必修二解析几何

1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程1. 直线的倾斜角(1) 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°(2) 倾斜角的范围为0 , n)2. 直线的斜率(1) 定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k = tan_a,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2) 过两点的直线的斜率公式：y2 yi y?经过两点Pl(xi, yl), P2(X2, y2)(xi工x2)的直线的斜率公式为k= _ x = XI _ X2*3.直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(X0, y0),斜

2、率为ky y0= k(x x°)不含垂直于X轴的直线斜截式斜率为k,纵截距为by= kx + b不含垂直于X轴的直线两点式过两点凶,%), (x2, 丫2),(X1 x2, y1 M y2)y y1 x X1 乂2_ yJ X2不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为 a, b(a, bM 0)x y , a_b不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax亠 By + C= 0(A B不全为0)1. 利用两点式计算斜率时易忽视xi = X2时斜率k不存在的情况.2用直线的点斜式求方程时， 在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论， 否则会造成失误.3. 直线的截

3、距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为 0时可用点斜式.4. 由一般式Ax + By + C= 0确定斜率k时易忽视判断 B是否为0,当B = 0时，k不存 在；当 BM 0 时，k= A.B基础练习1. 若直线(2m2+ m- 3)x+ (m2- m)y= 4m 1在x轴上的截距为 1,则实数 m的值是2. 过点M( 2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为.3. 直线xsin a+ y+ 2 = 0的倾斜角的取值范围是 .4. 过点(5,10)且到原点的距离是 5的直线的方程为 .例一：1.直线x+Q3y+ 1 = 0的倾斜角是.2. 若直线I的斜率为k,倾斜角为a,而a

4、n,亍月 刍5, 训 k的取值范围是3. 若过点P(1 a,1 + a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a的取值范围是4. 已知两点 M(2, 3), N( 3, 2)，直线I过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线I的斜率k的取值范围是 .5. 已知两点A(0,1), B(1,0)，若直线y= k(x+ 1)与线段AB总有公共点，则 k的取值范围是.6. 函数y= asin x bcos x的一条对称轴为x=才，则直线I: ax by+ c= 0的倾斜角为例2：根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12

5、.(3) 已知直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线I的方程：过定点A - 3,4);1斜率为6.(4) 过点M(- 3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 (5) 已知两点 A( - 1,2), B(m,3).(1) 求直线AB的方程；(2) 已知实数m -弩-1，-J， 求直线AB的倾斜角a的取值范围.变式训练5的直线方程是经过点P(- 5,- 4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为例3:与基本不等式相结合求最值问题1. 已知直线I过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于 A, B两点，0为坐 标原点.求：(1) 当|0A|+ |0B|取得最

6、小值时，直线I的方程；当|MA|2 + |MB|2取得最小值时，直线I的方程.2. 已知直线 I: kx y+ 1 + 2k= 0(k R).证明：直线I过定点；(2) 若直线I不经过第四象限，求 k的取值范围；(3) 若直线I交x轴负半轴于点 A,交y轴正半轴于点B, O为坐标原点，设 AOB的 面积为S，求S的最小值及此时直线I的方程.2. 已知直线 li： ax 2y= 2a 4, 12： 2x+ a2y= 2a2 + 4,当 0v av 2 时，直线与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a =.例4:直线方程与平面向量的综合已知直线I过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半

7、轴分别相交于A, B两点，O为坐标原点.求当|"mA mb取得最小值时，直线I的方程.第二节两直线的位置关系1. 两直线的位置关系斜截式一般式方程y= kix+ biy= ©x+ b2Aix+ Biy+ Ci= 0(A2+ B2 0)A2X+ B2y+ C2= 0(a2+0)相交ki 工 kAi B2ABi 丰 0l当A2B2M 0时，记为 丰 ) kA2 B2 丿垂直ki = k 或k2kik2= iAiA+ B i旦2= 0(当 BiB2 0时，记为 Bi B2 = i J平行ki= k2且匹工bAiB ABi= 0,戈 AiB ABi= 0,B2Ci BiC2 0Ai

