高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略

1、高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略基本不等式 u jab (a 0,b 0当且仅当a b时等号成立)是高中必 2修五不等式一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力， 它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。一、基本不等式的基础知识1基本不等式：如果a 0,b 0,则3 jOb,当且仅当a b时等号成立。2在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正” a、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条

2、件。“二定”：当两正数的福b是定值时，积ab有最大值；当两正数的积ab是定值时，和a b有最小值。“三相等”：a b是 扁的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注 2意等号成立的条件是否一致。二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑(凑系数或凑项)后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。题型一配凑系数一 、一3 一一 ,一例1设0 x 3 ,求函数y 4x(3 2x)的最大值。2求解。但凑系数将4x拆为2 2x后可得到和2x (3 2x) 3为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。一,3解：因为0

3、 x '所以3 2x 02故 y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2c 2x 3 2x2 2当且仅当2x 3 2x,即x0,2时等号成立.一，一一 ,，一 9所以原式的最大值为-2题型二配凑项1配凑常数项,一 ，5 ，一一例2已知x -,求函数y414x 2 的最大值。24x 5分析：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号。另外，y (4x 2)又不是 4x 5常数，所以对4x 2要进行拆、凑项。 一. 5 .一一解：因为x 3所以5 4x 04所以(5 4x) 1一 25 4x11 一 一一.所以 y 4x 2 5 4x 32 3 14x 55 4x当且仅当5 4x即x 1时，

4、上式等号成立，故当x 1时，y取最大值5 4x1.2配凑一般项,211,例3(201。"考四川又科卷第11题)设a> b>。，则a第rW的最小伯是()(A) 1(B) 2(0 3(D) 4分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值。考虑到ab11， aba(a1 即(a21ab)aab1 ,所以配凑ab、ab这两项。解:因为a0,所以ab10,一 ab0,故 ab1ab2 ab 12ab而a(ab)1a(a b)0,所以a(a b)1a(a b)2ja(a b) 1 a(a b)故a21abw= a2 ab ab -ab a(a b)=ab1aba(a1

5、b) >2 + 2=4a(a b)当且仅当ab=1a(ab) = 1时等号成立，如取a= V2 , b=，2 ,式子取得2最小值4.故选择答案D 策略二遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式题型一：配凑分子，分离分式对于分子次数比分母高的分式不等式， 可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。,x2 2x 2 ，一例4 求y (x 1)的最小值。2x 1分析：可先将分子配凑出含有X-1的项，再将其分离。1X 1 2X 1解：因为X 1 ,所以X 1 0所以X 1X 1当且仅当x 1 ,时，也就是x 2时取等号. x 1所以y的最小值为2.题型二：

6、同除分子，分离分母使分母出现对于分母次数比分子高的分式不等式， 可尝试上下同除以分子,互倒的结构，再用基本不等式求最值。例5 求y 的值域. x2 9分析：题目没有交代x的取值范围，此题需要分类讨论。解：当x 0时，分子分母同除以x,则x 1yx299x -x.99(1)当 x 0时，有 x 2Mx 6 , xx11 .一 ,，I , 一.所以y1,当且仅当x 3时，等号成立96x -x6,99 一一 .9(2) 当x 0时，有 x 2 /( x) 6,所以x xxx一11 一 . i故y -,当且仅当x 如寸，等号成立96x -x当 x 0时，y -yx =0 x 9综上可知，y的取值范围是

7、!6 6策略三遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式15 , 一 ，一例6求函数y v2x 1 v5 2x( x 5)的最大值.22方后，便可构造出可用基本不等式的结构。解：将两y J2x 1 解2x边平方,得y2 ( 2x 15 2x)2 4 2. (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又因为y>0,所以0 y 2，. 2当且仅当2x 1 5 2x,即x 3时，取等号.2所以y的最大值是贬.策略四利用1的性质，合理代换后再用基本不等式1”是一个特殊的数，任何式子乘以1,式子仍不变。所以如果题目条件给出某个式子的值为1,则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基 本不等式的形式。一 、一一 11一一 ，一例7设xy 0,且1 1,求x y的最小值.x y分析：由于131,所以xy=11xy 2,故可用基本不等x yx yx y式求最值.x y解：由于111,所以x y= 1 - x y 2 -x yx yxv又由于xy 0,所以x和y同号，故一0和上yx所以 x y=22 2 2 4,x y当且仅当- '，即x y 1或1时，取等号 y x所以，原式白最小值为2.总结以上四种策略， 是用基本不等式解决