第六章平面向量与解三角形（教案）

1、§6.1 向量的基本概念及基本运算教学目的：1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 4.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 教学重点：运用共线向量和平面向量的基本定理，掌握平面向量的数量积及其几何意义，教学难点：与三角函数、数列、不等式、解几等的结合教学过程：一、 知识梳理1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模

2、（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以

3、任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示

4、这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规

5、定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无

6、关，只与其相对位置有关8两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积） 规定9向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影10数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积11向量的模与平方的关系：12乘法公式成立： ；13平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=14两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=15向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB=

7、（）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题16垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作17两个非零向量垂直的充要条件：·O平面向量数量积的性质二、典型例题例1：给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边

8、形ABCD为平行四边形，则，且，因此， 正确 =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故 不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑=这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示

9、其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以=，所以= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示例3： 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：， 解：原式= 原式= 原式= 例4： 设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0解：原

10、方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0 =+ 例5：设非零向量、不共线，=k+，=+k (kÎR)，若，试求k解： 由向量共线的充要条件得： = (ÎR)即 k+=(+k) (k-) + (1-k) = 又、不共线 由平面向量的基本定理 例6： 如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、解： ABCD中，BF=MC=BC, FM=BC=AD=AH FM AH四边形AHMF也是平行四边形，AF=HM又 , 而= + , = - - -(- ) = + 例7： 求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在

11、同一条直线上证明：设起点为O，=，32，则=2()，=， 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，32的终点在同一直线上点评：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点例8： 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值解：当A = 90°时，×= 0，2×1 +3×k = 0 k = 当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2×(

12、-1) +3×(k-3) = 0 k = 当C= 90°时，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 例9： 已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想解：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y 又x+y=1x+y（x+4y）（x+3y）整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y 由有24xy+25y 将变形代入可得：y=±再代回得：归纳小结

13、：学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点§6.2 平面向量的坐标运算 教学目的：1.了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件

14、 教学重点：平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念教学难点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题教学过程：一、 知识梳理1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只

15、与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:>0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =向量的数量积是一个数或时,=0且时,二、典型例题例1:已知向量，且，求实数的值解：因为，所以，又因为所以，即解得例2:平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；

16、（3）若满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）（3）由题意得得或例3:已知 （1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？解：（1）因为所以则（2），因为与平行所以即得此时，则，即此时向量与方向相反例4:已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标解：设，则因为是与的交点所以在直线上，也在直线上即得由点得，得方程组解之得故直线与的交点的坐标为例5: 已知点及,试问:（1）当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?（2）四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值若不能,说明理由解：（1），则若在轴上，则，所以；若在轴上，则，所以；若在第三象限，则，所以（2）

17、因为若是平行四边形，则所以此方程组无解；故四边形不可能是平行四边形例6：已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,1),BC边上的高为AD，求解：设D(x,y)则得所以例7： 如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明直线AC经过原点O解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2)则 与共线 即 （*）而代入（*）式整理得，y1·y2=-p2因为 与是共线向量，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)欲证A、

18、O、C共线，只需且仅需，即又 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了例8： 已知向量与的对应关系用表示（1） 证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2） 设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标解：（1）设，则，故，（2）由已知得=（1，1），=（0，1）（3）设=（x，y），则，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）例9： 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，

19、若点C满足，其中且，则点C的轨迹方程为（） 解法一：设，则由得于是先消去，由得再消去得所以选取D解法二：由平面向量共线定理，当，时，A、B、C共线因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D归纳小结： 1熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算2两个向量平行的坐标表示3运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合§6.3 平面向量的应用举例教学目的：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 (2)掌握向量的加法和减法(3)掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 (4)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概

20、念，掌握平面向量的坐标运算 (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式 教学重点：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念掌握平面向量的数量积及其几何意义. 教学难点：运用向量解决实际问题.教学过程：一、知识梳理1向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:&

21、gt;0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =向量的数量积是一个数或时,=0且时,2重要定理、公式：(1)平面向量基本定理：是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使 (2)两个向量平行的充要条件：(3)两个向量垂直的充要条件：·O(4)线段的定比分点公式：设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式)当1时，得中点公式：（）或(5)平移公式：设点按向量平移后得到点，则+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： 3两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=

22、83;cos其中cos=称为向量在方向上的投影4向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=二、 典型例题例1 :已知、是两个非零向量，当+t（tR）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：（+t）分析：利用|+t|2=（+t）2进行转换，可讨论有关|+t|的最小值问题，若能计算得·（+t）=0，则证得了（+t）（1）解：设与b的夹角为，则|+t|2=（+t）2=|2+t2|2+2·（t）=|2+t2|2+2t|cos=|2（t+cos）2+|2sin2，所以当t=cos=时，|+t|有最小值（2）证明：因为·（+t）=

23、·（·）=··=0，所以（t）点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便对|+t|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|+t|2=（+t）2进行向量的数量积运算；二是设、的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题例2：已知平面向量若存在不同时为零的实数k和t,使 （1）试求函数关系式k=f（t） （2）求使f（t）>0的t的取值范围解：（1） （2）由f(t)>0,得例3： 将函数y=x2进行平移，使得到的图形与函数y=x2x2的图象的两个交点关于原点

24、对称(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式解法一：设平移公式为代入，得到，把它与联立，得 设图形的交点为（x1，y1），（x2，y2），由已知它们关于原点对称，即有由方程组消去y得： 由又将（），分别代入两式并相加，得： 解得 平移公式为：代入得：解法二：由题意和平移后的图形与交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可的顶点为，它关于原点的对称点为（），即是新图形的顶点由于新图形由平移得到，所以平移向量为以下同解法一 §6.4 解斜三角形教学目的：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法

25、；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；5通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；教学难点：运用所学知识解决实际问题的能力教学过程：一、知识梳理1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即 （其中R表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知

26、两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式，=，第二形式，cosB=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形的面积：ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则；（其中）4三角形内切圆的半径：，特别地，5三角学中的射影定理：在ABC 中，6两内角与其正弦值：在ABC 中，7三内角与三角函数值的关系：在ABC 中 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况

27、，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”二、 典型例题例1： 在ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例2 ：ABC的三个内角A、B、C的

28、对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B分析析：研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）0所以sin（AB）=sinB所以只能有AB=B，即A=2B点评：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而

29、全部利用三角公式变换求解例3:已知锐角ABC中，sin（A+B）=，sin（AB）=（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以（1）为铺垫，解决（2）（1）证明：sin（A+B）=，sin（AB）=，=2tanA=2tanB（2）解：A+B，sin（A+B）=tan（A+B）=，即=将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（负值舍去）得tanB=，tanA=2tanB=2+设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+评述：本题主要考查

30、三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力例4:在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60°在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinBb2=

31、ac，A=60°，bcsinA=b2sinB=sinA=评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理例5: 设函数，其中向量 （）若f(x)=1且x，求x；（）若函数y=2sin2x的图象按向量(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值解：（）依题设可知，函数的解析式为2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)由1+2sin(2x+)=1，可得三角方程sin(2 x +)=-x，-2x+，2x+=-，即x=-（）函数y=2sin2x的图象按向量平移后得到函数y=2sin2(xm)+n的图象，即函数y=f(x)的图象由（）得 f(x)=2sin2(x+)+1|m|<，点评本小题是2004年福建高考试题，主要考