差分方程Z变换

1、第3章 线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 递推解B 古典解C Z变换求解3.2 Z变换3.2.1Z变换的定义3.2.2Z变换的性质3.2.3Z反变换A 长除法B 留数法C 部分分式法3.3 离散时间系统的Z域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应3.4 Z传递函数及其求法3.4.1Z传递函数的定义 3.4.2离散系统的运算3.4.3由G(s)求G(z)连续时间系统的离散化A 对G(s)的讨论B 对离散化方法的评价C 留数法D 直接代换法E 系统等效法冲击响应不变法；F 系统等效法阶跃响应不变法G 部分分式

2、法3.4.4离散化方法小结3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 (2.1)或写成上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当）以及此前若干个输入和输出值有关。推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励

3、和内部状态共同作用的“积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有mn。当m=n时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；当m<n时，表明当前时刻的输入不会直接影响当前时刻的输出；当前时刻的输入对输出的影响会延时“n-m”拍。差分方程也可以写成降序方式式(2.1)中各项序号均减n(2.2)在降序方式中的n和m与升序方式中的n和m的含义不完全相同，因而对n和m并无限制。在降序方式中，当b00时，相当于升序方式中m=n的情况。此时“当前时刻的响应与当前时刻的输入有关”。升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件

4、。降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。3.1.2 差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项；分别由古典法求其零输入解yzi(k)、零状态解yzs(k)，以及全解y(k)。给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u(k) 和初始条件，来求得其输出序列y(k)，一般有三种方法。 A. 递推解（迭代解）对式(2.1)差分方程可以写成显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。但是，式(2.1)差分方程中的n个初始条件x(0)，x(10)， x(n-1)仅仅是指“零输入初始条件

5、”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。上例已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解yzi(k)；可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解yzs(k)；以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B. 古典解法1) 零输入解在式(2.1)中令输入为零，即u(k)=0，k0，则得齐次方程 (2.3)类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p，对差分方程定义一个移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以表示成以多项式A(d)存

6、在n个单根为例，即 ，则有零输入解yzi(k)的“通解”式为(2.5)其中C1, C2, ., Cn是由n个（另输入）初始条件决定的n个待定常数。设给定初始条件为 y(i)=yi ，i=0，1，n-1，分别代人上式可得 (2.6)可简记为矩阵方式以n个单根为例，矩阵D一定可逆。于是可得待定常数为当A(d)存在重根时，亦可得相应结果，不再赘述。上例求得零输入解yzi(k)。2) 零状态解当“零输入初始状态”为零时，为求得式(2.1)在任意输入u(k)激励下的“零状态响应”yzs(k)，首先考虑单位脉冲激励u(k)=d(k)的特殊情况，此时的系统响应为单位脉冲响应，记为h(k)，式(2.1)成为可

7、写成如下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，-2，-1，0，可求得前面n+1个点的结果，当m<n时，h(0)=h0=0当k>0时，在式(2.7)中恒有k+m-i>0，即恒有d(k+m-i)=0，此时式(2.7)又成为一个齐次方程，等价为(2.8)上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑h(0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列h(k)，k0。对于一个一般的输入序列u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以写成按照线性系统的迭加原理，d(k-1)所激励的响应为h(k-i)1(k-i)，i=0，1，于是可得u(k)激励下的响应为 (2.9)称为和的“卷和”。

8、显然，卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式。卷和计算例上例求得零状态解yzsi(k)。3) 全解1) 和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z变换解法后面再讲3.2 Z变换3.2.1 Z变换的定义Z变换是对离散序列定义的，设有则的Z变换定义为（单边）罗朗级数 (2.10)z Z变换域变量d 增序算子两者在数字上具有完全相同的表现形式，但意义却不同，不能混淆。就像s S变换域（拉氏变换）变量p 微分算子二者表现形式相同，但意义截然不同为什么要定义Z变换？Z变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式；L变换把连续时间信号变换成有理分式；便于利用代数学的某些