8、 C2 A2Ci 0(当 A2B2C2W 0时记为 A2= B2* cJ2.几种距离两点间的距离：平面上的两点 A(xi, yi), B(x2, y2)间的距离公式d(A, B)= |AB|= xi-X2 2+ yi y?2.(2) 点到直线的距离：.、|Axi + Byi + C|点p(xi, yi)到直线I: Ax+ By + C = 0的距离d= 寸2十巳2 .两条平行线间的距离：两条平行线 Ax+ By+ Ci= 0与Ax+ By + C?= 0间的距离d= 0C.Ja + B基础练习i .已知直线3x+ 4y 3 = 0与直线6x+ my+ i4= 0平行，则它们之间的距离是 2.

9、点(2,3)关于直线x+ y+ i= 0的对称点是 .3. 已知直线I过点(i,2)且与直线2x 3y+ 4= 0垂直，则直线I的方程为 .4. 已知直线li：ax+ 3y 1= 0与直线"：2x+ (a 1)y+ 1 = 0垂直，则实数a =.5. 经过两直线li： x 2y+ 4 = 0和l2： x+ y 2 = 0的交点P,且与直线 b： 3x 4y+ 5=0垂直的直线I的方程为.典例 已知A(4, 3), B(2, 1)和直线1: 4x+ 3y 2= 0,在坐标平面内求一点 P, 使|PA|=|PB|,且点P到直线I的距离为2.与直线7x+ 24y 5 = 0平行，并且到它的

10、距离等于3的直线方程是对称冋题角度一点关于点的对称1. 过点P(0,1)作直线I使它被直线li： 2x+ y 8 = 0和I2： x 3y+ 10= 0截得的线段 被点P平分，求直线l的方程.角度二点关于线对称2. 已知直线I : 2x 3y+ 1 = 0,点A( 1 , 2)，求点A关于直线I的对称点A '的坐标.角度三线关于线对称3. 在角度二的条件下，求直线m: 3x 2y 6 = 0关于直线I的对称直线m'的方程.角度四对称问题的应用4. 光线从A( 4, - 2)点射出，到直线y= x上的B点后被直线y= x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点 线方

11、程.D( 1,6)，求BC所在的直巩固练习1. 若直线 li：ax+ 2y+ 6 = 0 与直线 l2：x+ (a 1)y+ a已知直线I经过点P(2,1)，且与直线2x+ 3y+ 1 = 0垂直，则直线I的方程是 1 = 0垂直，则实数 a =.2. 直线x 2y+ 1 = 0关于直线x= 1对称的直线方程是 .3. 已知点P(4, a)到直线4x 3y 1 = 0的距离不大于3，则a的取值范围是 .4. 已知两条直线丨1： ax by+ 4= 0, I2： (a 1)x+ y+ b= 0,求分别满足下列条件的a, b的值.(1) 直线l1过点(3, 1)，并且直线I1与I2垂直；直线I1与

12、直线I2平行，并且坐标原点到I1 , I2的距离相等.课后练习1. 若直线 I1: x+ 2y 4= 0 与 I2： mx+ (2 m)y 1 = 0 平行，则实数 m =.3. 已知直线11: y= 2x+ 3,直线l2与li关于直线y=- x对称，则直线l2的斜率为4. 若直线 y= kx+ 1与直线2x+ y 4 = 0垂直，则k=.5. 设A, B是x轴上的两点，点 P的横坐标为3,且|FA|=|PB|,若直线PA的方程为xy+ 1 = 0,则直线PB的方程是.7. 已知点A( 3, 4), B(6,3)到直线1: ax + y+ 1 = 0的距离相等，则实数 a的值为8. 在平面直角

13、坐标系 xOy中，已知点 A(0, 1), B( 3, 4).若点C在/ AOB的平分线上，且IOC |=屮0，则点C的坐标是.9. 过点(1,2)的直线I与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于 A, B两点，O为坐标原 点，当 AOB的面积最小时，直线l的方程是.圆的方程(1)学习要求1认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.知识梳理1. 以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程： .2. 圆心在原点(0,0)，半径为r时，圆的方程则为： ；3. 单位圆：;其方程为：例题解

