18.正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性

1、正弦函数和余弦函数的正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性奇偶性和单调性y = cos x，xRy = sin x，xR1. 复习：复习： （一）正弦函数和余弦函数的图像（一）正弦函数和余弦函数的图像（二）正弦函数和余弦函数的性质（二）正弦函数和余弦函数的性质 (1) 定义域定义域正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集 R. (2)值域：值域： 正弦函数和余弦函数的值域都是正弦函数和余弦函数的值域都是 - -1，1 .，时取得最大值时取得最大值当且仅当当且仅当正弦函数正弦函数1,22sinZkkxxy .1,22 时取得最小值时取得最小值当且仅当当且仅当Zkkx

2、，时取得最大值时取得最大值当且仅当当且仅当余弦函数余弦函数1,2cosZkkxxy .1,)12( 时取得最小值时取得最小值当且仅当当且仅当Zkkx (3)周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (kZ且且k0) 都是它们的周期，最小正周期是都是它们的周期，最小正周期是2 . (4) 正弦函数和余弦函数的奇偶性正弦函数和余弦函数的奇偶性 对于正弦函数对于正弦函数 y = sin x，y = sin x，xR 设设 (x，y) 即即 (x，sinx) 为为 y = sin x (x R)图像上任一点，它图像上任一点，它关于原点的对称点是关于原点的对称

3、点是 ( x， y )，也就是，也就是 ( x， sinx ),而由诱导公式，而由诱导公式，sin( x) = sinx， 所以，图象上任一点关于原点的对称点是所以，图象上任一点关于原点的对称点是 ( x，sin( x)，它也在它也在 y = sin x (x R) 图象上图象上.所以所以 , 正弦曲线关于原点对称正弦曲线关于原点对称. 定义定义：如果对于函数：如果对于函数 f (x) 的的定义域内任意一个定义域内任意一个 x，都有，都有 f (- -x) = - - f (x)，那么函数那么函数 f (x) 就叫做这一就叫做这一 定义域内的定义域内的奇函数奇函数. 奇函数的图象关于原点对称奇

4、函数的图象关于原点对称.所以，正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称所以，正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称. 对于余弦函数对于余弦函数 y = cos x ( x R ) ,y = cos x，xR 设设 (x，y) 即即 (x，cos x) 为为 y = cos x (x R) 图像上任一点，图像上任一点，它关于它关于 y 轴的对称点是轴的对称点是 ( x， y )，也就是，也就是 ( x，cos x ),而由诱导公式，而由诱导公式，cos ( x) = cos x， 所以，图象上任一点关于所以，图象上任一点关于 y 轴的对称点是轴的对称点是 (x，cos ( x) ,它它也在也在 y =

5、 cos x (x R) 的图象上的图象上.所以，余弦曲线关于所以，余弦曲线关于y 轴对称轴对称. 定义定义：如果对于函数：如果对于函数 f (x) 的的定义域内任意一个定义域内任意一个 x，都有，都有 f ( x) = f (x)，那么函数那么函数 f (x) 就叫做这一定就叫做这一定义域内的义域内的偶函数偶函数. 偶函数的图像关于偶函数的图像关于 y 轴对称轴对称.所以，余弦函数是偶函数，其图像关于所以，余弦函数是偶函数，其图像关于 y 轴对称轴对称. 定义定义：如果函数：如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么是奇函数或偶函数，那么我们就说函数我们就说函数 f (x) 具有具有奇偶性

6、奇偶性 . 特别注意：特别注意： （1）根据奇函数和偶函数的定义，）根据奇函数和偶函数的定义，如果一个函数是奇函数或偶函数，那么这个函数的定如果一个函数是奇函数或偶函数，那么这个函数的定 义域一定关于原点对称义域一定关于原点对称 . 反过来，如果函数的定义域反过来，如果函数的定义域 关于原点不对称，那么这个函数就不具有奇偶性关于原点不对称，那么这个函数就不具有奇偶性. （2）我们知道，函数单调性是针对某个区间来说）我们知道，函数单调性是针对某个区间来说 的，是函数的局部性质；而函数的奇偶性是对函数的的，是函数的局部性质；而函数的奇偶性是对函数的 整个定义域来说的，因而奇偶性是函数的整体性质整个

7、定义域来说的，因而奇偶性是函数的整体性质. 判断函数奇偶性的方法：判断函数奇偶性的方法： 先考察一下它的定义域，如果定义域关于原点不先考察一下它的定义域，如果定义域关于原点不 对称，则可得结论函数不具有奇偶性，如果定义域关对称，则可得结论函数不具有奇偶性，如果定义域关 于原点对称，再继续利用函数奇偶性的定义进行判断于原点对称，再继续利用函数奇偶性的定义进行判断. 由上面的讨论，因为由上面的讨论，因为 sin ( x) = sin x，cos( x) = cos x，所以，所以 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 所以，正弦曲线关于坐标原点所以，正弦曲线关于坐

8、标原点 O 对称，余弦曲线对称，余弦曲线 关于关于 y 轴对称轴对称. 下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性，下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性，请点击下面的按钮请点击下面的按钮正、余弦曲线正、余弦曲线的对称性的对称性 (5) 正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数的单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性y = sin x，xR2223xsin x23202 -1010-1y = sin x，(xR)增区间为增区间为 其值由其值由- -1增大到增大到1；减区间为减区间为 其值由其值由 1 减小到减小到 - -1.,2,2,23,2Z)(22,22kkkZ)(223,22kkk

9、 余弦函数的单调性余弦函数的单调性y = cos x，(xR)增区间为增区间为 其值由其值由- -1增大到增大到1；减区间为减区间为 其值由其值由 1 减小到减小到 - -1.,0,0,Z)(2,) 12(kkk,Z)() 12(,2kkky = cos x，xRxcos x 202-1010-1.417cos523cos)2(;10sin18sin(1):001 还还是是小小于于各各式式大大于于不不通通过过求求值值，指指出出下下列列例例例例2 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： y = 2sin (- - x ).)(22,22单单调调递递减减函函数数在在Zkkk .)(223,22单单调调递递增增函函数数在在答答案案：Zkkk 例例3 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1) y = 3cos ( 2x - -