9、结论进行简单处理。Z变换的另一种“定义”对于时域信号y(t)=f(t)，采样得离散信号y*(t)记得第1章中讨论过y*(t)和y*(k)的（冲量的）等价性，取其拉氏变换，得(2.11)再令 ！(2.12)即得，二者的结果是一致的。但是，二者有两点区别， 前者是对y(k)定义的，后者是对y*(t)定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于首先熟悉了Laplace变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。 前者在数学上是严格的；而后者中的式(2.11)容易使得误解z和s之间的关系。实时上z和s之间并没有式(2.11)所示的关系，仅仅是有时同一个被控对象的Z变换传递函数和L变换传递函数

10、的特征根具有那个关系。3.2.2 Z变换的性质A. 在简单的情况下，可直接按定义求得y(k)的Z变换Y(z)。(2.13)(2.14)(2.15)做为线性离散系统的Z变换，它有许多与L变换类似的性质，不同的是按照Z变换的定义，这些性质更容易被证明一些。B. 线性迭加性质：已知，下同。按定义可得， (2.16)C. 增序性质：（对应于L变换的微分性质）设g(k)=f(k+n)，k0， 为什么？(2.17)（令i=j+n）注意两点：一是为什么要减去前面几项？因为按照定义g(k)中没有这几项！二是与L变换的微分性质相比，形式上多了一个“z”。D. 减序性质：（对应于L变换的积分性质）设g(k)=f(

11、k-n)，k0， 为什么？（令i -n =j）(2.18)为什么第一项没啦？因为按照定义f(k)中的这几项为零！E. 卷和性质：（对应于L变换的卷积性质）(2.19)F. 初值性质：(2.20)证明：按照Z变换的定义。G. 终值性质：(2.21)当f(k)不收敛（F(z)中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！证明：同令z1得，其它略3.2.3 Z反变换已知F(z)有理分式，求f(k)使得，记为(2.22)A. 长除法罗朗级数展开如果F(z)是有理分式，必可展开为罗朗级数，如果F(z)是真有理分式，必可展开为（单边）罗朗级数（有始函数），即有 f(k)，k0如果F(z)是严格真有理分式，则一定

12、有f(0)=0。例，B. 留数法在实时离散控制系统中有f(k)，k0,则一定有按照复变函数的留数理论，考虑如下围线（逆时针包围含全部极点）积分，留数是如何定义的？称为的留数于是有(2.23)即在其所有极点zi，i=1，2，n，处的留数之和。按照留数计算规则，若z0是F(z)的单重极点则有若z0是F(z)的m重极点,则有C. 部分分式法留数法的特例一般都是直接查表部分分式法是应用留数法得到的一些易于实际应用的特例情况，设F(z)有n个单重根z1，zn，则可以写成部分分式形式 (2.24)按照迭加原理，我们可以求得其中每一项的Z反变换，即按式(2.23)有，(2.25)正是所希望的结果。3.3 离

13、散时间系统的Z域分析利用Z变换求解差分方程。3.3.1 零输入响应对式（2.1）所示差分方程，当输入u(k)=0, k0时，成为齐次方程,y(0)=y0，y(1)=y1，.，y(n-1)=yn-1应用Z变换的增序性质，并注意给定的零输入初始条件，得整理可得于是可得式(2.1)的零输入响应为3.3.2 零状态响应设式(2.1)所示系统在没有输入激励时，其内部初始能量积累为零，即所谓零状态，此时不考虑初始条件对式2.1的两边同时进行Z变换，可得定义 (2.26)称为离散动态系统式(2.1)的Z传递函数，则上式可写成则有按照卷和定理其中g(k)是什么，以及如何求得g(k)？设u(k)=(k)是一个单