14、析例1： (1)写出圆心为A(2, -3)，半径长为5的圆的方程，并判断点M(5,-7) , N(5,-1) 是否在这个圆上；(2) 求圆心是C(2, -3)，且经过原点的圆的方程.例2： (1)求以点A(1,2)为圆心，并且和x轴相切的圆的方程；(2) 已知两点P(4,9) , Q(6,3)，求以线段PQ为直径的圆的方程.(3) 过点(2, 1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是例3：已知隧道的截面是半径为 4 m的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当x=3时的值，

15、比较得出结论.IV3 : 1, 在例4:设圆满足(1) y轴截圆所得弦长为 满足、 的所有圆中，求圆心到直线2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为I : x 2y=0的距离最小的圆的方程.随堂练习1. 圆的方程：(1)圆心在原点，半径为 6 ;(2)经过点P(6,3)，圆心为C(2, -2).2已知圆的方程为2 2 2(x -a) (y-b)二r (r 0)，确定下述情况下a,b,r应满足的条件：(1)圆心在 y轴上： ；(2)圆与x轴相切： (3)圆心在直线 x+3y1=0上: .3.圆的内接正方形相对的两个顶点为A(5,6) , C(3, 一4)，求该圆的方程.4求过两点A(0,4) ,

16、 B(4,6)，且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程.圆的方程(2)学习要求1掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3解题过程中能分析和运用圆的几何性质.知识梳理1以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程： 2. 将(x_a)2 (y-b)2=r2展开得： 3. 形如x2 y2 Dx Ey 0的都表示圆吗？ (1) 当D2 E2 -4F 0时，方程表示以 为圆心，为半径的圆；(2)当D2 E2 -4F =0时，方程表示 ;(3)当 D2 E2 4F : 0 时，;4 圆的一般方程：注意：对于圆的一般方程特点(1) x2和y

17、2的系数相等，且都不为 0 (通常都化为1);(2) 没有xy这样的二次项；(3) 表示圆的前提条件：2 2 2 2D E -4F 0 ,通常情况下先配方配成 (x-a) (y -b)二m,通过观察 m与0的关系, 观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件D E -4F 0 例题解析例1：求过三点 0(0,0), M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.例2:设方程x2 y2(m 3)x 2(1 - 4m2) y 16m4 0，若该方程表示一个圆,求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。变式1：方程ax2 ay2 -4(a-1)x 4y = 0表示圆，求实数 a的取值范围，并求出其中半径最小的

18、圆的方程。例2：已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x 1)2 y 4上运动，求线段AB中点M的坐标(x, y)中x, y满足 的关系？并说明该关系表示什么曲线？例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB是36米，拱高0P是6米，在建造时,每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱 A>P2的长度(精确到0.01米).AOA2b随堂练习1圆的方程为x2 y2 kx 2y k0，当圆面积最大时，圆心坐标为 2. 方程- y2 2y 3表示的曲线与直线 x = 2围成的图形面积是 3已知点M是圆x2 y2 -8x6y -25 =0上任意一点，O为原点，则OM的最大值为 _ _ ，

19、最小值为 _ .4.若直线x + y_1=0与圆x2+y2_tx + 2ty+t+1=0相切，则实数t等于5.若圆x2 y2 Dx Ey F =0过点(0, 0)，(1,1)，且圆心在直线 x-y-3 = 0上, 求该圆的方程，并写出它的圆心坐标和半径.6.圆C过点A(1,2), B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为 6 求圆C的方程.7.方程(x2 y2 -25) a(2x - y -10) =0 ,求证：当取任意值时该方程表示的图形为圆, 且恒过两定点.直线与圆的位置关系学习要求1依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标;2 能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的

20、位置关系；3 理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的 对应关系；4会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；知识梳理1 直线与圆有一个交点称为 ，有两个交点称为 ，没有交点称为 2. 设圆心到直线的距离为 d，圆半径为r ,当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交.3. 直线|与圆C的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ,若方程组仅有一组解，则直线与圆 ,若方程组有两组不同的解，则直线与圆 .例题解析例1求直线4x 3y =40和圆x2 y2 =100的公共点坐标，并判断它们的位置关系.例 2.已知圆 C： (x- 1) 2+( y

