苏科八上精选专题《轴对称图形》：等边三角形的性质精选题38道

1、等边三角形的性质精选题38道一.选择题（共13小题）1 .如图，等边三角形ABC中，AD±BC,垂足为。，点E在线段AD上，ZEBC = 45。, 则NACE等于（）A. 15°B. 30°C, 45°D. 60°2 .如图，已知：ZMON = 30。,点4、4、&在射线OV上，点用、层、昂在射线QM 上，4A2、 a2b2a3 , 444均为等边三角形，若3=1，则4综4的边长为A. 6B. 12C. 32D. 643 .如图，在等边三角形A3C中，在AC边上取两点Af、N,使NA/8V = 30°.若MN = x, CN

2、= n,则以x, ，为边长的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随X, ？，n的值而定4 .如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Na + N）的度数是第1页（共1页）A. 180°B. 220°C. 2400D, 300°5 .如图，己知NM0V = 3O。，点4, 4, 4,在射线ON上，点用，层，用，在射线QA7上，AMA2, &生4, 人庆儿，均为等边三角形，若=2,则4风& 的边长为（）A. 8B. 16C. 24D. 326 .如图，NA/ON = 30°,点儿、&、&

3、amp;在射线。V上，点与、层、层在射线。M上, AA?、a*2A3、A383A均为等边三角形，若3=1，则4 487A的边长为（7 .如图，已知：NMON = 30。，点4、A2、Aj在射线ON上，点用、层、与在射线。W 上，A44、42层4、3Al均为等边三角形，若OA=J,则44,4的边长为 （ ）BBA. 64 NB. 12C. 16D. 328 .如图，已知NM0V = 3O。，点4, 4, 4,在射线ON上，点用，层，与，在射线0M上，斗产队工， a2b2a, , 4用4，.均为等边三角形，若。4=1,则4线人C. 128D. 256第1页（共1页）9 .如图，A45C是等边三角形

4、，夕是NABC的平分线%）上一点，PE上AB于点E，线段3P的垂直平分线交5c于点尸，垂足为点。.若族=2,则总的长为（）A. 2B. 2、/JC.D. 310 .如图，尸为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接上4、PB、PC,过P点分别作8C、AC. AB边的垂线，垂足分别为。、E、F ,则。Q+PE+PP等于（）A.手B. #C. 2D. 2。11 .等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）A. 4/B. 2。C.D. 312 .如图，在 AA8C 中，A3 = AC = 2, NB = 60。，A£>平分NBAC,则等于（）A. 1B. 72C J5D. 1.5

5、13 .如图，AEUBD, AABC为等边三角形，若NC%>=15。，则NE4C的度数是（二.填空题（共18小题）14 .如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表，则6=（用含的代数式表示）.所剪次数1234.n正三角形个数471013-15 .如图，C为线段AE上一动点（不与点A、£重合），在AE同侧分别作正AA3C和正 CDE, AD与BE交于点、O, A。与8C交于点尸，BE与CD交于点、Q,连接PQ.以 下五个结论：®AD=BEx PQAE：AP = BQ；DE = DP；/4

6、。3 = 60°.恒成立的结论有.（把你认为正确的序号都填上）点4、&、&在射线ON上，点用、层、昂在射线QM 上，4A2、ZiA*2A3、 aaa均为等边三角形，若3=1，则4纥4的边长17.如图，正M3C的边长为2,以8C边上的高Ag为边作正A8£, M3C与AG公共部分的面积记为5户再以正A3£边修C；上的高A层为边作正人qG，ABC与人民仁公共部分的面积记为5.：.，以此类推，则5=.（用含的式子表示）19 .如图所示，已知：点40,0）, B（小,0）, C（0.1）在A45c内依次作等边三角形，使一 边在X轴上，另一个顶点在3c边上，作

