利用虚功对两自由度的行星齿轮传动效率的理论研究

1、外文翻译利用虚功对两自由度的行星齿轮传动效率的理论研究Chao Chen ,Teck Teh LiangDepartment of Mechanical and Aerospace, Engineering,Monash University Clayton,Victoria 3802, Australia摘要行星齿轮系传动是机械传动的一种基本形式，应用广泛。对行星齿轮系效率的研究对其设计，优化，和使用很关键。众所周知，这些系统的效率与内部功率流有很大关系。我们应用虚功的概念，在其相关的适用范围之内，来寻找两自由度传动的效率的解析表达式。1.简介行星齿轮传动（EGT）是机械传动的一种基本形式，

2、在汽车，航天以及制造业中具有广泛的应用。近年来，行星齿轮传动已经在风力发电1，安全机械手2,3，混合动力汽车4以及摩托车5等领域广泛应用。在行星齿轮传动系统中有一个现象就是在它的机械传动效率比普通的齿轮传动要低很多6。在机械传动中功率损失有齿轮啮合表面的滑动摩擦损失，搅油损失，轴的支撑轴承的摩擦7损失。这里，我们主要关注由于齿轮啮合面滑动摩擦所引起的功率损失。通过假定齿轮啮合损失只是一种能量损失，可以提出不同的方法用于评估行星齿轮系的传动效率。下面简略的回顾计算行星齿轮传动效率的具有重大意义的文献。Radzimovsky7,8提出了在行星齿轮相同的齿轮副中的齿目损失比，简化了齿轮传动系来计算功

3、率损失。Macmillan9和Davies10 提出了被用于计算复杂行星轮系传动效率分析的功率流理论。第1页外文翻译Yu和Beachley11引进了潜在能量来评估具有两自由度的差动轮系的效率。Pennestri和Freudenstein6提出了一个系统的算法用来计算直齿轮行星轮系的传动效率， Castillo12通过虚拟齿比和啮合力获得了一个公式来计算行星齿轮传动效率。Pennestri和Valentini 13提供了一个全面的回顾和各种现有方法的对比来计算行星齿轮传动的机械效率。Kahraman et al14提出了一种针对自动变速箱行星齿轮传动的广义公式.Salgdo和 del Casti

4、llo用功率流图15来分析行星齿轮传动效率。Nslson 和 Cipra提出了一种数字化的方法来获得行星齿轮传动的效率16。上面的所有用于推导效率公式的方法都是基于整个系统的动力平衡理论并考虑了整体效率的独立性。但我们发现整体效率事实上是联系在一起的。相反，文献17中的方法提供了一种清晰的功率流通过每个但自由度行星轮系部件的路线。这种方法将系统放大，并把在相应的载体框架上测得的局部效率看作是独立恒定的量文献【17】中虚拟能量的概念是逆向运动学【9，,18】和潜在功率的派生。我们注意到获取功率损失的解析表达式关键是利用图17中的功率平衡。在这项工作中我们将重点放在具有两个输入一个输出的两自由度的

5、行星齿轮传动。在文献【13】中可以看到对这种两自由度系统的效率计算的现有公式的综合总结。由于这些公式以及相应的方法的多样性和复杂性，对推导公式的验证就变得非常重要。这里，在适用的范围之内，我们为两自由度EGT派生了一组新的效率公式集。我们用下面有几个特殊的例子来讨论验证提出的公式和方法的正确性。这里也给出了，同样适用于这里讨论的系统的现有效率公式的对比。下面将具体介绍。第二节给出了最基本的概念，虚拟力，以及虚拟功率传第2页外文翻译动比。第三节我们讨论运动学关系。第四，五节推导出了效率计算公式。第六节给出了具体的实例，验证还有对比。2 功率和虚拟功率大家都知道，一个取决于齿轮啮合的简单齿轮传动系