21、 2) 2= 25,直线 l: (2m+1) x+ (m+1) y-7m 4=0 ( m(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点;l的方程例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y = -x的距离等于2.(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时求圆C的方程.例4：自点A（一 1,4）作圆（x-2）2 （y-3）2 =1的切线I ,求切线I的方程.分析：根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解.变式设P为圆x2 y2 =1上的动点，求点 P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值例5：求直线x - .3y 2、3 =0被圆x2 y4截得的弦长.分析： 可利用圆心距、半径、弦长

22、的一半构成直角三角形的性质解题2 2例6：已知圆C： x +y 2x+4y 4=0,是否存在斜率为1的直线I ,使I被圆C截得的弦AB 为直径的圆过原点若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由例7.如图，在平面直角坐标系 xOy中，平行于x轴且过点A(3 3, 2)的入射光线h被直线 I: y=33x反射反射光线12交y轴于B点，圆C过点A且与li, 12都相切.(1) 求I2所在直线的方程和圆 C的方程；设P, Q分别是直线I和圆C上的动点，求 PB+PQ的最小值及此时点 P的坐标.随堂练习2 21 若直线ax by =1与圆x y =1相交，则点P(a, b)与圆的位置关系是 2 22

23、过圆上一点 P(3,4)作圆x y =25的切线，该切线的方程为 3圆x2 y4x 4y 0截直线x - y -5二0所得的弦长等于 .4过M (2,4)向圆(x-1)2 (y 3)2=1引切线，求切线方程并求切线长5. 一个圆与y轴相切，在直线y=x上截得的弦长为2 - 7 ,圆心在直线x - 3y = 0上，求 该圆的方程.圆与圆的位置关系学习要求1 掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2了解用代数法研究圆的关系的优点；知识梳理1圆与圆之间有五种位置关系 2. 设两圆的半径分别为 r1,r2，圆心距为d，当时，两圆外离，当时，两圆外切，当 时，两圆相交，当时，两圆内切，当 时，两圆内

24、含.3. 思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗?例题解析例1 :判断下列两圆的位置关系：(x 2)2 (y _2)2 =1 与(x_2)2 (y -5)2 =16(2) x2 y2 6x-7=0与 x2 y2 6y-27=0例2：求过点A(0,6)且与圆C：x2 y210x100切于原点的圆的方程.例 3：已知圆 C1 : x2 y2 2x 2y8 = 0与圆C2： x2 y2 -2x 10y-24 =0相交于A,B两点.(1)求直线AB的方程；(2)求经过 A, B两点且面积最小的圆的方程；(3) 求圆心在直线 yx上，且经过 A,B两点的圆的方程.例4:若

25、动圆C与圆(x-2) 2+y2=1外切，且和直线 x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方 程随堂练习2 2 2 21.两圆 G : x y 4x-4y 7=0, C2: x y-4x-10y 13 = 0的公切线有 2若圆(x -a)2 (y -b)b2 1始终平分圆(x 1)2 (y 1)2 =4的圆周，贝U a,b应满足的关系式为2 2 2 23. 圆xy 4x -4y -1二0与圆x y 2x -13 = 0相交于P, Q两点，则直线PQ的方程为，公共弦PQ的长为. . 2 24. 已知动圆x +y 2mx4my+6m-2 =0恒过一个定点，这个定点的坐标是 .5. 求与两条平行直线

26、x 2y -1 =0和x 2y -5 =0相切，且圆心在直线3x y T = 0上 的圆的方程.圆的定点和定直线问题与综合应用一、基础练习1、l为任意实数时，直线 (m T)x (2m1)y =m -5必过定点 2 22、已知圆的方程是 x y 2ax 2(a2)y 2 =0，其中a=0,aR，则圆恒过定点 二、例题讲解：1)定点定直线的解决引例：已知圆O： x =1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ切点为Q，且满足PQ -1，求a,b满足的等量关系PA例1 :在直线2x y =0上任取一点P，从点P向圆O： x2 y1引切线，切点为 Q， 问是否存在定点 A，恒有P