7、出的等边三角形分别是第1个AA4,第2个 44约，第3个82A3网, .，则第个等边三角形的边长等于.20 .如图，AA8C是等边三角形，应 平分NA8C,点£在8c的延长线上，且CE = 1,NE = 30。，则 8C=.22 .如图，己知等边ARC的边长是2,以5C边上的高Ag为边作等边三角形，得到第一个等边A4G；再以等边ag的4G边上的高A层为边作等边三角形，得到第二个等 边AAB2c” 再以等边 A层G的与G边上的高A4为边作等边三角形，得到第三个等边 A8C：记8（凡面积为，与。也面积为邑，面积为S3,则23 .如图，直线“，AA5C的顶点C在直线。上，边4?与直线相交于

8、点。.若MCD 是等边三角形，4 = 20。，则Nl= °.24 .如图，点O是边长为2的等边三角形A8C内任意一点，且OOLAC, OEA.AB,OF±BC,则 OD + OE + OF=25 .如图，边长为4的等边A48C, AC边在x轴上，点3在），轴的正半轴上，以OB为边 作等边AO8A，边QA与相交于点。一以为边作等边0/4 ,边Q4与4乃交于点 q,以Q3为边作等边O2BA3,边0A3与48交于点q,，依此规律继续作等边An,记o。A的而积为S, q。2 A的面积为S2, 0034的面积为§3，.，0-。“4T的面积为s“，则s=,（心2,且为整数）2

9、6 .如图，M8C与4无尸为等边三角形，其边长分别为。，b,则&4£下的周长为40,3）、B（后,0）、Q（0），C是八轴上一点，以AC为边向 2右侧作正AACD,夕为的中点.当。从O运动到4点时，PQ的最小值为.28.如图,AO是等边AA8C的中线，£是AC上一点，且A£）= A£，则NEDC =29.如图，直线乙/"4,等边M8C的顶点3、。分别在直线/2、/上，若边3。与直线4的夹角Nl = 25。，则边4?与直线4的夹角N2 =30 . 一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角第1页（共1页）Z

10、3 = 80。，则 Nl + N2 =31 .如图，己知：NMON = 30°,点4、A,、A,在射线OM 上，点32、83、.在射线QN上，4用打、人出遇、均为等边三角形，若O6=1,则人&为第1页（共1页）32 .如图1,点夕、。分别是边长为4cm的等边M8C边4?、5。上的动点，点P从顶点A , 点Q从顶点3同时出发，且它们的速度都为cmfs ,（1）连接AQ、CP交于点"，则在产、。运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说 明理由，若不变，则求出它的度数：（2）何时AP8Q是直角三角形？（3）如图2,若点P、。在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线

11、AQ、CP交 点为M,则NCM。变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.33 .已知，为等边三角形，点。为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点,且BD = DE.(1)如图1,若点。在边AC上，猜想线段4r与CE之间的关系，并说明理由；(2)如图2,若点。在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理34 .如图所示，已知AA3C中，AB = AC = 5C = 10厘米，M、N分别从点A、点8同时出 发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒， 当点N第一次到达3点时，M、N同时停止运动.(1) M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？(

12、2) M、N同时运动几秒后，可得等边三角形丛A用？(3) M、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰如果存在，请求出 此时M、N运动的时间？35.如图，在平而直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段为边在第四象限内作等边 三角形AQ3,点。为X正半轴上一动点(OC>1),连接8C,以线段8c为边在第四象限 内作等边C5£>，连接Z14并延长，交)，轴于点E.08。与A4BQ全等吗？判断并证明你的结论；当点C运动到什么位置时，以A, E，。为顶点的三角形是等腰三角形？36 .如图，等边AABC中，AB = 6,。是AC的中点，E是8C延长线上的一点，CE = C

13、D,DhBE,垂足为厂.（1）求应）的长：（2）求证：BF = EF;（3）求的而积.37 .在AA3C中，AB = AC, CG J.H4交84的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直 角边恰好经过点4.（1）在图1中请你通过观察、测量3/与CG的长度，猜想并写出3/；与CG满足的数量关 系，然后证明你的猜想：（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上, 另一条直角边交8C边于点。，过点。作于点E.此时请你通过观察、测量。£、 。门与CG的长度，猜想并写出OE+O

