高中数学向量专题-概念+例题

1、高中数学向量专题学习目标1 .理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 .2 .掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.3 .了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它彳门解斜三角形 .向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理

2、等知识中均有涉及.本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是 本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造 了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力知识点1 .向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示.AB表示从点A到B的向量（即A为起点，B为终点的向量），也可以用字母a、b、c等表示.（印刷用黑体a、b、c,书写用a 6、C注意：长度、面积、体积、质量等为 数量，位移、速度、力等为向量 ）.2 .向量的模所谓向量AB的大小，就是向量 AB

3、的长度（或称模），记作| AB |或者| a | .向量不能比较大小，但向量的模 可以比较大小.3 .零向量与单位向量： 长度为0的向量称为零向量，用0表示.0向量的方向是不定的， 或者说任何方向都是 0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为 0;二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4 .平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行 .因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形 ABCD

4、是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量 AD与BC也是一组共线向量.5 .相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a =b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关重点难点通过本节学习，应该掌握：（1）理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；（3） 了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念例1判断下列各命题是否正确（1）若 I a I = I b I ,贝U a = b（2）若A、R C、D是不共线的四点，则 aB = DC是四边形ABC皿平

5、行四边形的充要条件.(3)若 a = b, b = c,贝 Ua = c(4)两向量a、6相等的充要条件是r I G I = I S I(5) | a | = | b |是向量a = b的必要不充分条件.(6) AB =CD的充要条件是 A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同(2)正确. AB = Dc , AB = De 且云B / DC.又A、B、C D是不共线的四点.四边形 ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则 AB _DQ且AB与DC方向相同，因此AB = DC .(3)正确.: a =b，a, 6的长度相等且方向相同

6、；又 b =c.b, C的长度相等且方向相同.a , c的长度相等且方向相同，故 a = c(4)不正确.当a / b ,但方向相反，即使| a | = I b | ,也不能得到a =b ,故rl J 1 = 1 3 I不是a = b的充要条件.(5)正确.这是因为| a | , F,a=b ,但a = b| a | = | b | ,所以| a | 二 | b |是a = b的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为AB=CD时，应有： Ab = CD 及由a到b与由c到d的方向相同，但不一定要有 a 与C重合、B与D重合.说明：针又上述结论(1)、(4)、(5),我们应该清醒的认识到，两非零

7、向a、b相等的充要条件应是a、b的方 向相同且模相等.针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两 向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合例2 如图所示， ABC中，三边长| AB|、| BC|、| AC|均不相等，E、F、D是AC, AB, BC的中点.(1)写出与EF共线的向量(2)写出与EF的模大小相等的向量.(3)写出与EF.相等的向量.解：(1) F分别是AG AB的中点EF/ BC从而，与EF共线的向量，包括：FE , BD , DB , DC, CD, BC , CB

8、.(2) /B F、D分别是AG AB BC的中点1八 J 八EF=- BC,BD=DC= BC.22又AR BG AC均不相等从而，与EF的模大小相等的向量是：FE、bd Db dc Cd与EF相等的向量，包括： DB、CD .例3判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量(4)不相等的向量，则一定不平行 .*非零向量的单位向量是土 -a.a解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；r r-b-ta-rr(4)假命题，因为若a

9、 , b方向相同，但只要| a|w| b|,则awb.真命题，任一非零向量：a的单位向量为土 -a.a例4 如图，已知：四边形 ABCN, N M分别是AR BC的中点，又 AB = DC .DN A求证：CN=MA,证明：.AB=DC.I AB| = | DC| ,且AB/ DC.从而，四边形 ABCD平行四边形 AD/ BC, AD=BCN、M分别是AD BC的中点.AN=1AD,MC=1 BC.22AN=MC. 又 AN/ MC四边形 AMCN1平行四边形.于是得：AM/ NG I AM| = | NC| . 又由图可知：CN与MA的方向一致.CN =MA【难题巧解点拔】例1如图，已知四

10、边形ABC虚矩形，。是两对角线AC与BD的交点，设点集M=A,B,C,D,O、向量的集合T= PQ | 任P, QC M,且P、Q不重合，试求集合T的子集个数.ABDC分析：要确定向量为元素的集合 T有多少个子集，就需搞清楚集合 T中有多少个相异的向量解：以矩形ABCM四顶点及它的对角线交点 0,五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20 个向量一一列举出来：AO =0C、0A =C0 ; DO =0B、BO=OD;AC、CA ； BD、DB ； AD = BC、DA=CB;AB=DC、BA=CD.它们中有 12 个向量是各不

11、相等的 故T是一个12元集.所以T有212个子集.说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.例2 已知；如图，点 D在4人3仪勺边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AR AC上，DF = EA .TD(1)求证： BD DCF.(2)求当D在什么位置时，四边形 AED用勺面积可以取到最大值 ？ 证明：(1) DF =EADF/ AE, | DF| = | EA| .从而，得：四边形 AEDF是平行四边形DE/ AF, | DE| = | AF |由DE/ AF可得：/ BDEhC由 DF/ AE可得：/ B=Z F