6、统的功率损失与输入功率成正比，如公式L=pl³0 （1）这里是损失因子常数，P是输入功率大小。对简单齿轮传动的效率的综合讨论可以参考【17，,20】。在理想的条件下，可以把当作常量。相同系统的效率则为=1-。注意方程（1）不仅在定轴轮系（地面坐标系）而且在动轴轮系（行星轮系）中都适用。然而在这两种例子中，输入功率的计算将会不一样。通常情况下，功率P表达式为P=t1w1 （2）当齿轮都被安装t1是作用在输入齿轮上的扭矩，w1是输入齿轮的角速度。在定轴，在地面上的观察者将测出t1，w1。在后一种情况下，支撑两个齿轮的轴以一定的角速度w0旋转，从观察者的轴【21】的位置上t1保持不变。然0

7、0w1=w1-w0w1而在公式（2）中的将会变化。我们有公式，其中w1是参照地面参考系输入齿轮的角速度。此时，站在行星载体上的观察者测量出w1。被站在行星载体上的观察者测量出的相应的输入功率称作潜在功率【11】，或者虚功【17】。注意：通过任意移动的轴【17】测量的功被称作虚功，这就暗示着潜在功是虚功的一个特殊形式。另外，只有在齿轮载体上测功率时，齿轮啮合的功率损失因子还有效率才不会变化。2.1 功率流第3页外文翻译在一个稳定的情况（没有加速或者减速），行星齿轮传动的每个构件都处于扭矩平衡和功率平衡。把摩擦考虑在内，得出公式nnåti=1i=0 （3a） lnklTiåP+

8、åLii=1k=1=åti=1wi+åLk=1k=0 (3b)n和 l分别表示转矩的ti序号和功率损失序号Lk。另外Pi表示系统和环w境之间的功率流，i表示转矩ti的角速度。正号功率流表示功率从环境流向系统，负号表示功率由系统流向外界环境。2.2 虚拟功率流假设观察者站在任意一个以角速度功Pivwm旋转的构件上，行星齿轮传动的虚Pi=ti(wi-wm)vT wm表示由观察者测量得到的虚功。通过减去公式（3a）和公式（3b）中的点积，可以得到虚功流的平衡。nlviåPi=1+åLk=1k=0 （4）从而验证功率损失和原始模型中的保持一致。利用公式

9、（4）我们很容易的可以利用图形来说明一个EGT中的虚功流。2.3 虚拟功率比在EGT中还有另外一个事实：当运动学关系保持不变时，功率损失可能会影响到扭矩和力的大小。因此，在文献【】中提出了一个独立摩擦的概念，虚拟功率比a。它被定义为虚拟功率与通过构件i的功率的比值，如下：第4页外文翻译ai=PivwiPi=ti(wi-wm)tiwi=wi-wmwi （5） 和wmti表示沿着力矩方向的切向角速度，表示自己轴线上的力矩大小。依据上面的定义，ai仅仅由运动学关系决定，因此，在EGT中ai也与摩擦和功率损失无关。3 两自由度行星齿轮传动图1表示的是两自由度系统。我们需要两个电机来完全确定系统的运动。

10、具体的有三种方案：构件1和2是输入构件；构件1和4是输出构件；构件2和4是输入构件。注意第一第三种方案是拓扑相同的。因此，我们仅讨论第一第二方案。这里我们不考虑一个输入两个输出的情况。如图1所示，ra+rc=rb+rd （6）给出了几个约束约束关系，ra，rb，rc和rd分别是齿轮A,B,C和D的半径。运动学关系由式（7）给出，w2(ra+rc)=w3ra+w1rcw2(rb+rd)=w3rb+w4rd （7）这里wi是构件i的角速度。另外，齿轮A和C之间的啮合力为G1，齿轮B和D之间的啮合力为G2,如图1所示。第5页外文翻译图1 两自由度行星齿轮传动w2w1在方案I中，输入构件的角速度比值为