14、P与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点尸在线段AC上, 且点b与点。不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）.GBB.图G图3第1页（共1页）应:与4X相38 .如图，在等边A钻。中，点。、£分别在边BC、AC上，且AE = C。,交于点夕，3QLAO于点Q.（1）求证：A4BE = AG4D；（2）请问P0与4P有何关系？并说明理由.等边三角形的性质精选题38道参考答案与试题解析选择题（共13小题）1 .如图，等边三角形ABC中，AD±BC,垂足为。，点E在线段上，Z£BC

15、 = 45°, 则NACE等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【分析】先判断出4?是8c的垂直平分线，进而求出NECB = 45。，即可得出结论.【解答】解：.等边三角形ABC中，AD±BC,:.BD = CD,即：AO是3C的垂直平分线，丁点石在AD上，BE = CE，/. ZEBC = NECB,NE8C = 45。，ZECB = 45° 9AABC是等边三角形，7. ZACB = 60° ,. ZACE = ZACB - ZECB = 15°,故选：A.【点评】此题主要考查了等边

16、三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质, 求出NEC8是解本题的关键.2.如图，已知：NMCW = 30。，点儿、A?、儿在射线ON上，点用、坛、昂在射线上，&与4、4&A均为等边三角形，若3=1,则的边长为 第1页（共1页）° a 七 AjaA. 6B. 12C. 32D. 64【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出444约,以及 42=24&,得出4a=4"4=4, 4工乩=叫4=8, 4风=16442进而得出答案.【解答】解：. A妩&是等边三角形,二 A 8 = A*1，N3 = N4 = N12 = 60&

17、#176;，N2 = 120°,ZA/QN = 30。，/.Zl = 180o-120°-30o = 30°,又N3 = 6O°./.Z5 = 180°-60o-30o = 90° ,NAOV = N1 = 30。，:.O =Ag =1,/. AB. = 1, / 1.4与4、&&&是等边三角形，/. Zll = Z10 = 60°, N13 = 60。，vZ4 = Z12 = 60°,:.ABJ 1AlBJ4 A2屈4，/.Zl = Z6 = Z7 = 30°, Z5 = N8

18、= 90。，.&为=24&,.儿用=叫4 = 4,=844 =8,A纭=1644 =16,以此类推：儿86=3244=32【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 4用=444，4与=8用4,=16片人进而发现规律是解题关键.3.如图，在等边三角形A5C中，在AC边上取两点"、N,使NA/8V = 30°.若AW=,， MN = x, CN = n,则以k,川，为边长的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随X, ?，/?的值而定【分析】将A4BM绕点3顺时针旋转60°得到ACBH .连接&

19、quot;N .想办法证明ZHCN = 120° MV = /WV = x即可解决问题：【解答】解：将绕点3顺时针旋转60。得到AC3H.连接N.A48C是等边三角形，/.ZABC = ZACB = ZA = 60°, NAOV = 30。，.NABM + NC8V = 300,/. ZNBH = /CBH + /CBN = 30。,，小BM = ZNBH ,;BM=BH , BN = BN,:.SNBM 三MBH，:.MN = NH=x,NBC = NA = 60。，CH = AM=n,，小CH = 120。,，X,加，为边长的三角形&VCH是钝角三角形，故选：C

20、.【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的 关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.4.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Na + N）的度数是（ ）A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四 边形的内角和为360。，求出Nc + N/7的度数.【解答】解：.等边三角形的顶角为60。，.两底角和=180° - 60。= 120° ：.Nc +

21、N/? = 360° - 120。= 240° ：故选：C.【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180。，四边形的内角和是360。等 知识，难度不大，属于基础题5.如图，已知NM0V = 3O。，点4, A2, 4,在射线ON上，点用，斗,用，在射线OM上，&与4, A&Ai，.均为等边三角形，若。4 =2,则A&4的边长为（MA. 8B. 16C. 24D. 32【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出444旦/4线，以及42星=244,得出 44=4瓦4=4, 484=84&=8, AA =1644 得出答案.【解