27、Q二PA ?若存在，求出点 A，若不存在，说明理由。变式1:设P为O M : (x -4)2 (y -2)2 =9上任一点， 过点P向O O: x2 y1引切线,切点为Q。试探究：平面内是否存在一定点 R，使得为定值？若存在，求出定点R ,PR并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。变式2:过直线y =x 2上任一点P作O O ： x2 y1的切线，切点是 M ,N，证明：直线MN过定点，并求该定点坐标。2）圆的相交弦问题例2：已知圆的方程为x2 y2 -6x -8y = 0 ,设圆中过点（2,5）的两条弦分别为（1 ）若AB、CD分别为最长弦与最短弦，求直线 AB与CD的斜率之和；（2）求A

28、B CD的最大值（3）求四边形 ACBD的最小值例3，如图，平面直角坐标系 xOy中，.AOB和COD为两等腰直角三角形,C（a,0）（a>0）.设 AOB和COD的外接圆圆心分别为 M , N .（1 ）若0 M与直线CD相切，求直线CD的方程；AB、CD ,A(-2,0),（2）若直线AB截O N所得弦长为4，求O N的标准方 程；(3) 是否存在这样的O N,使得O N上有且只有三个点到直线 AB的距离为 2，若存在,求此时O N的标准方程；若不存在，说明理由.(四)直线、圆位置关系的综合应用例4如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点M (2,0), AB边所在直线的方程为x-3

29、y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(I) 求AD边所在直线的方程；(II) 求矩形ABCD外接圆的方程；(III )若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的方程.例 5:已知 m R,直线 l: mx (m2+ 1)y = 4m 和圆 C: x2 + y2 8x+ 4y+ 16= 0.(1) 求直线I斜率的取值范围；1直线i能否将圆c分割成弧长的比值为2的两段圆弧？为什么？例6:设0为坐标原点，曲线x2+y2+2x 6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称，又满足0P 0Q =0.(1) 求m的值；(2) 求直线PQ的方程.2

30、例7:在平面直角坐标系 xOy中，曲线y=x -6x 1与坐标轴的交点都在圆 C上(I)求圆C的方程；(H)若圆C与直线x y+a=0交于A, B两点，且以 AB为直径的圆过 Q求a的例&已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线11 : x 2y 0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交与M、N两点，Q是MN的中点，直线l与h相交于点P.（I）求圆A的方程；（II ）当MN =219时，求直线I的方程;(III )BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由直线与圆（复习课）【考纲知识梳理】、圆的方程1圆的定义(1 )在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

31、(2) 确定一个圆的要素是圆心和半径.2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程(x a)2+ (y b)2= r2(r > 0)x2 + y2+ Dx + Ey+ F = o圆心坐标(a, b)(2，-勺半径r2/D2+ E2 4F注：方程x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的充要条件是D2 + E2- 4F > 03. 点与圆的位置关系已知圆的方程为(x a)2+ (y b)2= r2，点M(x°, y°).则：(1) 点在圆上：(xo a)2+ (yo b)2= r2;(2) 点在圆外：(xo a)2+ (yo b)2> r2;(3)

32、点在圆内:(xo a)2+ (yo b)2v r2.4. 确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1 )根据题意，选择标准方程或一般方程；(2) 根据条件列出关于 a, b, r或D、E、F的方程组；(3) 解出a, b, r或D、E、F代入标准方程或一般方程.注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？(当条件中给出 的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的 是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程对于 有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析.)、直线、圆的

33、位置关系1.直线与圆的位置关系宀护¥方 位置大糸相离相切相交公共点个数o个1个2个几何特征(圆心到直线的距 离d，半径r)d> rd = rdv r代数特征(直线与圆的方程 组成的方程组)无实数 解有两组相同实 数解有两组不同实 数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解.2圆与圆的位置关系宀护¥方 位置大糸外离外切相交内切内含公共点个数o121o几何特征(圆心距d> R+ rd= R+ rR r v d v R+ rd= R rd v R rd，两圆半径R,