11、k1=我们从方程（6）（7）得到w2w4=k1(1-k1)u+k1（8a）w4w1=(1-k1)u+k1（8b）u=rbrc(rard)不难看出当ra>rb时0<u<1当ra<rb时u>1。图2表示的是当ra>rb时，系统的静态分析。很明显为了使行星齿轮平衡，接触力F1和F2必须和构件4上的载荷方向一致。因此，从电机1和电机2输入的转矩T1和T2也必须和F1和F2相同的方向。为了保持这连个电机输入给系统正的功率，必须使w1w2>0。因此，k1>0且0<u<1。同理可得，k1<0且u>1。在方案II中，两个输入的角速度比值为

12、k2=第6页w4w1，根据方程式（6）和（7），外文翻译可以推导出w2w1w2w4=u-k2u-1 （9a） =u-k2(u-1)k2 (9b)图2展示的是其静态分析。为了平衡行星齿轮的力矩，接触力F1和F4必须沿着构件2上载荷的相反方向。因此从电动机1,4输出的力矩也必须沿着相反方向。为了使这两个电动机输出正的功率，我们必须控制使w1w2<0，因此在该方案中k2<0。图2 方案1中0<u<1时系统的静态分析4 案例I中的功率流分析我们首先将图1中所示的系统示意图转化为图3(a)所示的图形表达图。功率流从一个构件到另外的构件通过一个箭头表示。文献【17，22-24】详细

13、的给出了行星齿轮传动的这种图像法的分析讨论。第7页外文翻译图3（1）传动的功率流（a）图3（2）虚拟功率流（b）在这种方案中，图1中所示的M1和M2为输入电动机，M4就是一个发电机，系统的功率从M4流出。另外，因为这里的电动机和发电机的安装方式的特殊，它们可以被当做一种特殊形式的连接相邻构件的联接。比如，M1将构件1连接到构件5上。这些联接的特殊之处在于功率流可以通过它们流进或者流出系第8页外文翻译统。图3(a)给出了系统的示意图，从电动机1和2流出的功率大小分别为M1和M2。不考虑功率损失，所有的功率流进发电机4。注意在这个图中只有一个可能的功率流方向。固定构件2时，图3(b)给出了相同系统

14、的虚拟功率流图。在每个分支里虚拟功率流有一些可能的方向。然而，只有沿着路径1-3-4的功率流对我们的研究是必要的，因为在这条路径上存在齿轮啮合。沿着这条路径的虚拟功率流的改变将会改变整个系统的功率损失。因此，我们区分出两个子方案，IA和IB，图3(b)展示了它们的功率流方向。4.1 子方案IA图4表示的是本方案的功率流和虚拟功率流以及它们各自的损失。图4(1) 子方案IA中的功率流（a）第9页外文翻译图4(2) 带损失的虚拟功率流(b)通过构件1和4的虚拟功率比为V1M1=w1-w2w1=1-k1 (10a)V1-L1-L2M1+M2-L1-L2=w4-w2w4=(1-k1)u(1-k1)u+

15、k1(10b)另外，按照图4(b)所示的虚拟功率流，G1和G2的功率损失为L1=l1V1 (10c) L2=l2(V1-L1) (10d) 求解方程式(10)，可以得到总效率为h=M1+M2-L1-L2M1+M2=1-A1-A+AB1(11)(1-k1)u(1-k1)u+k1这里A=l1+l2-l1l2 ，B1=依照图4中功率流的方向和虚拟功率流的方向以及方程式（10a）（10b）,可以推导出第10页外文翻译1-k1>0 (1-k1)u(1-k1)u+k1>0u<k1<1 （12） 可以推出：当u>1时，k1<1；当0<u<1时，u-1将不等式（

16、12）和第三节的结果联立，可以得出效率公式（11）的应用范围：当u>1时，k1<1；当0<u<1时，0<k1<1 （13）4.2 子方案 IB本方案中的功率流和子方案IA中的一样。图5展示本方案中有功率损失的虚拟功率流。图5 子方案IB有功率损失的虚拟功率流通过构件1和4的虚拟功率比分别为P1vP1P4v=-V1M1=w1-w2w1=1-k1 (14a) (1-k1)u(1-k1)u+k1 P4=-V1-L1-L2M1+M2-L1-L2=w4-w2w4= (14b)另外，依据图5中的虚拟功率流，发电机1和2的功率损失为L1=l1(V1+L1) (14c)第1