22、答】解：如图所示：A44是等边三角形，, A4 =4出，N3 = N4 = N12 = 60° ./.Z2=120°, NA/QN = 30。，.Zl = I80o-120o-30o = 30°,又.N3 = 6O°,/.Z5 = 180°-60o-30o = 90o , NA/ON = N1 = 30。，/. OA = Ag = 2 ,/. A禺=2, .4鸟4、 A/34是等边三角形，/.Zll = Z10 = 60°, Z13 = 60°,vZ4 = Z12 = 60° ,:.ABJ IA3B3, 44/A，

23、.,.N1 = N6 = Z7 = 3O°, Z5 = Z8 = 90°,.&a=244,.Ae=444 =8,A48j =844 =16,A纥=163出=32 ；【点评】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律4凡=83/2，A风= 168/2 是解题关键.6.如图，NMCW = 30°,点A、&、4在射线OVdt,点与、坛、星在射线OM上, AgA?、 a2b2a. . a3AAi均为等边三角形，若3=1，则437A的边长为（C. 32D. 64第1页（共1页）【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出Ag/4约

24、/人为，以及A2B2=2BlA2,得出=叫& =4, A&=8g&=8,= 163H 进而得出答案.二 A用=A?8, N3 = N4 = N12 = 60° .N2 = 120°,; AMON = 3伊,/. Zl = 180o-120°-30o = 30°,又.N3 = 60°,.Z5 = 180°-60o-30o = 90o ,ZA/ON = N1 = 30。，:.O =A4 =1,二 A 出=1 , X 1,人44、3Al是等边三角形，/.Zll = Z10 = 60°> Z13 = 6

25、0°,vZ4 = Z12 = 60°,:ABJ /A3B3, BAJ/B2A3,.N1 = N6 = Z7 = 3O°, Z5 = N8 = 90°,.4血=2用&,.A也=4g4 =4,A血=844 =8,485 = 1644=16,以此类推：4生=64片& =64.故选：D.【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出463=444, 4旦=83典，入风=164人进而发现规律是解题关键.7.如图，已知：NMON = 30。，点4、&、A3在射线OV上，点用、层、昂在射线OW上，3Al均为等边三角形，

26、若则4纥4的边长为)A. 6B. 12C. 16D. 32【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出4片/44/4坊，以及&与=2A4,得出入乩=48典，A血=叫&,人员=16442进而得出答案.【解答】解：.A44是等边三角形，.人百=A/、, N3 = N4 = N12 = 60°,.Z2 = 120°,NA/QN = 30。，/.Zl = 180o-120o-30o = 30°>又.N3 = 6O。，.Z5 = 180°-60o-30o = 90o ,.NA/aV = Nl = 30。，.0A=4&=；'

27、AB二,-2儿44、a/3Al是等边三角形，/.Z11 = Z1O = 6O°, Z13 = 60°,vZ4 = Z12 = 60%:.ABJ1人/3, BA”BA，.,.N1 = N6 = Z7 = 3O0, Z5 = Z8 = 90°,.4血=2用&,.A也=4g4 = 2,AJj =84& =4,4风=168出=8,4纥心的边长为白？”-、/. AA4 的边长为：X 2i = ! X 25 = 16 .故选：C.【点评】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 4名=444,44=8用4, 43s =16瓦4进而发现规律

28、是解题关键.8.如图，已知NM0V = 3O。，点4, 4, 4,在射线ON上，点用，层，&,在射 线。M上，A44, a2b2a3 A/3A4, . .均为等边三角形，若。4=1,则4aa>A. 16B. 64C. 128D. 256【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出444层4鸟 ,以及4层=24&,得出=4用4 =4, 4&=叫4=8, 4是=164&进而得出答案.【解答】解：4蜴4是等边三角形，/. A 片=4出，N3 = N4 = N12 = 60° .N2 = 120°,.NA/QN = 30。，.Zl = 18

29、0o-120o-30o = 30°,又N3 = 6O。，/.Z5 = 180°-60o-30o = 90o ,.NA/QV = Nl = 30。，.°A =44 =1,二 AB. = 1， / 儿坊4、 AAA是等边三角形, /.Zll = Z10 = 60°, Z13 = 60°,vZ4 = Z12 = 60° ,:ABJ 1AlBJ IA、B3, 4 A282 Aj，N1 = N6 = Z7 = 3O°, Z5 = Z8 = 90°,/.= 23Ai ,=28VA3,.A出3 =4B,A = 4,A他=83出=

