垂径定理练习题汇总.

1、一选择题（共7 小题）1（ 2014?凉山州）已知 O 的直径 CD=10cm ，AB 是 O 的弦， AB=8cm ，且 AB CD ，垂足为 M ，则 AC 的长为（）A cmBcmCcm 或cmD cm 或cm2（ 2014?舟山）如图，O 的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2 ，DE=8 ，则AB的长为（）A 2B4C6D83（ 2014?毕节地区）如图，已知O 的半径为13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A 6B5C4D34（ 2014?三明）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点 E，则下列结论正确的是（）A OE=BE C BOC是等边三角形B

2、=D四边形ODBC是菱形5（ 2014?南宁）在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A 40cmB 60cmC 80cmD 100cm6（ 2014?安顺）如图，是直径 MN 上一动点，则MN 是半径为 1 的 OPA+PB 的最小值为（的直径，点）A 在O上，AMN=30°，点B 为劣弧AN的中点PA B 1C 2D 27（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限， A 与 x 轴交于 B（ 2，0）、C（8， 0）两点，与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是（）A （ 5，4）B（4，

3、5）C（5，3）D（3，5）二解答题（共7 小题）8（ 2014?佛山）如图，O 的直径为10cm，弦 AB=8cm ， P 是弦 AB 上的一个动点，求OP 的长度范围9（ 2014?盘锦三模）如图，CD 为 O 的直径， CD AB ，垂足为点F， AO BC ，垂足为E，（ 1）求 AB 的长；（ 2）求 O 的半径10（ 2009?长宁区二模）如图，点 C 在 O 的弦 AB 上， COAO ，延长 CO 交 O 于 D弦 DE AB ，交 AO 于F（ 1）求证： OC=OF ；（ 2）求证： AB=DE 11（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1 米，管内有

4、少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6米（ 1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（ 2）当水位上升到水面宽为0.8 米时，求水面上升的高度12（2008?长宁区二模） 如图，在 ABC 中，AB=AC ，O 过点 B 、C，且交边 AB 、AC 于点 E、F，已知 A= ABO ，连接 OE、 OF、 OB（ 1）求证：四边形 AEOF 为菱形；（ 2）若 BO 平分 ABC ，求证： BE=BC 13（ 2007?佛山）如图，O 是 ABC 的外接圆，且AB=AC=13 ， BC=24 ，求 O 的半径14（ 2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧A

5、B ），点 O 是这段弧的圆心，点C 是弧AB 上的一点， OC AB ，垂足为D，如 AB=60m ， CD=10m ，求这段弯路的半径参考答案与试题解析一选择题（共7 小题）1（ 2014?凉山州）已知 O 的直径 CD=10cm ，AB 是 O 的弦， AB=8cm ，且 AB CD ，垂足为 M ，则 AC 的长为（）A cmBcmCcm 或cmD cm 或cm考点 ： 垂径定理；勾股定理专题 ： 分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC ， AO ， O 的直径 CD=10cm ， AB CD ，AB=8cm ， AM= A

6、B= ×8=4cm ，OD=OC=5cm ，当 C 点位置如图1 所示时， OA=5cm ， AM=4cm ， CDAB ， OM=3cm， CM=OC+OM=5+3=8cm ， AC=4cm；当 C 点位置如图2 所示时，同理可得OM=3cm ， OC=5cm ， MC=5 3=2cm ，在 Rt AMC 中， AC=2cm故选： C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2（ 2014?舟山）如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2 ，DE=8 ，则 AB 的长为（）A 2B4C6D8考点 ： 垂径定理；勾股定理专题 ：

7、 计算题分析：根据 CE=2 ，DE=8 ，得出半径为5，在直角三角形OBE 中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB 的长解答：解： CE=2 ，DE=8 ， OB=5 ， OE=3，ABCD，在 OBE 中，得 BE=4 ， AB=2BE=8 故选： D点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握3（ 2014?毕节地区）如图，已知O 的半径为13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A 6B 5C 4D 3考点 ： 垂径定理；勾股定理分析： 过 O 作 OC AB 于 C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC 即可解答： 解：过 O 作 OCAB

