第09章梁的应力

1、第九章第九章 梁的应力梁的应力9-1平面弯曲的概念及实例9-2梁的正应力9-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式9-4梁的切应力（可删去）9-5梁的强度条件9-6提高梁弯曲强度的主要途径9-1平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线由直线变成曲线的变形。纵向对称平面、平面弯曲纵向对称平面、平面弯曲l l 工程上常见的梁，其横截面都具有一根对称轴y。l 纵向对称面由对称轴和梁的轴线组成的平面。平面弯曲：梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯曲。9-2梁的正应力梁的正应力aPaPPPPa计算简图Q图M图PCDAB纯弯曲梁段：纯弯曲梁

2、段：CD段段横力弯曲梁段：横力弯曲梁段：AC、BD段段9-2-19-2-1纯弯曲时的变形现象与假设纯弯曲时的变形现象与假设Ozyx纵 向 对 称 轴m nbabamndx(a)(b)梁横截面上的变形规律：(c )(d )(e )zm中 性 层O中性层yxmmnbabam nmmmmm naayd xd OOO12x（2）在变形前，与梁轴线在变形前，与梁轴线垂直的横向直线垂直的横向直线m-m和和n-n变形后仍保持为直线，变形后仍保持为直线，且仍与弯曲后的梁轴线保且仍与弯曲后的梁轴线保持垂直。持垂直。 l（1）纵向线纵向线a-a和和b-b，由直，由直线弯曲为曲线。线弯曲为曲线。l - -内凹一侧的

3、纵向线内凹一侧的纵向线bb缩短，缩短，- -外凸一侧的纵向线外凸一侧的纵向线aa伸长。伸长。中性层既不伸长也不缩短。中性层既不伸长也不缩短。 纯弯曲直梁的受力变形的两个假设 ：（1） 平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线保持垂直。持为平面，且仍与变形后的梁轴线保持垂直。（2）单向受力假设单向受力假设(纤维互不挤压假设)：认为梁：认为梁的各纵向纤维之间没有因纯弯曲而引起相互挤的各纵向纤维之间没有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上各点处的纵向线段均处于压作用，则横截面上各点处的纵向线段均处于单向应力状态。单向应力状态。9-2-2

4、正应力公式推导正应力公式推导综合考虑：几何关系综合考虑：几何关系 物理关系物理关系静力学静力学&几何方面几何方面ykydddyx）（(c)(d)(e)zm中性层O中性层yxmmnbabamnmmmnaaOOO12xmmydxd 中性层处曲率半径中性层处曲率半径微段梁微段梁dx上上a-a处沿处沿 轴线轴线x方向应变为方向应变为1k（1）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤维距中性层的距离维距中性层的距离y成正比。成正比。 曲率曲率 &物理方面物理方面yxzyM(f)xxEEy该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的该

5、式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的距离距离y成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。 若纯弯曲梁内的应力不超过材料若纯弯曲梁内的应力不超过材料的比例极限，且材料的拉伸与压的比例极限，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同时缩弹性模量相同时,由胡克定律，由胡克定律，即得即得&静力学方面静力学方面zyObazyOzyO中性轴yxzyMMxzyydAdAz(a)(b)(c)(d)(f)(e)(g )Ozyx纵向对称轴mnbabamndxzm中性层O中性层yxmmnbabamnmmmmmnaaydxdOOO12x0 xF 0NAAAzEFd

6、AydAEEydAS因为00zzAcESSydAy A即得到中性轴即得到中性轴(Z轴轴) ，过形心。，过形心。MMzzzAAAzEIMMIEdAyEdAyEdAyM122结合物理方程：结合物理方程：zxIMy等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一点正应力公式为等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一点正应力公式为: :xxEEy 为梁的横截面对中性轴的惯性矩；为梁的横截面对中性轴的惯性矩； zEI为梁的抗弯刚度。为梁的抗弯刚度。 x的符号确定方法：的符号确定方法： (1) 将弯矩将弯矩M和坐标和坐标y的正负号同时代入；的正负号同时代入；(2) 以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力，以中性层为界，变形