14、位脉冲函数，已知，U(z)=Z(k)=1，即可得系统对u(k)=(k)的零状态响应，称为单位脉冲响应，并记为h(k), k0，并有现在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零状态响应，主要有两种方法。Z域法： 时域法：3.3.3 完全响应对式（2.1）求Z变换时，同时考虑初始条件，即可得系统的完全响应，与分别求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即： (2.27)几点说明：在求零状态响应时，显然零状态解yzs(k)的初始n个值并不一定为零，零状态仅仅是说当输入为零时，系统初值为零。求零状态响应时，对式(2.1)两边求Z变换时，此时的yzs(k)与u(k)都是有初值的，因此亦应考虑增

15、序性质时的初值，但是在整理时两边的初值正好相互抵消，因此在求零状态响应时的Z变换时，可以不考虑初值。在求完全响应时，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效应必然由u(k)的初值效应所抵消，因此只考虑系统的零输入初值。例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2。试由Z变换法求其全解。3.4 Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义定义一个离散时间被控对象的动态特性，或连续时间对象的离散控制动态特性。由输入-输出序列Z变换之比来定义。传递函数描述一个动态系统的输入输出稳态传递特性（稳态的含义是不包含初始条件的影响）。图2.1 离散时间被控对象传递函数的定义Y

16、(z) y(k)u(k)U(z)离散时间系统G(z)A 对于离散时间系统比如这个离散时间系统原来是由差分方程描述的。对于式(2.1)描述的差分方程， (2.1)根据Z变换的性质，两边求Z变换（不考虑初始条件），并化简可得(2.28)如果差分方程是由式2.2描述的，(2.2)则同理可得(2.29)当nm时，与式(2.28)相同注意：2） 为什么上二式求Z变换时不考虑初始条件？传递函数只描述稳态特性，与初始条件无关！3） 式(2.28)和(2.29)称为有理分式；n<m时称为（假）有理分式，反时间因果律，离散时间系统中不存在；nm时称为真有理分式，输入-输出有直通分量；n>m时称为严格

17、真有理分式，输入-输出至少延时一拍。B 对于一个连续时间的采样控制系统离散时间系统G(z)y(k)u(k)连续时间系统G(s)图2 采样控制的连续时间系统的离散时间传递函数s)和G(z)表示不同的函数关系。ZOH对于一个连续时间系统，对其进行离散时间控制时前面必须加一个零阶保持器（ZOH）。只有对其输入和输出采样得到响应的输入-输出离散时间序列时，才能对其定义Z传递函数。3.4.2 离散系统的运算流图化简，与连续时间系统完全相同。A 串联图4离散时间系统的并联G1(z)G2(z)Gn(z)G(z)图3离散时间系统的串联。B 并联图5离散时间反馈系统C 反馈系统对于任意的复杂系统，可由梅森公式求

18、得。3.4.3 由G(s)求G(z)连续时间系统（或信号）的离散化A 对G(s)的讨论一般来说，G(s)的含义可能有以下三种情况：1) G(s)为时域信号g(t)的Laplace变换此时，应该由G(s)求的g(t)，对g(t)离散化得g(k)，最后再求G(z)。2) G(s)为控制器的传递函数它只是一个数字模型G(s)既可以由连续时间系统（模拟）实现，输入输出为连续时间变量；G(s)也可以由离散时间系统（数字）实现、输入输出为离散时间变量；此时，对G(s)直接离散化即可，不需要ZOH。3) G(s)是一个（连续时间）被控对象离散化后的输入时离散时间的，但是G(s)只能接受连续时间激励信号，因此

19、必须在输入端需增设一个保持器（例如零阶保持器ZOH），将离散序列转化为连续时间函数。G(s)的输出一定是连续时间函数，需对其进行采样。图6对连续时间被控对象的离散化B 对离散化方法的评价离散化方法不是唯一的，它们各有其特点和适用范围。因而需要对离散化方法建立评价指标体系。对信号的离散化结果应该是唯一的，严格的。就是说在采样点上的取值严格等于原函数。对调节器传递函数G(s)的离散化结果G(z)，应与G(s)的频率特相一致。这时会因所用方法的不同而有差异。对被控对象传递函数G(s)的离散化结果G(z)，在不同情况下有不同的要求，后面会详细讨论。这时也会因方法的不同而有差异。评价一个离散化方法，大概