8、于 C，OC 过 O， AC=BC= AB=12 ，在 Rt AOC 中，由勾股定理得： OC=5故选： B点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC 的长4（ 2014?三明）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点 E，则下列结论正确的是（）A OE=BE C BOC是等边三角形B=D四边形ODBC是菱形考点 ： 垂径定理分析：根据垂径定理判断即可解答：解： AB CD， AB 过O， DE=CE ，=，根据已知不能推出DE=BE， BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形故选： B点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力5（ 2014?南宁）

9、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A 40cmB 60cmC 80cmD 100cm考点 ： 垂径定理的应用；勾股定理分析：连接 OA ，过点 O 作 OEAB ，交进而可得出ME 的长AB于点M ，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，解答：解：连接OA ，过点 O 作 OE AB ，交 AB 于点 M ，直径为200cm， AB=160cm ， OA=OE=100cm ， AM=80cm ， OM=60cm ， ME=OE OM=100 60=40cm 故选： A点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意

10、作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6（ 2014?安顺）如图，是直径 MN 上一动点，则是半径为 1 的 OPA+PB 的最小值为（的直径，点）A 在O上，°，点B 为劣弧的中点A B 1C 2D 2考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理分析： 作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA 、OB 、OB、AB ，根据轴对称确定最短路线问题可得AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍求出 AON=60 °，然后求出 BON=30 °，再根据对称性可得 BON= BON=30

11、 °，然后求出 AOB =90°，从而判断出 AOB 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB = OA ，即为 PA+PB 的最小值解答： 解：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA 、OB 、 OB 、 AB ，则 AB 与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点， PA+PB 的最小值 =AB ， AMN=30 °， AON=2 AMN=2 ×30°=60°，点 B 为劣弧 AN 的中点， BON= AON=×60°=30°，由对称性，B ON= BON=30 °，

12、 AOB =AON+ B ON=60 °+30°=90 °， AOB 是等腰直角三角形， AB =OA=×1=，即 PA+PB 的最小值 =故选： A点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍的性质，作辅助线并得到 AOB 是等腰直角三角形是解题的关键7（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（ 2，0）、C（8， 0）两点，与 y 轴相切于点D，则点 A 的坐标是（）A （ 5，4）B（4， 5）C（5，3）D（3，5）考点 ： 坐标与图形性质；勾股定理；垂

13、径定理专题 ： 压轴题分析：因为点 A 在第一象限， A 与 x 轴交于 B（ 2，0）、C（ 8，0）两点， 与 y 轴相切于点D ，所以 OB=2 ，OC=8 ，BC=6 ，连接 AD ，则 AD OD ，过点 A 作 AE OC 于 E，则 ODAE 是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3 ，所以 OE=AD=5 ，再连接AB ，则 AB=AD=5 ，利用勾股定理可求出AE=4 ，从而就求出了A 的坐标解答：解：连接AD ， AB ， AC，再过点A 作 AE OC 于 E，则 ODAE 是矩形，点 A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（ 2， 0）、 C（ 8， 0）两点，与y 轴相切

14、于点D ， OB=2 ， OC=8， BC=6 ， A 与 y 轴相切于点 D， AD OD，由垂径定理可知： BE=EC=3 ， OE=AD=5 ， AB=AD=5 ，利用勾股定理知AE=4 ， A （5， 4）故选 A点评：本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题二解答题（共7 小题）8（ 2014?佛山）如图，O 的直径为10cm，弦 AB=8cm ， P 是弦 AB 上的一个动点，求OP 的长度范围考点 ： 垂径定理；勾股定理专题 ： 几何图形问题分析：过点 O 作 OE AB 于点 E，连接 OB ，由垂径定理可知AE=BE= AB ，再根据勾股定理求出OE 的长，由此可得出结论解

15、答：解：过点O 作 OEAB 于点 E，连接 OB ， AB=8cm ， AE=BE= AB= ×8=4cm， O 的直径为10cm， OB= ×10=5cm ， OE=3cm ，垂线段最短，半径最长， 3cmOP5cm点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9（ 2014?盘锦三模）如图，CD 为 O 的直径， CD AB ，垂足为点F， AO BC ，垂足为E，（ 1）求 AB 的长；（ 2）求 O 的半径考点 ： 垂径定理；等边三角形的判定与性质分析：（ 1）先根据 CD 为 O 的直径， CD AB 得出= ，故可得出 C=

