导数与极值和最值2

1、导数极值与最值1（本小题满分12分）已知，在与时，都取得极值。（）求的值；（）若都有恒成立，求c的取值范围。2已知函数，其中。（1）若是函数的极值点，求实数的值。（2）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。3已知函数在处取得极值（I）求与满足的关系式；（II）若，求函数的单调区间；（III）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围 4已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围5已知函数 （）当时，求的极小值； （）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围.6已知函数在处取到极值2（）求的值；（）试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数；

2、（）若对任意，均存在，使得，试求的取值范围 7已知函数（）时，求的极小值；（）若函数与的图象在上有两个不同的交点，求的取值范围8设， （1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围9已知R，函数若函数没有零点，求实数的取值范围；若函数存在极大值，并记为，求的表达式；当时，求证：10已知函数在处都取得极值（1）求、的值；（2）若对时，恒成立，求实数的取值范围11（本小题满分10分）已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x1与x2时，都取得极值。求a，b的值；若x3，2都有f(x)>恒成立，求c的取值范围

3、。12（本小题满分12分）已知函数, (1)当时,求函数的单调递增区间; (2)若函数在2,0上不单调,且时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.13（本小题满分12分）已知函数 （I）若的极值； （II）设成立，求实数a的取值范围。14已知函数。（1）当时，求函数的最小值；（2）若对于任意0恒成立，试求实数的取值范围。15设的导数为，若的图象关于直线对称，且在处取得极小值（）求实数的值；（）求函数在的最值16已知函数().(1)若,求函数的极值;(2)若在内为单调增函数，求实数a的取值范围;(3)对于,求证:.17已知函数（）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；（）若g(x)= +在1，+)

4、上是单调函数，求实数a的取值范围.18（本小题8分）设（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在上存在单调递增区间，求的取值范围19已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，若方程有两个不同的实根和，（）求实数的取值范围；（）求证：.20设若在上存在单调递增区间，求的取值范围；当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.21设， （1）若在处有极值，求a； （2）若在上为增函数，求a的取值范围.22（本小题满分13分）设（1）求的单调区间与极值； （2）当时，比较与的大小.23从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长

5、的比不超过正常数t （1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域； （2）x为何值时，容积V有最大值.2a2axx x24已知函数，且在处取得极值（1）求的值；（2）若当1,时，恒成立，求的取值范围.25已知函数f(x)=,x0，2.（1）求f(x)的值域；（2）设a0,函数g(x)=ax3-a2x,x0，2.若对任意x10，2，总存在x20，2，使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.参考答案1（），6. （）或【解析】试题分析：（）由题设有=0的两根为，6. （6分）（）当时，由（1）得有，即 （8分）所以由题意有+c>- （10分）解得或 （12分）考点：函数导数求

6、极值，最值点评：不等式恒成立转化为求函数最值2（1） （2）的取值范围为【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。（1），其定义域为（0，） （1分） 是的极值点即（2）对任意的，都有成立对任意，都有，运用转化思想来求解最值即可3（） （）单调递增区间为，单调递减区间为 （）的取值范围是 【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题。（）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a与b满足的关系式；（）确定函数f（x）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f（x）的单调区间；（

7、）当a3时，确定f（x）在上的最大值，g（x）在上的最小值，要使存在m1，m2 使得|f（m1）-g（m2）|9成立，只需要|f（x）max-g（x）min|9，即可求得a的取值范围4（1）当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为 （2）【解析】（1）对函数求导，令导函数大于（小于）0，得函数的增（减）区间，注意函数的定义域和的讨论；（2）要使任意，总存在，使得，只需，的最大值易求得是1，结合（1）得函数最大值为，解不等式得范围（1）2分当时，由于，故，故，所以，的单调递增区间为3分当时，由，得.在区间上，在区间上所以，函数的单调递增区为，单调递减区间为5分所以，当时，的

8、单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为（2）由已知，转化为.由已知可知8分由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.（或者举出反例：存在，故不符合题意）9分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，所以，解得5（）的极小值为. （）. 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数研究函数的单调性和极值问题，以及导数的几何意义求解切线方程的综合运用。（1）利用当a=1，确定解析式然后求解导数，分析单调区间，得到其极值。（2）因为要使直线对于任意的ms实数，x+y+m=0都不是曲线的切线，说米呢了导数值大于其斜率值解：（）因为当时，令，得或