7、后梁凸出边的应力必为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。而凹入边的应力则为压应力。 dAyIAz2zxIyxM)( （2 2）对于细长梁即）对于细长梁即 ，横截面上的剪，横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在力对正应力分布和最大值的影响一般在5 5以内，因以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力此横力弯曲时横截面上的正应力,下式亦适用下式亦适用5/hl（1）上式虽由矩形截面梁导出，但也适用于）上式虽由矩形截面梁导出，但也适用于所有截面形状对称于所有截面形状对称于y轴的梁，如工字形、轴的梁，如工字形、T字字形、圆形截面梁等形、圆形截面梁等例 如图（a）所示的简支梁为56a号工字型钢，截面简化尺

8、寸如图（b）所示。若梁上作用有集中力P125kN，试求：（1）不计自重，该梁危险截面上的最大正应力；（2）不计自重，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处a点正应力。ya12.5166(b)560z(mm)213m3m6m(a)(c)375kN m.MCDPPAByaB1 2 .51 6 6(b )560z(m m )2 1ACDPP3 m3 m6 m(a )(c )3 7 5 k Nm.M解解 （1）首先不考虑梁自重，作出梁的弯矩（）首先不考虑梁自重，作出梁的弯矩（c）l 危险截面应在梁段危险截面应在梁段CD中任一截面。中任一截面。l 利用型钢表，可查得利用型钢表，可查得56a号工字钢的截面几何性质

9、：号工字钢的截面几何性质： yaB1 2 . 51 6 6( b )560z( m m )2 1ACDPP3 m3 m6 m( a )( c )3 7 5 k Nm.MmkNMp3753125max465600cmIz32340zWcm危险截面上的最大正应力危险截面上的最大正应力（2）危险截面上翼缘与腹板交界处）危险截面上翼缘与腹板交界处a点的正点的正应力应力MPaWMzpp12.1601023401037563maxmaxMPayIMazpa09.148106560010)212560(10375833max9-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 矩形截面的惯性矩

10、矩形截面的惯性矩Iz b/2b/2b/2b/2C Cy ydydyz zy yh/2h/2根据惯性矩定义有：根据惯性矩定义有： 3222212hhzAbhIy dAy bdya) 惯性矩惯性矩 圆形截面的惯性矩圆形截面的惯性矩Iz dzyyzczyzAAAPIIIdAzdAydAI22226424dIIPz同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为)1 (64244DIIPzD为空心圆截面的外径，为空心圆截面的外径，为内、外径的比值。为内、外径的比值。&形心和静矩形心和静矩形心形心(Centroids)(Centroids)坐标公式：坐标公式： AdAyyAz

11、dAzACAC,静矩又称面积矩静矩又称面积矩 zyAASydASzdACACAAzzdAAyydACAyCAzAzzdASAyydAS则有则有&组合截面的惯性矩计算组合截面的惯性矩计算将组合截面将组合截面A A划分为划分为n n个简单图形，设每个简单图形面积个简单图形，设每个简单图形面积分别为分别为A A1 1、A A2 2、AAn n。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A A对某一轴的惯对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：一轴的惯性矩之和，即：1( )nzziII i惯性矩的组合公式惯性矩的组合公式

12、&平行移轴定理平行移轴定理zyz z0 0yy y0 0dCdA20AdIIzz（1）截面对任一轴（不通过形心）的惯性矩，等于截面对）截面对任一轴（不通过形心）的惯性矩，等于截面对平行于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等平行于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等于截面面积与两轴距离平方之积。于截面面积与两轴距离平方之积。（2）该附加项恒为正，则截面对形心轴的惯性矩最小。）该附加项恒为正，则截面对形心轴的惯性矩最小。例例计算图示计算图示T 形截面的形心和过它的形截面的形心和过它的形心形心 z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 解：选参考坐标系解：选参考坐标系ozoz y y