20、有如下5项指标。但是在不同的应用场合有不同的要求。1) 易操作性。2) 从S平面到Z平面的映射关系。包括映射的单值性和稳定性的遗传性。3) 频率特性畸变。指G(z)的频率特性与G(s)的频率特的一致性。4) 稳态增益畸变。指G(z)的稳态增益与G(s)的稳态增益的一致性。5) 时域（采样点）响应的一致性。指在采样点上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留数法适用于G(s)为时域信号g(t)的Laplace变换的情况。这时， G(z)和G(s) 在采样点上的取值是完全一致的。 按定义 带入g(t) 交换求和求积分的顺序 级数和的闭式按留数定理即可得，(2.30)D 直接代换法 操作简单，但却有误

21、差。直接代换法既适用于对控制器的离散化，亦适用于对被控对象的离散化。但是不适用于对信号的离散化（在采样点上取值不严格）。使用直接代换法对被控对象离散化时，一方面物理上需要引入ZOH，两一方面代换是并不包括ZOH。直接代换法有很多种，下面介绍常用的几种。1) 后向差分法设连续时间描述为：用差分代替微分，采样周期取为T，（为什么叫“后向”差分？）比较G(s)和G(z)，可得代换式，(2.31)S®z映射关系：单值一一对应S平面上左半平面稳定域 ÜÞ Z平面上单位圆内正实轴上小圆G(s)稳定 Þ G(z)稳定图7后向差分法的稳定性遗传显然稳定性的遗传不是可逆的

22、，但“S稳定”Þ “z稳定”，因此常被采用。（S平面上除了aef小圆外，所有的s映射到Z平面都是稳定的）频轴畸变较大。稳态增益无畸变。即：不能保证时域（采样点）响应的一致性。2) 前向差分法连续时间系统描述为 用差分代替微分 （为什么叫“后向”差分？）比较G(s)和G(z)，可得代换式，(2.32)S到z映射关系：单值一一对应。事实上就是一个平移。图8前向差分法的稳定性遗传G(s)稳定 G (z) 稳定显然，G(s)稳定很难保证G (z)是稳定的，固很少采用。频轴畸变较大。稳态增益无畸变，即：不能保证时域（采样点）响应的一致性。3) 双线性变换法（Tustin法）连续时间系统描述为

23、用差分代替微分，, 比较的代换式， (2.33)（为什么叫“双线性变换？）图9双线性变换法的稳定性遗传s到z的映射关系：单值一一对应；S平面上左半平面稳定域 ÜÞ Z平面上单位圆内稳定域G(s)稳定 ÜÞ G(z)稳定当T足够小时（即当足够大时）频轴畸变很小；稳态增益无畸变；显然，在直接代换法中，双线性变换是最好的。事实上在程序化处理的G(s)到G(z)变换中都采用双线性变换法，应用最为广泛。E 系统等效法冲激响应不变法提法：设有（被控对象）G(s)和G(z)，若G(s)在(t)的激励下的响应g(t)在kT处的采样值g(kT)与G(z)在 (k)的激励下

24、所得之响应相等，即称G(z)和G(s)是冲击响应不变（等价）的。但是，事实上(k)和(t)并不等价。原因是，(t)的冲量为1，而（加上零阶保持器之后）(k)的冲量为“T”，二者差一个系数“T”；使得G(z)的稳态增益随着T大幅变化，这是不允许的。 为什么还要讲这种方法？按定义，在(t)激励下，有冲激响应g(t)按采样周期T采样即得按照输入输出等效原则，在单位脉冲输入(k)的激励下，应有输出g(k)如上式所示。根据Z变换的定义，即有对上式求Z变换 交换和积顺序 求级数和的闭式 按留数定理 (2.34)因此，冲击响应等效法也是留数计算法。显然，此式与式(2.30)的留数法相同。此式用来对信号的G(