30、8,儿纥=1644=16,以此类推：人氏=2：&&=27.【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 人e=444, 4星=8用4, AA =16耳&进而发现规律是解题关键.9.如图，M8C是等边三角形，夕是NABC的平分线3。上一点，PE上AB于点E ,线段BP 的垂直平分线交3c于点尸，垂足为点。.若BF = 2,则PE的长为（）A. 2B. 2、/JC.D. 3【分析】先根据&43C是等边三角形P是NABC的平分线可知NEBP = NQ8尸= 30。，再根据斯=2,尸QLBP可得出8。的长，再由3P = 23。可求出征的长，在

31、RtABEF中，根据ZEBP = 30。即可求出PE的长.【解答】解：.ARC是等边三角形乃是的平分线，/EBP = NQBF = 30。.；3” = 2, QF为线段82的垂直平分线，二 NFQB = 90。,：.BQ = 8Ecos300 = 2x半=6/. BP = 2BQ = 2a/3 ,在 RtABEP 中，,Z£BP = 30°,：.PE = -BP = 3 .2故选：C.【点评】本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边 三角形的三个内角都是60。是解答此题的关键.10.如图，夕为边长为2的等边三角形A8C内任意一点，连接上4、P

32、B、PC,过户点分 别作BC、AC、回边的垂线，垂足分别为。、E、F ,则尸。+庄+。尸等于（）A.与B.。C. 2D. 26【分析】求出等边三角形的高，再根据A48C的而积等于AE4B、BC、MAC三个三角 形面积的和，列式并整理即可得到PD+庄+尸尸等于三角形的高.【解答】解：.正三角形的边长为2,/.高为 2 xsin 60。=与，. S'BC = 3 X 2 X >/3 = 5/3 >.,PD、PE、/分别为8C、AC. AB边上的高，S"BC =；BC，PD，Sspac=AC.PE.乙乙乙. AB = BC = AC,Sw + S"L = &#

33、39;BC.PD + ；AC.PE +ABPF = L x 2(PD + PE + PF) = PD + PE + PF 2222Sy6c = S“8c + 5"八c + S*NB，:.PD + PE”F = 6故选：B.【点评】本题主要利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形 的面积的和求解：第二问体现了数学问题中由一般到特殊的解题思想.11.等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）A. 473B. 273C. y/3D. 3【分析】如图，作CD_LA3,则CQ是等边A43C底边AB上的高，根据等腰三角形的三线 合一，可得4> = 1,所以，在直角

34、A40C中，利用勾股定理，可求出8的长，代入面 积计算公式，解答出即可：【解答】解：作CQ_LA8,.A4BC是等边三角形，AB = BC = AC = 2,.AP=1,.在直角A4DC中，CD =，AC2-AD? =V?T = ",【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于 解答，体现了数形结合思想.12 .如图，在245C 中，A3 = AC = 2, NB = 60。，AD平分NBAC,则 AP等于（A. 1B. &C,、/5D. 1.5【分析】根据等边三角形的性质得到AOL5C, 33 = 8,根据三角函数的定义可得到结论.【解答

35、】解：,A5 = AC = 2，4 = 60°，/.ZA£）B = 90° tad=4ab = G故选：c.【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.13 .如图，AEHBD, AABC为等边三角形，若NC%）=15。，则 C的度数是（）【分析】如图，延长AC交必于求出NC7/3即可解决问题.【解答】解：如图，延长AC交微于./. ZACB = 60° ,；ZACB = NCBD+ NCHB , ZCBD = 150.NCH3 = 45。，.AE/BD,，ZE4C = NCHB = 45。，故选：B.【点评】本题考查平行线

36、的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型.二.填空题（共18小题）14 .如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表，则3n + l （用含的 代数式表示）.所剪次数1234,n正三角形个数471013-【分析】根据图跟表我们可以看出代表所剪次数，%代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解.【解答】解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个 数3 + 1故答案为：3 + 1.【点评】此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力.15