34、r, R> r)代数特征(两个圆 的方程组成 的方程组)无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【要点名师透析】一、圆的方程(一) 圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a, b)和半径r.2 .如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程.圆的一般方程也含 有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍 采用待定系数法. 设所求圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2 4F >0)由三个条件 得到关于D、E

35、、F的一个三元一次方程组，解方程组确定 D、E、F的值.3.以 A(xi, yi), B(x2, y2)为直径的两端点的圆的方程为(x xi)(x X2)+ (y yi)(y y2)= 0.注：在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2) 圆心在任一弦的中垂直上；(3 )两圆内或外切时，切点与两圆圆心三点共线.例题解析例求与x轴相切，圆心在直线 3x y= 0上，且被直线x y= 0截得的弦长为2叩的圆 的方程.思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐.(二) 与圆有关的最值问题相关链接1 .求与圆有关的最值问题多采用几

36、何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转v b化.如(1)形如m= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t = ax +x aby的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；(3)形如m = (x a) 求轨迹方程的一般步骤：(1)建系：设动点坐标为(x, y)； (2)列出几何等式；(3)用坐标表示得到方程;(4) 化简方程；(5)除去不合题意的点，作答.+ (y b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题.2特别要记住下面两个代数式的几何意义：V表示点(x, y)与原点(0, 0)连线的直线斜率，x2+ y2表示点(x, y)与原点的距离.例题解析例已知实数

37、x、y满足方程x2 + y2 4x+ 1 = 0.(1 )求丫的最大值和最小值；x(2 )求y x的最大值和最小值；(3 )求x2 + y2的最大值和最小值.练：点P在圆O: x2+ y2= 1上运动，点 Q在圆C: (x 3)2 + y2= 1上运动，则PQ的最 小值为 . 1(三) 与圆有关的轨迹问题相关链接1. 解决轨迹问题，应注意以下几点：(1) 求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则 曲线就不可转化为方程.(2) 一般地，设点时，将动点坐标设为(x, y)，其他与此相关的点设为(xo, y°)等.(3) 求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程

38、得出方程即可，而求轨迹在得出方 程后还要指出方程的曲线是什么图形.例题解析例设定点M（ 3, 4）,动点N在圆x2 + y2= 4上运动，以0M、ON为两边 作平行四边形 MONP，求点P的轨迹.思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求.例.如图，圆Oi和圆02的半径都等于1，0i02 = 4,过动点P分别作圆01、02的切 线PM、PN（M、N为切点），使得PM = 2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点 P的轨 迹方程.练：等腰三角形的顶点是 A（4，2），底边一个端点是 B（3，5），求另一个端点 C的轨迹方程, 并说明它的轨

39、迹是什么.、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系相关链接直线和圆的位置关系的判定有两种方法(1) 第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化 为一元二次方程，再利用判别式"来讨论位置关系，即 > 0：=直线与圆相交； = 0=直线与圆相切； < 0=直线与圆相离.(2) 第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即 d< r：=直线与圆相交；d> r=直线与圆相切；d= r=直线与圆相离.例题解析例若圆x2 + y2- 4x 4y 10= 0上至少有三个不同的点到直线I: ax+ by= 0的距离为2 2

40、，求直线I倾斜角的取值范围.1 例 已知圆 x2 + y2 6mx 2(m 1)y+ 10m2 2m 24= 0(m R).(1) 求证：不论 m为何值，圆心在同一直线 I上；(2 )与I平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3 )求证：任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.(二) 圆与圆的位置关系相关链接1. 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系, 一般不采用代数法；2. 若两圆相交，则两圆公式弦所 在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2, y2项即 可得到；3. 两圆公切线的条数(如下图)(1) 两圆内含时，公切线条数为0;(2) 两圆

41、内切时，公切线条数为1;(3) 两圆相交时，公切线条数为2;(4) 两圆外切时，公切线条数为3;(5) 两圆相离时，公切线条数为4.因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也 可以判断出两圆的位置关系.例题解析例 已知点P(-2, 3)和以点Q为圆心的圆(x 4)2 + (y- 2)2= 9.(1) Q为PQ中点，画出以PQ为直径，Q为圆心的圆，再求出它的方程；(2) 作出以Q为圆心的圆和以 Q为圆心的圆的两个交点 A, B.直线PA, PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3) 求直线AB的方程.注：圆 Ci: x2 + y2 + Dix+ Eiy+ F

