对数学活动中形象思维的思考

1、对数学活动中形象思维的思考攀枝花市十五中 朱国民 摘要：数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体思维过程包括抽象逻辑思维过程和形象思维过程，形象思维 是从具体感知到抽象逻辑思维的过渡和桥梁数学形象思维是以表象或形象作为思维的重要材料，以感性认识为基础，但又高于感性认识，其高层次之一是数形结合 数学形象思维是不能完全脱离数学抽象逻辑思维的，它需要由抽象逻辑思维来把握与延续 关键词：想象 形象思维 抽象逻辑思维 数形结合 “数学”这个术语可以表示一种思维活动，即数学活动本文涉及到的数学教学是指数学活动的教学 所谓形象思维，简单地说，就是人脑凭借形象进行的思维 一 数学极其抽象，难道在这个抽象

2、思维的王国里也需要形象思维充当他的使臣吗？ 事实的确如此，在数学发现活动中，抽象逻辑思维和形象思维常常是同时存在，相互作用的，当年笛卡儿（1596-1650）发明解析几何就是借助于形象思维，他借助曲线上“点的运动”这一想象得到“变量”概念和坐标系，把抽象的方程展示为直观的平面图形，希尔伯特（1862-1943）在他的名著直观几何一书的序言中写到：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向，一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的、有条理的处理另一种是直观的倾向，即更直接的掌握所研究的对象，侧重他们之间的关系的具体意义，也可以说领

3、会他们的生动的形象”并且认为“具体的直观”“对于研究工作有巨大的价值”希尔伯特所指出的在数学活动中抽象的和直观的两种倾向，是抽象逻辑思维和形象思维在数学认识方法上的表象和反映在数学教学中，根据数学研究的特点，在培养学生的思维能力方面，重要的当然是抽象逻辑思维能力的培养但是，钟善基教授认为：“即使在抽象思维的过程中，也常配合着抽象概念所反映的对象的个别具体形象进行观察，才容易获得结果更何况抽象的概念、关系的获得又常来自对所反映的对象的形象的观察因此，凭借着事物的具体形象来进行思维的过程，也是研究数学中不可以少的过程这就是通常所说的形象思维的过程这样，在数学教学中，对于学生的形象思维能力的培养，也

4、是培养他们思维能力的又一个重要方面”这个论断是十分中肯的我们不妨把数学活动中的形象思维称之为数学形象思维同样，我们把数学活动中的抽象逻辑思维和直觉思维分别称之为数学抽象逻辑思维和数学直觉思维 二 数学形象思维是从具体感知到数学抽象逻辑思维的过渡和桥梁 1、数学形象思维是以表象或形象作为思维的重要材料在数学中，各种实物（比如教室中的门、地面、天花板、墙壁、以及上述两者的交线，天花板上垂直挂着的电灯线等）、符号、直观数据、立体几何模型、挂图、几何图形、函数图象等所产生的表现象均可认为是数学表象甚至在引入一般性结论的过程的开始阶段所采用的特殊情况的实例，也可以认为是一种数学表象比如，在得出同底数幂相

5、乘法则过程的第一步，就可运用实例做为具体形象：8384 = 87 8384 = 83+4 这些数学表象始终保留着事物的直观性，或者是实际形象、或者是具体形象数学形象思维就是凭借这些鲜明生动的形象来充作从具体感知到数学抽象逻辑思维的过渡和桥梁的 2、数学形象思维以感性认识为基础，但又高于感性认识其思维材料所具有的形象一般不是初级形象，而是通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象例如，“圆”这个数学名词所依托的数学形象，是车轮、圆环、圆盘等实际形象的概括，不仅组成图形的点、线已是从具体的点和线中以纯粹的方式抽象出来的，即理想化了，而且可以由此理解他表达的理想（

6、抽象关系）是：“圆上各点到中心的距离都是相等的”在表达这种理想时，教师为了增强直观性，往往用一根定长的绳子，一端用左手固定在黑板上，另一端用右手与粉笔捏在一起在黑板上面画一周，于是很形象得出圆的定义：“一动点到一定点的距离等于定长的点的集合”这样，形象支持词，词又唤起形象，联系词与定义的中间环节便是理想形象 3、形象思维的高层次是艺术思维，数学形象思维作为数学思维与形象思维的交集，一般不是数学思维的最高层次，而往往是数学抽象逻辑思维的前提直观化，便是凭借数学形象思维从具体形象上升到抽象结论的辅助手段直观化的过程，既是形成抽象结论的开始阶段，又是数学形象思维的过程，因而有利于数学形象思维的发展（

7、同样，数学直觉思维又必须以数学抽象逻辑思维和数学形象思维为前提在数学抽象逻辑思维到数学直觉思维也有直观化问题，即必有形象思维问题） （1）直观化的形式之一：恰当地使用直观教具 例如，在平面几何入门教学中，在线段、射线、直线一节里，课本从学生所熟悉的实例出发，描述性地抽象出线段的形象，然后再引进抽象的射线和直线的概念学生对线段的概念容易理解，但对射线和直线两个概念却难以理解，其主要障碍是“无限延伸”的意义，这是学生第一次遇到的有经验的教师，常常是借助线段的形象，对射线和直线做如下解释：把直尺摆在线段所在的位置上，向一方或向两方延伸，要多长就多长,不受限制这样，便形象地帮助学生弄清了线段与射线、直

8、线之间的本质区别，即有限与无限又例如，在立体几何教学中，引导学生对立体模型的观察或对教室中线与线、线与面、面与面位置关系的观察比如，用教室门各个旋转面与地面垂直为例引入面面垂直判定定理；利用照相机的三角架引入“不在同一直线上的三点确定一平面”的几何公理在平面解析几何课中，利用直观教具的演示引入椭圆、双曲线、抛物线的定义在代数课中，用杨辉三角引入二项式定理的证明；列方程解有关行程、配比工作量等方面的应用题时，用画线段来表示有关的数量关系等等 （2）直观化的形式之二：数形结合 数形结合能使较为抽象的数量关系通过几何图形的性质反映出来，使抽象的概念、关系得以形象化，从而有利于分析、发现和理解数形结合

9、还是数学中的重要思想方法，在解某些数学题时往往能用形的直观来启迪数的计算，用数的准确来澄清形的模糊加强数形结合的训练 ，无疑有助于教学形象思维的发展例1 ：椭圆c方程为 + = 1,确定m的取值范围，使对于直线l:y=3x+m,c上有两点关于该直线对称 分析： 这类对称问题常用判别式法求解，但计算太繁若适当利用图形这个具体形象，则由于几何意义清晰，为由数学形象思维过渡到数学抽象逻辑思维准备了良好条件，计算就容易多了 解：设c上两点P1（x1,y1）、P2(x2,y2)关于直线l对称，显然中点M（x,y）在l上，且斜率k= - 2(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0 2 2x+3 2y (- )=0 2x-y=0联立 得M（-m,-2m）中点M在椭圆C的内部 + 1m (- , )说明：上述解法的关键是最后一步，即由形到数 例2：x，y满足25x29(y 2)2225， 求函数t = 的值域分析：如图，由题设可知，动点p(x，y)在椭圆 += 1 内部(包括边界)，在直角坐标系中取定点C(0，-5)，由图可知，t可以看作是点p与点C的距离当点p与椭圆的上顶点B2重合时，t取得最大值12；当点p与椭圆的下顶点Bl重合时，t取得最小值2故原函数的值域