37、.如图，。为线段AE上一动点（不与点A、£重合），在AE同侧分别作正AA3C和正 ACDE, AD与BE交于点、O, AO与8C交于点P, BE与CD交于前Q,连接PQ.以 下五个结论：®AD=BEx PQ/AE：AP = BQ；DE = DP：ZAQ3 = 60°.恒成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上）月c E【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用 排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案.【解答】解：。.正AA8C和正C0E，/. AC = BC, CD = CE, 4cs = ZDCE = 60°

38、;, / ZACD = ZACB + ZBCD . ZBCE = ZDCE + ABCD./. ZACD = ABCE,:WDC 三 SBEC（SAS）,，AD = BE, ZADC = 4BEC,（故正确）；又；CD = CE, ZDCP = ZECQ = 60° , ZADC = ZBEC,：.SCDP = CEQ（ASA）.：.CP = CQ9 . ZCPQ = NCQP = 60°, .NQPC =4BCA ,/. PQ/AE,（故正确）：v dCDP 三 &CEQ,. DP = QE,-MDC = ABEC，AD = BE,，AD-DP = BE-QE,，

39、AP = BQ,（故正确）；OE>QE,且OP = QE,:.DE>DP,（故错误）：(ZAOB = ZDAE + ZAEO = ZDAE + ZADC = ADCE = a)0.(故正确).正确的有：.故答案为：【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点：得到三角形全等是正确 解答本题的关键.16.如图，已知：AMON = 3伊,点4、4在射线ON上，点用、B2、层在射线。W上，AgA?、&与4、 44A均为等边三角形，若3=1，则4纥4的边长【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出4耳/44/4& ,以及A2层=23出，得出&&a

40、mp; =444 =4, 4=884=8,4乜=16优&进而得出答案.【解答】解：A44是等边三角形,.入纥=A0I, N3 = N4 = N12 = 60°,/.Z2=120°,.NA/QN = 30。，/.Zl = 180o-120o-30o = 30°>又.N3 = 6O。，.上=180°-60。-30。= 90。，NA/ON = N1 = 30。，:.0 =Ag =1,. A必=1 ,.4与4、AAA,是等边三角形,/. Zll = ZI0 = 60°, Z13 = 60°,vZ4 = Z12 = 60°

41、; ,:.ABJ /A'B、,82 A3,.N1 = N6 = Z7 = 3O°, Z5 = N8 = 90°,.&a=244, 8出=2层4，A4 A =8用& =8,A风=16M4=16,以此类推:AA=3244=32【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出4坊=4片4, 42=88/2, A风=1644进而发现规律是解题关键.17.如图，正的边长为2,以8C边上的高Ag为边作正回£,与Agq公）_.（用含的式子共部分的面积记为，：再以正A3£边4G上的高人当为边作正AG，/14G与 A&

42、;C,公共部分的面积记为S,：.，以此类推，则S“ =表示）【分析】由A4为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到4为BC的中点，求出BB：的长，利用勾股定理求出 世 的长，进而求出S、,同理求出S依此类推，得到S；.【解答】解：，等边三角形ABC的边长为2,根据勾股定理得：AB上小, 评外拉邛用.等边三角形力8c的边长为百，AB2 ± B,C,/, ABi=61I根据勾股定理得：A&=二， 2c 1 >/3 /、2 6,3,2.S)=-x-x(-)-=一(一厂： 2 422 4依此类推，S“=gg)".故答案为：y(|r.【点评】此题考查了等边三角

43、形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解 本题的关键.18 .三个等边三角形的位置如图所示，若N3 = 50。，则Nl + N2= 130。.【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。，用Nl, Z2, N3表示出AA8C各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.第1页(共1页)【解答】解：.图中是三个等边三角形，Z3 = 50°,/.ZABC = 180°-60°-50° = 70°, ZACB = 180°-60°-Z2 = l20°-Z2 ,ZBAC = 180°

