实变函数论课后答案

1、实变函数论课后答案第五章2第五章第二节习题1 设，在上可测且几乎处处有限，证明：在上可积的充要条件是证明 在上可积在上可积，显然可测（由可测）若，则则从知。反过来，若，则所以此时，可积，从而可积。证毕2 证明，分别在和上不可积。证明 显然在上连续，从而非负可测。（P142 Th2）（积分不分开区间还是闭区间）所以在上不可积。（P142 Th1 可积于也可积于）则在上不可积。令知则在上不可积。3.设在意义下的广义积分是绝对收敛的，证明在上可积，且证明 1）在上可测。事实上，在上广义可积充分大，在上可积,故在上有界，且可积。由P156Th8 在上几乎处处连续，且可测（P157： 于，为简单函数，可

2、测）由的任意性，知在上可测 于2）在上可积。我们只用证。 充分大，由作为广义绝对收敛，知在 上（有界）可积，且由1）已知在上可测，从而也可测于，再由P142定理已知在上可积知在上可积且且令则于。，由Levi定理则则在上可积。3）从（前已证）只用证，于。由控制收敛定理，知4.设，证明如果，都是上的可积函数，且在上一致收敛于，则也在上可积且证明 从于，知，则可测于另一方面(1)事实上，若（a）,则显然（1）成立。若（b），则故（1）成立若（c），则若（d），则（1）成立。由（1）和于知（2）同理（3）故于由准则知， ， ，（由）则所以存在且有限。由引理和（2）（3）知故在上非负可积，从而有在上可积

3、。从于知 ， ，当时有则时则5.设F是一族在上可积的函数证明F是积分等度绝对连续的充分条件是对任意，都有使证明 设，则若F是等度绝对连续，则 ， ，使得当可测集且时，有对上述和存在，使，故，可积，故故，故得证。反过来，若 ，使，则 ，使令则当可测集，且时，可积，故于是积分等度绝对连续。6.证明证明 显然在上非负连续，从而非负可测。故存在（有限或正无穷）。又时，在上非负可测，由基本定理，令，则非负可测，单调上升（关于！）且故由定理（因为在上连续，P142Th2）则综上有结论（1）得证注意上面的论证，固然也可用本节练习3的结论先验证广义积分绝对收敛，从而有但交换顺序导致不方便，还是要用基本定理，反

4、而多了一道手续（2）则显然时，收敛，故 绝对收敛于注意时， 是正项级数。而时，是上的可积函数。由基本定理由控制收敛定理则（用分部积分法或用）则为求，考虑在上的付里叶展式设则则由于充分光滑，故（由，）即则证毕。7.证明证明 令，则非负连续于，当时（当）当时（若）令则对一切有在和上分别非负可测。从P104定理4知在上广义绝对可积知在上可积，由控制收敛定理知（定理）第二问题的解：令则当时则在时是的增函数。又显然则于上，从而于上。所以在上单调递减，当时，令，则于若在上可积，由控制收敛定理可得若在上可积，从非负可测，非负可测，由引理知8.设都是上的可测函数证明 在上几乎处处绝对收敛，其和函数在上可积，并

5、且证明 可测，则简单非负可测（P107Th7）故由基本定理和本题条件故在上可积，由P144定理3 于即在上几乎处处绝对收敛。又也为上可测函数，故由P145 定理4故在可积，由P142定理2知在上可积令则，而，而可积由控制收敛定理证毕15.利用引理给出情况下的控制收敛定理的一个更直接初等的证明。证明 设存在非负可积函数使于 则从于知 于故于则于，令则在上非负可测，且于由引理由在上非负可积知则则则所以得证注实际上证了于且在书上要求实际上只用对几乎处处有上式即可。14.设在上可积，是的一串收敛的可测子集，证明证明 令则从可测，可积知，是上可测函数，由P11习题6的结论另一方面则于上另一方面由条件可积

6、于故由控制收敛定理证毕11.设当时是在上可积的函数（这里是有界闭区间）且有常数使证明证明 使，则充分大时故由条件，在上可积在上可积且又由中值定理则 由控制收敛定理即由的任意性知序列极限与函数极限的关系知证毕9.将中全体有理数排成序列，证明是在上几乎处处收敛的。证明 显然，是上的可测函数且是上的非负可测函数，也是上的非负可测函数。由基本定理故故几乎处处收敛。10.设，证明在上的充要条件是证明 先设则子列则从于和有P154有界收敛定理知反过来，若，由于在上单调增加故时，令则则故于上12.证明：若在上可积，则对任意都有上的连续函数使如果还是有界的，则上述还可以要求是的多项式。证明 ，在上可积都在上可积。若本题结论对非负的成立，则对一般也成立。事实上，若结论对成立，则，使，令， 则故结论成立。下面假设，在上可积，则由非负可测函数积分的定义（P131）则，使，这个有界可测函数满足从知则，几乎处处有限于，由P116Th2（Lusin定理的另一形式，可不要求）闭集和，使（1）时，（2