12、DC. BDa DCF(2)设 | BC| =a, | AC| =b, | AB | =c, | BD| =x，则 | DC| =a-x.BDa DCF.BD _ BE _ ED CD DFC从而，-BE- = -D ,设比为ki.x a xEDFC一L ,设比为k2.由 | BE | + | DF| =c, | ED| + | FC | =b.可得：xki+(a-x)k, ci=c, - ki =.axk2+(a-x)k 2=b,k2=bc.I DF| = c(a-x)a| DE| =bx a由点F作FT, AB,垂足为T由锐角三角函数，| FT | = | AF | sinA= bx -

13、sinA a.Su aed= | DF| - | FT | = c (a-x) - bx - sinA a abc2、=(ax-x )sinAa=bc - (x- 亘)2 sinA bc sinA a2424当且仅当x=a时，等号成立.2答：D是BC边的中点时，Sbaedf取到最大值.Al, A2A8及圆心。九个点中任意两点为起点与终点的向例3如图A, X, A8是。上的八个等分点，则在以量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径北倍的向量有多少个？分析：（1）由于Al、A2A8是。上的八个等分点，所以八边形AAA8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与。的半径不相等.所以模等于半径的向量只可

14、能是OA与AO （i=1,2,，8）两类.（2）。内接正方形的边长是半径的J2倍，所以我们应考虑与圆心O形成90。圆心角的两点为端点的向量个数.解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是03（i=1,2 ,，8）共8个；另一类是 丽（i=1,2, ,8）也有8个，两类合计16个.（2）以A1, A2,，A8为顶点的。O的内接正方形有两个，一是正方形AAAA7；另一个是正方形 A2A4AAs.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的 J2倍.所以模为半径 J2倍 的向量共有4X2X2=16个.说明：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算O氏

15、与AO（i=1 , 2,，8）两类，一般我们易想到OAi（i=1,2,，8）这8个，而易遗漏 AO （i=1 , 2,，8）这8个.（2）圆内接正方形的一边对应了长为 | b |a bC. a=b| a | / | b |D. | a | =0 a=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B,零向量、数字 0是两个不同的概念，零向量是不等于数字 0的.，应排除D, 应选C.例4 下列四个命题：若| a | =0，则a =0；若| 2| = |6|,则2=6或2=；若a与b是平行向量，则|a I = I b I ；若a = 0 ,则-a = 0正确命题个数是（）A

16、.1B.2C.3D.4分析：是忽略了 0与0不同，由于 a =0 a=0,但0不能写成0；是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们 的方向相同或相反；是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相 等；正确，故选A.强化练习：一、选择题1 .下列命题中的假命题是（）A.向量AB与BA的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于 0D.共线的单位向量都相等2 .如图，在圆。中，向量OB, oc ,有是（）A.有相同起点的向量B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向

17、量（2期留）B黑图）3 .如图， ABC中，DE BC,则其中共线向量有（）A.一组B.二组C.三组D.四组4 .若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式| a | | b | ；a / b ；| a I 0；I b I = 1 ； 1ar=b ,其中正确的有（）aA.B.C.D.5 .四边形ABCD,若向量 AB与CD是共线向量，则四边形 ABCD（）A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形6 .把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A. 一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7 .若a, b是两个不平行

18、的非零向量，并且a / c , b/c,则向量c等于（）toffA. 0B. aC. bD. c 不存在I-I-fc-8.命题p： a与b是方向相同的非零向量，命题 q: a与b是两平行向量，则命题 p是命题q的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、判断题1 .向量aB与bA是两平行向量.（）2 .若I是单位向量，b也是单位向量，则 a=b.（）3 .长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为 1而方向为北偏东30。的向量就不是单位向量.（）4 .与任一向量都平行的向量为0向量.（）5 .若AB =DC ,则A B、C D四点构成平行四边形.（）.()

19、6 .两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同7 .设O是正三角形ABC的中心，则向量 AB的长度是OA长度的J3倍.（）8 .已知四边形ABC比菱形，则| AC | = | BD |是菱形ABC的正方形的充要条件.（）9 .在坐标平面上，以坐标原点。为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.（）10 .凡模相等且平行的两向量均相等.（）三、填空题1.已知a , b , c为非零向量，且 a与6不共线，若c / a ,则c与b必定 2.已知| OA| =4, | AB | =8, Z AOB=60 ,则 | AB | =则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有个.3.如图

20、，已知O是正六边形的中心,R4.如图所示，四边形 ABCDW ABDE都是平行四边形，则与向量AB共线的向量有;若 | AB | =1.5,则 | CE | =.5.已知四边形ABCM, AB =- DC，且| AD | = | BC | ,则四边形ABCD勺形状是.2四、解答题1 .如图，在 ABC中，已知：向量 AD = DB , DF =BE,求证：DE=AF.2 .在直角坐标系中，将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成什么图形【素质优化训练】 fc-fc- -rto-wr wr r f f1 .已知a、b是任意两个向量，下列条件：a = b；| a | = | b

21、 |；a与b的方向相反；a=0或b=0；与b都是单位向量.其中，哪些是向量 a与b共线的充分不必要条件.2 .已知ABC比等腰才!形，AB/ DQ下列各式： AB = DC ;AD =BC ;| AC | = | BD | ;| AB |丰DC | ; AB / CD .正确的式子的序号是.3 .不相等白向量a和b,有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出4 .下列各组量是不是向量 ？如果是向量，说明这些向量之间有什么关系？(1)两个三角形的面积 Si, S2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力Fi, F2;(3)某人向河对岸游泳的速度vi与水流的速度V2；(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.【生活实际运用】10某人从A点出发向西走了 10