16、AOD ，由对顶角相等得出 AOD= COE，故可得出 C= COE ，再根据 AO BC 可知 AEC=90 °，故 C=30 °，再由直角三角形的性质可得出BF 的长，进而得出结论；（ 2）在 Rt OCE 中根据 C=30 °即可得出 OC 的长解答： 解：（ 1） CD 为 O 的直径， CD AB ， = ， AF=BF ， C=AOD ， AOD= COE， C= COE， AOBC， AEC=90 °， C=30°， BC=2 ， BF= BC= ， AB=2BF=2；（ 2） AOBC，BC=2， CE=BE= BC= ， C=

17、30°， OC=2，即 O 的半径是 2点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键10（ 2009?长宁区二模）如图，点 C 在 O 的弦 AB 上， COAO ，延长 CO 交 O 于 D弦 DE AB ，交 AO 于F（ 1）求证： OC=OF ；（ 2）求证： AB=DE 考点 ： 垂径定理；全等三角形的判定专题 ： 证明题分析：（ 1）、由同角的余角相等可得，DFO= OCA ，由 AAS 证得 ACO DFO ，故有 OF=OC ；（ 2）、证得 DOE= AOB ，再由 SAS 得到 OAB ODE ? AB=DE

18、解答： 证明：（ 1） D+ DCA= D+ DFO=90 °， DFO= OAC 又 OD=OA ， DOF= AOC=90 °， ACO DFO OF=OC （ 2）连接 OB、 OE， OE=OD ， OA=OB ， D=E， A= B DOE=180 ° 2 D， AOB=180 °2 A 由 1 知， ACO DFO，有 A= D DOE= AOB 又 OE=OD=OA=OB ， OAB ODE AB=DE 点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解11（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1

19、米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6米（ 1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（ 2）当水位上升到水面宽为0.8 米时，求水面上升的高度考点 ： 垂径定理的应用分析：作半径 OCAB ，连接 OA ，则 CD 即为弓形高根据垂径定理的AD= AB ，然后根据已知条件求出 CD的长； 当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P，由此可得 OP=0.3 ，然后根据 MN 与 AB 在圆心同侧或异侧时两种情况解答解答：解：（ 1）作半径OCAB ，垂足为点D，连接 OA ，则 CD 即为弓形高 OC AB ， AO=0.5 ，AB=0.

20、6 ， AD= AB= ×0.6=0.3 ， OD=0.4， CD=OC OD=0.5 0.4=0.1 米，即此时的水深为0.1 米（ 2）当水位上升到水面宽MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P同理可得 OP=0.3 ，当 MN 与 AB 在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1 米；当 MN 与 AB 在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7 米点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力12（2008?长宁区二模） 如图，在 ABC 中，AB=AC ，O 过点 B 、C，且交边 AB 、AC 于点 E、F，已知 A= ABO ，连接 OE、 OF、 OB（ 1）

21、求证：四边形 AEOF 为菱形；（ 2）若 BO 平分 ABC ，求证： BE=BC 考点 ： 菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理专题 ： 证明题分析：（ 1）连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 O 作 OQ AB 于 Q，连接 OC，根据等腰三角形的性质证出 BAC= ABO= ACO ，推出 BAC= OEB= OFC，得出 AE OF，AF OE，再 OE=OF ，即可推出答案；（ 2）根据角平分线定理求出 OQ=OM ，根据勾股定理求出 BQ=BM ，根据垂径定理即可推出结论解答： 证明：（1）连接 AO 并延长

22、AO 交 BC 于 M 过 O 作 OQAB 于 Q，ORAC 于 R，连接 OC， OB=OC ， OBC= OCB， AB=AC ， ABC= ACB ， ABO= ACO ， BAC= ABO ， BAC= ABO= ACO ， OE=OB ， OC=OF ， ABO= OEB， ACO= OFC， BAC= OEB= OFC， AE OF， AF OE，四边形 AEOF 是平行四边形， OE=OF ，平行四边形 AEOF 为菱形（ 2）圆 O 过 B、C， O 在 BC 的垂直平分线上， AB=AC ， AM BC， BO 平分 ABC ，OQ AB ， OQ=OM ，由勾股定理得： BM=BQ ，由垂径定理得： BE=BC 点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键13（ 2