44、;-60°-Zl = 120°-Zl,ZABC+ZACB+ABAC = 180°,/.70° + (120°-Z2) + (120°-Zl) = l80° ,/.Zl + Z2 = 130°.【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60。是 解答此题的关键.19 .如图所示，已知：点A(0,0), B(#, 0), C(0,l)在A48C内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在8c边上，作出的等边三角形分别是第1个44出，第2个第个等边三角形的边长等于4 .2【解答】解：yOB =

45、6 oc = ,.3C = 2,/. ZOBC = 30° , ZOCB = 60°.而川蜴为等边三角形，必叫=60。,.NCOA=300，则/6。= 9。0.在 RIACAA中，AA.=goC =乌,同理得：耳& =；4与=当，依此类推，第个等边三角形的边长等于9.T【点评】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律.20 .如图，AA3C是等边三角形，4。平分NA8C,点£在3c的延长线上，且CE = 1,N£ = 30。，则 3C= 2 .【分析】先证明8c = 28,证明ACDE是等腰三角形即可解决问题.【解答】解：

46、.AABC是等边三角形，/.ZABC = ZACB = 60°> BA = BC .必。平分NABC,.ZDBC = ZE = 3O°t BD±AC ，NBDC = 90。，：.BC = 2DC,ZACB = ZE + NCDE,，NC0E = NE = 3O°,：.CD = CE = ,.BC = 2CD = 2,故答案为2【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.21.如图，在等边三角形A5C中，点。是边8C的中点，则/朋。=_30。【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和

47、等边三角形三个内角相等的性质填空.【解答】解：是等边三角形，/.Za4C = 60°> AB = AC.又点。是边3c的中点，. ZBAD = lzBAC = 30°.2故答案是：30°.【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60。.等边三 角形是轴对称图形，它有三条对称轴：它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直 平分线是对称轴.22.如图，已知等边ASC的边长是2,以8c边上的高八片为边作等边三角形，得到第一 个等边A4G；再以等边AMG的4G边上的高a层为边作等边三角形，得到第二个等 边A8.C,：再以等边 A丛C的

48、8,C边上的高A从为边作等边三角形，得到第三个等边 A83c3： 记8。层而积为S1，层。区面积为面积为S3,则5。=BB1【分析】先计算出。=正，再根据阴影三角形都相似，后面的三角形面积是前面而积的84【解答】解：:等边三角形A8C的边长为2, ABBC.,.做=用。=1, NAC3 = 60。，8民=吏4。=正，b,c=L,1221222c 11V3>/3.S =_x-x2= 2 2228依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为正， 2故S.=今令L故答案为：乎【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解 本题的关键.23 .如图，直

49、线“/'的顶点C在直线。上，边4?与直线相交于点。.若MCD是等边三角形，入4 = 20。，则Nl= 40【分析】根据等边三角形的性质得到 的C = 60。，根据平行线的性质求出N2,根据三角形的外角性质计算，得到答案.【解答】解：.M8是等边三角形，.ZBDC = 60%-a/h,.Z2 = ZBDC = 60°,由三角形的外角性质和对顶角相等可知，Zl = Z2-Z4 = 40%故答案为：40.a【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握等边三角形的三个内角都是 60。是解题的关键.24 .如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且 8_LAC，O

50、E±AB,OF IBC ,则。£> + QE + QF=6.第1页（共1页）【分析】连接。4、OB、OC,过A作AQJ.3C于。，根据等边三角形的性质求出8Q, 根据勾股定理求出A。，再根据S*. = S、Bo + S邓°。+求出即可.【解答】解：连接。4、OB、OC ,过A作AQ_L8C于。,.AABC是边长为2的等边三角形，.AB = AC = BC = 2, BQ = CQ = x2 = ,由勾股定理得：AQ =4AB2-BQ2 =心矛=6, * S$BC =+ S邓co + Src。， -x BC x AQ = 1 x A8 x OE + L BC

