“定量定量” ” 计算的转化，提高计算的转化，提高分析分析 问题、解决问题的能力问题、解决问题的能力. . 教材分

5、析教材分析 教学目标教学目标 方法手段方法手段 教学程序教学程序 教学评价教学评价 空间向量的夹角教学说明教学说明教学方法教学方法：启发式讲解启发式讲解 互动式讨论互动式讨论 研究式探索研究式探索 反馈式评价反馈式评价教学手段教学手段：借助多媒体（几何画板、实物借助多媒体（几何画板、实物 投影、幻灯片等）辅助教学投影、幻灯片等）辅助教学教材分析教材分析 教学目标教学目标 方法手段方法手段 教学程序教学程序 教学评价教学评价学习方法学习方法：自主探索自主探索 观察发现观察发现 类比猜想类比猜想 合作交流合作交流 空间向量的夹角教学说明教学说明以问题为载体，学生活动为主线以问题为载体，学生活动为主

6、线探索、类比、猜想、发现并获得新知探索、类比、猜想、发现并获得新知知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 C1EDCB1A1D1F1BA知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序情境：情境：如图如图,已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D中，中， , , 求证求证DFDF1 1与与BEBE1 1垂直垂直. . 1 11 11 11BEDFAB4= 空间向量的夹角教学说明教学说明 知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序问题问题1 1：如图

7、，若将如图，若将E E点在点在AAAA1 1，A A1 1B B1 1上移动，若移上移动，若移 至至A A1 1B B1 1的的E E1 1处，又将如何确定处，又将如何确定DFDF1 1与与BEBE1 1的夹角的夹角? ? 空间向量的夹角教学说明教学说明 平面内两个向量的夹角平面内两个向量的夹角公式：公式： 问题问题2 2：是否可以将上述夹角公式推广到空间是否可以将上述夹角公式推广到空间? ?公式公式 的形式有什么变化？的形式有什么变化？知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序已知平面内两个非零向量，已知平面内两个非零向量， 121222221122 c

8、os=a bx xy yaba bxyxy1122()()，axybxy 空间向量的夹角教学说明教学说明 11222()()cos ，1，已知空间内两个非零向量， ，z ， ， ， ，从而有axybxy za ba bab121212222222112212 cos=a bxxy yz zabxyzxyza b求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1） ， （2） . . (233)(100)a， ， ， b， ，( 1 11)( 101)a ， ， b， ，知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 A A

9、D DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1 例例1.1.如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， ，求，求BEBE1 1与与DFDF1 1所成所成角角 的余弦值的余弦值. . 1 11 11 11BEDFAB4=例例题题讲讲解解知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 几何法几何法A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1知识运用

10、知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 x xz zy y 向量法向量法质疑：质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？如何转化为本题的几何结论区别？如何转化为本题的几何结论? ?A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1本题的几何结论：本题的几何结论：异面直线异面直线BEBE1 1与与DFDF1 1夹角的余夹角的余 弦值为弦值为 . .1517 几何法几何法知识运用知识运用小结作业小

11、结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序1115cosDF,BE17 =11B15cosDF,E17 = -例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 小结评价小结评价 问题问题3：利用向量法求两条异面直线夹角利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？(1) 恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积；的坐标表示及其数量积；(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；弦值；(4)

12、根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 几何法几何法 向量法向量法 如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M是是AB的中点的中点,求对角线求对角线DB1与与CM所所成角的余弦值成角的余弦值.A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1M M题组练习一题组练习一知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 问题问

13、题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直角坐标系？直角坐标系？ 例例2.2.如图，在几何体如图，在几何体B B1 1-A-A1 1BCBC1 1，已知已知E E、F F分别是分别是A A1 1B B 和和BCBC1 1的中点，求异面直线的中点，求异面直线B B1 1E E与与A A1 1F F的夹角的夹角. . 知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 1.设点设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异异

14、 面面直线直线OA与与BC夹角为夹角为，则则的值为的值为 （ ） A.60A.60B.120B.120D.240D.240C.-60C.-60 2 . 已 知 正 方 体已 知 正 方 体 A B C D -A1B1C1D1,请用恰当的方请用恰当的方法求异面直线法求异面直线AC与与BD1所成的角所成的角. 必做题：必做题：A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1题组练习二题组练习二知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 选做题：选做题：沿着正

15、方体沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面对角面A1BCD1去截正方体去截正方体,得到一个新的几何体得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线BE与与A1F所成的角所成的角A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1C CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E EF F题组练习二题组练习二知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序例例题题讲讲解解理理解解掌掌握握巩巩固固提提高高 空间向量的夹角教学说明教学说明 鼓励学生选择不同的解题方

16、法，培养鼓励学生选择不同的解题方法，培养 学生创新思维；学生创新思维；为学习能力不同的学生提供广阔的空为学习能力不同的学生提供广阔的空 间；间；体现学生的主体地位，发展学生的个性；体现学生的主体地位，发展学生的个性；培养学生分工协作的能力，善于分析，培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神乐于探索的钻研精神.设计意图设计意图知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 值得注意的：值得注意的：将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别；理解异面

17、直线夹角与空间向量夹角的区别；选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求 夹角的唯一途径，不是最佳途径夹角的唯一途径，不是最佳途径.反馈评价反馈评价值得肯定的：值得肯定的：勇于思考、积极探索；勇于思考、积极探索；分工协作、合作交流分工协作、合作交流.知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 （1）空间向量的夹角公式及其坐标表示空间向量的夹角公式及其坐标表示;（2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别）异面直线的夹角与向量的夹角的区别;（3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹）恰当选择几何法或

18、向量法求两条异面直线的夹 角角.（4）掌握类比猜想的方法）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推将平面向量的夹角公式推 广到空间广到空间,将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题,提高类比提高类比 转化的能力转化的能力.知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 感受感受理解：理解：如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中， M、N分别是分别是AA1、BB1的中点，求直线的中点，求直线CM与与 D1N所成角的正弦值所成角的正弦值.A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1M MN N知识运用知识运用小结作业小结作业创设情境创设情境建构数学建构数学教学程序教学程序 空间向量的夹角教学说明教学说明 思考思考运用：运用：已知正三棱柱已知正三棱柱(地面为正三角形地面为正三角形,侧棱与侧棱与底面垂直底面垂直) ABC-A1B1C1中，底面边长为中，底面边长为2,求异面直求异面直线线AB1与与BC所成的角所成的角.A AC CB BC C1 1B B1 1A A1 1探究探究拓展：拓展：利用向量法是否可以求