9、.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值为. （）因为，所以，要使直线对任意的总不是曲线的切线，当且仅当，即.6（）. （）当，即或时，满足条件的切线有2条，当，即时，满足条件的切线有1条，当，即时，满足条件的切线不存在 （）且 【解析】（I）根据f(0)=2,建立关于c,d的方程，求出c,d的值.（II）本小题的实质是判定方程根的个数.然后利用二次函数的图像及性质借助判别式解决即可.(III)先求f(x)在1,2上最小值，然后再求出在0,1上的最小值，那么本小题就转化为（）， 1分根据题意得解得 2分经检验在处取到极值2. 3分（）即， 5分当，即或时，满足条件的切线

10、有2条，当，即时，满足条件的切线有1条，当，即时，满足条件的切线不存在 8分（）根据题意可知， 9分令，得，当时，；当时，所以函数的递减区间为，递增区间为，故函数在处取得最小值11分在恒成立，即在恒成立.设，由得，由得.函数在单调递增，在单调递减，函数，且7(1) 的导函数，当时，或，在增函数 ，在为减函数，的极小值为；同理时,的极小值为，时,无极小值；（）设在有两个不同的解，即在有两个不同的根，在（1，2）减函数，在（2，3）上增函数， 结合图像知得 【解析】（1）求导函数的零点，讨论零点的大小判断极值；（2）参数分离，结合图像解决。8：（1）当时，所以曲线在处的切线方程为； 4分（2）存在

11、，使得成立， 递减极（最）小值递增等价于：，考察， ，由上表可知：，所以满足条件的最大整数； 8分3）当时，恒成立，等价于恒成立，记， 。记，由于，, 所以在上递减，又h/（1）=0，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。 12分（3）另解：对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值， 由（2）知，在区间上，的最大值为。，下证当时，在区间上，函数恒成立。当且时，记， 当，；当，所以函数在区间上递减，在区间上递增，即， 所以当且时，成立，即对任意，都有。【解析】（1）求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；（2）存在，转化解决；（3）任意的，都有成立即恒成立，

12、等价于恒成立9 令，得，所以因为函数没有零点，所以，所以，令，得，或，当时，列出下表：+00+当时，取得极大值当时，在上为增函数，所以无极大值当时，列出下表：+00+当时，取得极大值，所以当时，令，则，当时，为增函数；当时，为减函数，所以当时，取得最小值所以，所以，因此，即【解析】(1)求导研究函数f(x)的最值，说明函数f(x)的最大值<0,或f(x)的最小值>0.(2)根据第（1）问的求解过程，直接得到g(m).（3）构造函数,证明即可，然后利用导数求g(x)的最小值.10（1） 2分在处都取得极值3分即 4分经检验符合 5分（2）由（1）可知， 6分由0，得的单调增区间为，由

13、0，得的单调减区间为=1是的极大值点 8分当时，=-4，=-3+4而-=4e-9-所以>，即在上的最小值为+4-3e， 9分要使对时，恒成立，必须 【解析】略11解：a，b6. 由f(x)min+c>-得或【解析】略12（1）单调递增区间是：（2）a的取值范围是（1，2）【解析】（1）当时，定义域为R，2分令4分 单调递增区间是：5分（2）令得在区间上不单调6分又在上，在上在上有唯一的极大值点在上的最大值为8分当时，不等式恒成立，等价于即11分综上a的取值范围是（1，2） 12分13解：（）函数的定义域是，（） 2分 当时，令得当x变化时，与变化情况如下表：4分 x (0，2)2(

14、2，+)0单调递减极小值单调递增当时，函数取得极小值，函数无极大值6分 （）等价于在上有解， 8分设，10分，所以为增函数，即。 12分【解析】略14当时，的最小值为,-3【解析】解：（1）当时，2分 由0， 函数是增函数4分 当时，的最小值为。6分（2）对任意，0恒成立，即0对任意恒成立 0对任意恒成立8分 设，则当时，0，函数是增函数10分当时，取得最小值，由题意得0，-312分15（）（）46【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解函数的极值和函数的最值问题。（1）因为并结合条件的图象关于直线对称，且在处取得极小值得到参数a,b的值。（2）根据第一问的结论，然后由(1