51、x OF + x AC x OD,2222-x2x73 = -x2xOE + -x2x(?F + -Ix2x(?D,2222. 1x2xV3 = lx2x(O£ + OF + (7D),解得：OD + OE + OF = B 故答案为：下.【点评】本题考查了勾股定理，三角形的而积和等边三角形等知识点，能通过作辅助线得出 SxlBC = SgBO+ S,。+是解此题的关键25.如图，边长为4的等边A48C, AC边在x轴上，点3在)，轴的正半轴上，以08为边 作等边AO3A，边QA与相交于点。I，以为边作等边0/4,边Q4与A乃交于点 q,以Q8为边作等边QBA，边qa、与48交于点q

52、,，依此规律继续作等边 0-84"，记OQA的而积为S，。024的面积为§2，的而积为§3， 。“人的面积为小则S宁巧.W且为整数)【分析】由题意：0。1东/>2002As ddA，. t s o,_：,相似比：22二?&=如】6()。=*，探究规律，利用规律即可解决问题.OA OOX2【解答】解：由题意：OOgXOOMXOQ'M, OOnA,相似比：也=处=皿60。=正，0A 0012VS,=S uw, =lxlxV3=,色=2, 1 s 22si 4:, S3 =(-)2.S), .» S“ =(j)"T.S =( j

53、)”T 日，故答案为：gyl日.【点评】本题考查等边三角形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属 于中考填空题中的压轴题.26.如图，A48C与拉花厂为等边三角形，其边长分别为。，b,则A4£7；的周长为_“ + 【分析】先根据全等三角形的判定A4S判定A4£F =蝴/2),得出AE=BF ,从而得出MEE的周长= AF + AE+EF = AF + 5P + $ = " + .【解答】解：.MBC与AD£F为等边三角形.Z4 = 4, EF = DF.ZBFD + ZBDF = T20P, ZBFD +ZAFE = 120。:.ABDF

54、 = ZAFE.AAEF 三 ABFD(AAS) :.AF = BD，AE = BF.AEP 的周长= AF + AE+EF = AF + BP + EF = a + .【点评】本题考查三角形全等的判定与性质及等边三角形的性质：发现并利用A4£P三M/Z） 是正确解答本题的关犍.727.在平面直角坐标系中，40,3）、8（6，0）、0（0.-）, C是入轴上一点，以AC为边向27右侧作正AA8,2为的中点.当。从O运动到3点时，尸。的最小值为_-【分析】连接OP, CP,依据。、A、P、。四点共圆，可得NAQP = NACP = 3O°,根据当PQLOP时，尸。最小，即可得

55、到PQ的最小值为 2【解答】解：如图，连接OP, CP,正AAC。中，夕为AD的中点，/. Z4OB = ZAPC = 90° >第1页（共1页）.O、A、P、C四点共圆, .Z4QP = ZACP = 30。，当PQ_LOP时，尸。最小，i 7 7即尸。的最小值为2。= 3乂耳=工.故答案为：【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及四点共圆，等边三角形的三个内角都相等, 且都等于60。.28.如图，A0是等边AA8C的中线，石是AC上一点，且AO = AE,则NEDC= 15 。.【分析】由AD是等边AA8C的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得 AD2.BC,

56、 ZC4D = 30°,又由A3 = A£,根据等边对等角与三角形内角和定理，即可 求得44。七的度数，继而求得答案.【解答】解：是等边28c的中线，j.ADLBC, ZBAD = ZCAD = lzBAC = -x600 = 30%22.ZADC = 90。，AD = AE,.2。七=即=吧 =75。， .NEDC = NADC-NADE = 90° 75。= 15。.故答案为：15.【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.此题难第1页（共1页）度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.29 .如图，直线乙/ J4，等边A15C的顶点3、C分别在直线/?、&上，若边BC与直线（的夹角Nl = 25。，则边与直线4的夹角N2=_35。【分析】先根据Nl = 25。得出N3的度数，再由A43C是等边三角形得出N4的度数，根据平行线的性质即可得出结论.【解答】解：. 直线/"2，3，4 = 25。， .Z1 = Z3 = 25°.AABC是等边三角形,/.ZABC = 60°,，/4 = 60°-25。= 35。，.Z2 = Z4 = 35°