42、i = 0,圆 C2： x2 + y2 + D2X+ E2y+ F2= 0，若圆 C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为(x2 + y2 + Dix + Eiy+ Fi)+心2+ y2+ D?x+ E2y + F2)=0(入 R且 将一i).它表示除圆 C2以外的所有经过两圆 Ci、C2公共点的圆.(三) 圆的切线及弦长问题相关链接i求圆的切线的方法(1)求圆的切线方程一般有两种方法： 代数法：设切线方程为 y yi = k(x xi)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式厶=0进而求得k. 几何法：设切线方程为 y yi= k(x xi)利用点到直线的距离公式表示出圆

43、心到切线 的距离d，然后令d= r，进而求出k.两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选.注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况.(2)若点M(xo, y°)在圆x2+ y"= r2上，贝U M点的圆的切线方程为 Xox+ y°y= r2.2圆的弦长的求法解方程组(1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为d,弦长为L,则g)2= r2 d2. (2 )代数法：设直线与圆相交于Ag , yi) , B(x2 , y2)两点，.222，消丫后得关于x的一元二次方程，从而求得xi + X2,(x-xo)(y-yo)二r长为：AB=

44、 .(i + k2)( xi + X2)2 4xi 的为直线斜率).过原点0作圆x2 + y2 6x 8y+ 20= 0的两条切线，设切点分别为P、Xi x2,则弦Q,则线段PQ的长为(四)直线、圆位置关系的综合应用1例如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点 M(2, 0), AB边所在直线的方程为 x 3y 6 = 0,点T( 1, 1)在AD边所在直线上.(I)求AD边所在直线的方程；(II)求矩形ABCD外接圆的方程；(III )若动圆P过点N( 2, 0)，且与矩形 ABCD1的外接圆外切，求动圆P的圆心的方程.cA-V 5J1【感悟高考真题】2 21若直线3x+ y+ a= 0过圆x

45、 + y + 2x 4y= 0的圆心，贝V a= .2. 若曲线 Ci： x2 + y2 2x= 0与曲线 C2： y(y mx m)= 0有四个不同的交点，则实数 m的取值范围是 .3. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线y= x2 6x+ 1与坐标轴的交点都在圆 C上(I)求圆C的方程；(H)若圆 C与直线x y + a= 0交于A, B两点，且 0A丄0B ,求a的值.【考点精题精练】一、填空题1 .经过圆C: (x+ 1)2 + (y 2)2= 4的圆心且斜率为1的直线方程为 .2. 已知圆C与圆(x i)2+ y2= 1关于直线y = x对称，则圆C的方程为 .3. 直线ax+ y+

46、1 = 0与圆(x 1)2+ / = 1相切，则a的值为 .4. 已知圆的方程为 x2 + y2 6x 8y= 0,设圆中过点(2, 5)的最长弦与最短弦分别为AC、BD，则四边形 ABCD的面积为 .5. 若直线y= kx+ 1与圆x2 + y2= 1相交于P、Q两点，且/ POQ = 120°其中O为原点),则k的值为 .6. 已知点 P(x, y)是直线 kx+ y + 4= 0(k > 0)上一动点，PA、PB 是圆 C: x2 + y2 2y = 0 的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 .7. 已知圆的半径为 2,圆心在x轴的正半轴上

47、，且与直线3x+ 4y+ 4 = 0相切，则圆的方程是 .&若圆(x a)2 + (y b)2= b2+ 1始终平分圆(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4的周长，则实数 a, b应满 足的关系是.9. 已知直线l :ax+ by+ c= 0与圆O：x2+ y2= 1相交于A、B两点，丨AB | = 3，则OA Ob10. 在平面直角坐标系 xOy中，若曲线x=p4 y2与直线x= m有且只有一个公共点, 则实数m=.二、解答题11. 已知圆 M : x2 + (y 2)2= 1 , Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆 M于A, B两点.(1)若点Q的坐标为(1, 0)，求切线QA、