25、s)求其G(z)时是严格正确的，但是，用来对被控对象的G(s)求其G(z)时却是不对的。此代换不易操作，特别是不易计算机实现。S到z的映射关系分析如下。若G(s)有一个极点 ，则G(z)一定有一个极点其中显然，s平面 Þ z平面，单值映射 z平面 Þ s平面，多值映射图10冲击响应等效法的稳定性遗传如果只考虑S平面的主值域，即，则有一一对应的关系。在主值域内有，因此，频轴无畸变。求式(2.34)的稳态增益可见G(z)的稳态增益受采样周期T响应很大。因此，稳态增益畸变严重使得本法很少使用。当T足够小时，一定可使所有S域极点均落在主域之内，此时的映射可相当于一一对应的。 主域整

26、个Z平面； 左半平面单位圆内； 右半平面单位圆外； 虚轴单位圆； 容易理解，如果在(k)的激励下也引入零阶保持器时，(k)和(t)就成为等价的了（为什么？），于是式(2.34)成为，(2.35)由下式可以证明稳态增益无畸变(2.36)F 系统等效法阶跃响应不变法提法：设有G(s)和G(z)，若G(s)在1(t)的激励下的响应e(t)在kT处的采样值e(kT)与G(z)在1(k)的激励下所得之响应相等，即称G(z)和G(s)是阶跃响应不变（等价）的。在阶跃输入的特殊情况下，在1(t)的后面有无零阶保持器是无区别的（？）。有两边求z变换，得可得，(2-37)S到z的映射关系与冲激响应不变法相同；从

27、变换关系式可知，无频轴畸变。由下式可知，无增益畸变对比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零阶保持器时的冲激响应等效法式(2.36)与不引入零阶保持器时的阶跃响应等效法式(2.37)二者是等价的。G 部分分式法事实上，部分分式法是留数计算法的一个变形，也是留数法的一种使用形式。一般教科书中都给出相应的表格以供查照。3.4.4 离散化方法小结1) 对于表示信号的G(s)的离散化必须直接使用留数法（部分分式法）。2) 在物理上，表示调节器的G(s)不需要ZOH，表示被控对象的G(s)必需要加ZOH。3) 无论对于表示调节器还是表示被控对象的G(s)的离散化，都可以使用直接代换法，也可以使用留数

28、法（部分分式法）。但是在数学上，使用直接代换法时不需要ZOH，使用留数法（部分分式法）时需要先加上ZOH。3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 离散系统的闭环极点（特征值）与系统输出特性的关系设线性离散时间系统G(z)，其中Am(z)为m阶首一多项式，并设pi为单实根或单共轭复根的情况，且设G(z)中没有z=1的极点，即有pi1。当存在复根或z=1的极点时，如下各项分析结论仍然成立。当存在一对共轭复根时，有当输入为单位阶跃序列，即，此时输出为由上一节讨论可知，求上式的Z反变换，可得上式中，k0为与阶跃输入相对应的稳态响应项 pr为单重实根极点，kr为与pr相对应的输出项系数 ps为单

29、重共轭复极点，其中rs为其幅值，为其幅角 ks为与极点ps相对应的输出项的系数幅值，为其相位角由上式可知，如果，则随着，Pi的对应输出项发散，不稳定如果，则随着， Pi的对应输出项为恒值（实根）或等幅振荡（共轭复根），临界稳定。如果，则随着，pi的对应项收敛，稳定。再考察共轭复根对应输出项的相角特性（周期振荡），令，则一个振荡周期对应的周期数为，（考虑共轭复数）。显然，越接近零，kd越大，即振荡周期越长，当时，输出正负交替。震荡周期为两个采样周期。图例：P1对应输出，发散， P对应输出，稳定， 0-11图11 Z平面上的极点分布与稳定性P对应输出，稳定， P对应输出，稳定，P对应输出，临界稳定， P对应输出，临界稳定， P对应输出，临界稳定， 试分别画出