同济版线性代数-§7正定二次型课件

1、一、一、惯性定理惯性定理二、正定二次型的概念二、正定二次型的概念三、正三、正( (负负) )定二次型的判别定二次型的判别一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 )(9 惯性定理惯性定理定理定理 .,0 ,0 , 1122222112222211个数相等个数相等中正数的中正数的中正数的个数与中正数的个数与则则及

2、及使使及及有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换为为它的秩它的秩设有实二次型设有实二次型rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 222164zyxf 为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型 10定定义义例如例如 ., , 0)(;,0 0,)( 是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型AfxfxAffxfxAxxxfT 证明证明使使设设可可逆逆变变换

3、换Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性 ., 10niki 设设, x任给任给,1 xCy则则故故 . 021 iniiykxf 01定定理理.,: nnAxxfT性指数等于性指数等于即它的正惯即它的正惯个系数全为正个系数全为正它的标准形的它的标准形的是是为正定的充要条件为正定的充要条件实二次型实二次型 .为正定的为正定的即即 f必要性必要性, 0 sk假设有假设有, )(时时单单位位坐坐标标向向量量则则当当sey . 0 sskCef, sCe显显然然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f故故 ., 10niki 推论推论对称矩阵对称矩阵 A 为正定的充要条件是：为正定的充要条

4、件是： A 的的 特征值全为正特征值全为正, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理定理11(11(霍尔维茨定理霍尔维茨定理) )对称矩阵对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即 ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 对称矩阵对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定

5、是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 , 011225, 01524212425故故 f 是正定二次型是正定二次型 .100010041A例例,问二次型问二次型AxxfT 是否正定？是否正定？正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,A, . 1 1定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAAT., . 2 矩阵矩阵也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA 例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解

6、解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.为负定二次型为负定二次型f,402062225 A例例4 4?4225,222正正定定二二次次型型取取何何值值时时yzxztxyzyxft 解解的矩阵为的矩阵为f, 0111 a由由, 01112 ttt,521

7、2111 ttA, 04552121112 ttttA.054 t解解得得.054 t解解得得224),(yxzyxf 为半为半正定二次型正定二次型2221213),(xxxxf 为为不定二次型不定二次型例如例如 ., 0,)( 为为半半正正定定二二次次型型则则称称有有都都如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型fxfxAxxxfT . ,)(,为为不不定定二二次次型型则则称称有有正正有有负负若若对对任任何何fxfx 2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系.00, 是否为正定矩阵是否为正定矩阵矩阵矩阵试判定分块试判定分块阶正定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 BACnmBA. 是正定的是