15、)知，解导数的不等式得到单调区间和最值。解：(1)由题意知，经检验，得(2)由(1)知令，得列表如下：-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,3)3+00+10增极大值21减极小值6增46当时，有最小值也是极小值-6，当时，有最大值4616 (1) ,无极大值 (2) (3)见解析【解析】（1）求出函数的导数，令导函数大于（小于）0，得函数的增（减）区间，也得到函数的极值点和极值；（2）在上单调递增, 就是在上恒成立.即在上恒成立。可直接利用二次函数的性质求的最小值大于等于0，也可分离参数求最值；（3）由（1）知。结合要证结论令，则有。左右两边分别相加，再由对数的运算法则化简可证出结论(1)

16、若,令=0,得(负值舍去)令>0,<0,无极大值(2)在上单调递增,在上恒成立.即在上恒成立.令当时,当时, 综上:(3)当时,由(2)知,在上单调递增即时,即取,17（）的单调递增区间是(1，+)，的单调递减区间是(0， 1).（）实数a的取值范围0，+)【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。以及函数单调性的逆向的运用（1）根据函数的定义域，然后结合导数，导数的符号与函数单调性的关系求解得到单调区间。（2）利用g(x)= +在1，+)上是单调函数，则在1，+)上恒成立，然后分离参数的思想求解其范围。解：（）的单调递增区间是(1，+)，的单调递减区间是(0， 1).（

17、）由题意得，函数g(x)在1，+)上是单调函数.若函数g(x)为1，+)上的单调增函数，则在1，+)上恒成立，即在1， +)上恒成立，设，在1，+)上单调递减，a0若函数g(x)为1，+)上的单调减函数，则在1，+)上恒成立，不可能.实数a的取值范围0，+)18（1） ， ；（2）.【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的符号与函数单调性的关系，求解函数在给定区间的最值问题，以及关于函数的单调区间，求解参数的取值范围的逆向解题。（1）首先根据a=1，求解析式，然后求解导数，令导数大于零或者小于零，得到单调性，进而确定最值。（2）因为函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在

18、函数值大于零的部分，说明不等式有解可知。解：已知，（1）已知，在上递增，在上递减， ， 5分（2）函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分， 8分19（1）时，在递增； 时，在递增；递减 时，在递减；递增 （2 的取值范围是 （） 【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。借助于导数的符号与函数的单调性的关系来确定单调区间，以及运用函数与方程的思想来分析方程根的问题的综合运用。（1）首先先求解定义域，然后求解导数，令导数大于零或者导数小于零，得到单调区间。需要对于参数a分类讨论。（2）当a=1，若方程有两个不同的实根，则可以分析函数y=f(x)的图像的变化情况，确定参

19、数k的取值范围。同时借助于单调性证明不等式（1）时，在递增； 又时时，在递增；递减时，在递减；递增 5分（2）（）由（1）知在递增；递减 6分又，而 所以的取值范围是 8分（）由（）不妨设，则在递减，要证. 即证. 即证，即证令， 则在递增 ，即，即， 20（1）（2）【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的正负来判定函数的增减区间，以及函数最值的求解运用。解：（1）已知，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分，。6分（2）已知0<a<2, 在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴，。8分则必有一点使得此时函数在上单调递增，在单调递减，。10分此时，由，所以函数。21 解：（1）由已知可得f(x)的定义域为，又，-2分由已知.-3分 经验证得符合题意-4分 （2）解：对恒成立，-7分因为，所以的最大值为的最小值为 ，-11分又符合题意， 所以；-12分【解析】略22(1) 的递减区间为，递增区间为，的极小值为(2) 【解析】（1） 由得且时 当时 的递减区间为，递增区间为，的极小值为（2）由令 则 当时在是递减的 即 从而23【解析】略24（1）（2）（-，-1）（2，+）【解析】（1）因为， 所以2分 因为在处取得极值， 所以4分解得5分（2）因为所以，6分