13、11222221000 10850 1600 104002600 105730iiCCciCA yA yA yyAAmmz（2 2）计算截面惯性矩）计算截面惯性矩3294132942941211000 1001000 100 2777.75 10121200 800800 200 17313.32 101221.1 10zzzzzImmImmIIImm9-4梁的切应力梁的切应力 （要求）（要求）一般在横力弯曲时，梁截面上既有弯矩，一般在横力弯曲时，梁截面上既有弯矩，又有剪力。又有剪力。当梁的跨度很小（长高比：当梁的跨度很小（长高比：l/h5)l/h|M|MB B| |，|y|ya a|y|yd

14、 d|, |, 因此因此 |a a|d d| |（2 2）强度校核。）强度校核。MPammmmNmmIyMzaDa8 .591084. 8)950)(1056. 5(466MPaIyMMPaIyMzcBczbDb6 .333 .28tctcacMPaMPa6 .338 .59max,max,梁的弯曲强度符合要求梁的弯曲强度符合要求 例例 悬臂工字钢梁悬臂工字钢梁ABAB，长，长l=1.2m，在自由端有一集中荷载，在自由端有一集中荷载F F，工字钢的型号为，工字钢的型号为1818号，已知钢的许用应力号，已知钢的许用应力=170Mpa=170Mpa，略去梁的自重，略去梁的自重，(1)(1)试计算集

15、中荷载试计算集中荷载F F的最的最大许可值。大许可值。(2)(2)若集中荷载为若集中荷载为45 kN45 kN，确定工字钢的型号。，确定工字钢的型号。解：解：1.1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：定端处，其绝对值为：Mmax=Fl=1.2F NmF F的最大许可值为：的最大许可值为： 3max18517026.21026.21.2FNKN由附录中查得，由附录中查得，1818号工字钢的抗弯截面模量为号工字钢的抗弯截面模量为WWz z=185=18510103 3mmmm3 3公式：公式： 1.2F(1851.2F(1851010-6-6)

16、(170)(17010106 6) )max zMW(2)(2)最大弯矩值最大弯矩值MMmaxmax=Fl=1.2=Fl=1.24545103=54103=54103Nm103Nm按强度条件计算所需抗弯截面系数为：按强度条件计算所需抗弯截面系数为： 3356max3181018. 31701054cmmmMPaNmmMWZ 查附录可知，查附录可知，22b22b号工字钢的抗弯截面模量号工字钢的抗弯截面模量为为325cm325cm3 3 ，所以可选用，所以可选用22b22b号工字钢。号工字钢。 9-6提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的在横力弯曲

17、中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力最大正应力，梁的正应力强度条件，梁的正应力强度条件 WMmaxmax最大正应力与最大正应力与MM成正比，与成正比，与WzWz成反比。成反比。所以提高弯曲强度要从提高所以提高弯曲强度要从提高Wz和降低和降低MM值入手。值入手。（1）合理安排梁的受力情况）合理安排梁的受力情况(支座、荷载支座、荷载)(2)选用合理的截面形状选用合理的截面形状如：设正方形边长为如：设正方形边长为a，矩形的宽度为，矩形的宽度为b，高度为，高度为h,且且b/h=1/3。若两截面面积相等，即。若两截面面积相等，即A1=A2,a2=bh.正方形截面的抗弯截面模量为正方形截面的抗弯截面模

18、量为矩形截面的抗弯截面模量为矩形截面的抗弯截面模量为两者之比为：两者之比为：6/31aW 6/36/322abhW557. 06363321aaWW 一般地把梁的抗弯截面模量一般地把梁的抗弯截面模量W与其横截面面积与其横截面面积A之比作之比作为选定合理截面形状的一个指标。在为选定合理截面形状的一个指标。在A不变的条件下，不变的条件下，W愈大愈好。即愈大愈好。即WZ/A越大越合理。对同样矩形，有越大越合理。对同样矩形，有平放时：平放时：竖放时：竖放时：bbbhbhAWz167. 0662hhbhhbAWz167. 0662 因为因为hb ，所以，所以竖放比平放有较高的抗弯能力竖放比平放有较高的抗弯能力，更为合理。，更为合理。 常见截面的常见截面的WZ/A 值值 截面截面形状形状 0.167h0.125d(0.270.31)h(0.270.31)h0.125D(12)AWzzhzdzhzhzDdDd因此：因此：工程上常采用工字形、圆环形、箱形等