48、QB的方程；(2) 求四边形QAMB的面积的最小值；(3) 若AB =孚，求直线MQ的方程.312. 已知圆C: (x+ 2)2+ y2= 4,相互垂直的两条直线 li、I2都过点A(a, 0).(I)若li> I2都和圆C相切，求直线h、I2的方程；(H)当a = 2时，若圆心为 M(1, m)的圆和圆C外切且与直线li> I2都相切，求圆 M 的方程；(川)当a=- 1时，求li> I2被圆C所截得弦长之和的最大值.课后作业1. L C : (x 4)2(2)9的圆心坐标与半径分别为 2圆(x -3)2 (y 2)2 =13的周长和面积分别为 3若点(1,2)在圆(x -

49、2)2 (y 1)2二m的内部，则实数m的取值范围是 4若L C过点(1,2)和(2,3)，则下列直线中一定经过该圆圆心的是 5圆心为(3,-4)且与直线3x-4y-5=0相切的圆的方程为 课外作业1圆x2 y224y 0的圆心坐标和半径分别为 2如果圆x2 y2 Dx Ey F =0关于直线y = 2x对称，则 3 若方程x y -2kx 4 ky 5 k 2 k 1 =0表示一个圆，则常数k的取值范围是4 若圆x2 y2 - 2x 4my 3m2二0的圆心在直线x y 0上，则该圆的半径等于课外作业1 .直线x y '1=0与圆x2 y4x 2y 0的位置关系为 2圆x2 y2 2

50、x 40到直线x y 0的距离为 2的点共有3圆x2 y2 -4x 2y F =0与y轴交于 代B两点，圆心为C，若.ACB =90，则F的值是2 24. 与直线y = x 3垂直，且与圆x y8相切的直线方程是 5. 自点A( 3, 3)发出的光线I经x轴反射，其反射光线与圆(x-2)2+(y-2)2=1相切，求光线 I所在的直线方程。课外作业2 2 2 21圆 x y -2x，2y-2=0 与圆 x y -6x -8y - 24 = 0 的位置关系是 2 22. 已知半径为1的动圆与圆(x-5) (y 7) =16相切，则动圆圆心的轨迹方程(动圆圆 心坐标所满足的关系式)为3 .若圆x2，

51、y2=4和圆(x 2)2 (y-2)2 =4关于直线I对称，则I的方程为.2 24.求经过点 A(4, -1)，且与圆C : x y2x-6y5=0相切于点B(1,2)的圆的方程.课后作业：1:过点P分别作O O! : x2 y2 =1与O O2 : (x-2)2 (y-3)2 =2切线，切点分别为M,N, 若有PM二PN，证明点P在一定直线上，并求此直线方程。2 22. 已知圆 C: x + y + 2x 4y+ 3 = 0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；从圆C外一点P(xi, yi)向该圆引一条切线，切点为 M , 0为坐标原点，且有|PM| =|P0|，求使得|P

52、M|取得最小值的点 P的坐标.3. 已知曲线 C： y= , 1 x2与直线I： y = 2x+ k,当k为何值时，I与C:有一个公共点; 有两个公共点；没有公共点.椭圆及其标准方程一、学习目标：1. 理解并掌握椭圆的定义；2. 能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；3. 初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法二、学习重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想难点：运用椭圆的定义与其标准方程解决问题三、学习过程分析1、椭圆定义的回顾椭圆定义中，平面内动点与两个定点Fi,F2的距离之和等于常数，当这个常数大于|FiF2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于 FF2|时，动点的轨迹是 ；当这个常数小于IRF2I时，动点 2、椭圆的标准方程当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。1 )当椭圆的焦点在 x轴上时，椭圆的标准方程为 ,2 2 2其中焦点坐标为Fi(c,O) , Fi( -c,0)，且a = b c；2)当椭圆的焦点在 y轴上时，椭圆的标准方程为 ,其中焦点坐标为F1(O,c) , FjO-c)，且a2 = b