17、1页外文翻译L2=l2(V1+L1+L2) (14d)求解方程（14），得出本方案的总效率为 h=M1+M2-L1-L2M1+M2=11-AB1(15)(1-k1)u(1-k1)u+k1这里 A=l1+l2-l1l2，B1=依据图4中功率和虚拟功率流的方向以及方程（14a）（14b）可以推出1-k1<0(1-k1)u(1-k1)u+k1<0推出若u>1 则1<k1<uu-1（16）若0<u<1则1<k1联立不等式（16）和第三节的结果，公式（15）的应用范围为若u>1，不能用；若0<u<1则1<k1。 （17） 不等式（1

18、6）说明了效率公式（15）的适用范围。5 方案II中的功率流分析（构件1,构件4输入）在方案II中，图1中M1和M4为输入电动机，M2为发电机，系统的功率通过M2流出。第12页外文翻译图6 (a) 传动的功率流（a）图6(b) 虚拟功率流（b）图6(a)是系统的图形表示，电动机1和4的功率大小分别为M1，M4。不考虑功率损失，所有的功率都流向发电机2。在该图中功率流只有一个可能的方向。图6(b)展示的是固定构件2，同一个系统的虚拟功率流。每一个分支都会有一些可能的虚拟功率流方向。然而，只有沿着路径1-3-4的功率流对我们的第13页外文翻译分析是必要的，因为这条路径存在齿轮啮合。这条路径的虚拟功

19、率流的改变将会改变整个系统的功率损失。因此，区分为子方案IIA和IIB，图6(b)中有它们各自的功率流向。5.1子方案IIA图7表示的是本方案的功率和虚拟功率流。构件1,4的虚拟功率比分别为P1vP1P4v=V1M1=w1-w2w1=k2-1u-1（18a）u(k2-1)(u-1)k2P1=-(V1-L1-L2)M4=w4-w2w4=(18b)图7 (1) 方案IIA的功率流（a）另外，依据图7(b)中虚拟功率流，G1和G2的功率损失分别为L1=l1V1 (18c)L2=l2(V1-L1) (18d)求解方程（18），可以得到这个子方案整个系统的效率为 h=M1+M2-L1-L2M1+M2=1

20、-B2B3AB3+B2(A-1)(19)第14页外文翻译图7 (2)带损失的虚拟功率流（b）在这里B2=k2-1u-1u(k2-1)(u-1)k2，B3=，A=l1+l2-l1l2根据图7中的功率和虚拟功率流的方向和方程（18a）（18b），可以推出k2-1u-1>0u(k2-1)(u-1)k2<0推出若u>1则公式不适用；若0<u<1,则k2<0 (20)不等式（20）和第三节的结论一致，说明了效率公式（19）的适用范围。5.2 子方案IIB本方案中的功率流和方案IIA中的一致。图8表示的是带有损失的虚拟功率流。通过构件1，4的虚拟功率比分别为P1vP1=

21、-V1M1=w1-w2w1=k2-1u-1（21a）第15页外文翻译P4vP4=V1+L1+L2M4=w4-w2w4=u(k2-1)(u-1)k2 (21b)图8 子方案IIB中带功率损失的虚拟功率流另外根据图5的虚拟功率流，G1和G2的功率损失为L1=l1(V1+L1) (21c)L2=l2(V1+L1+L2) (21d)求解方程（21），可以得到这个方案的总效率h=这里B2=k2-1u-1,B3=u(k2-1)(u-1)k2,A=l1+l2-l1l2 M1+M2-L1-L2M1+M2=1-B2B3AB2+B3-B3A (22)根据图7中功率流和虚拟功率流的方向以及方程式（21a），（21b

22、），可以得k2-1u-1<0 >0 u(k2-1)(u-1)k2 （23）第16页外文翻译可以推出：若u>1时，则k2<0;若0<u<1,为空集。不等式（23），和第三节中的结果一致，表示了效率公式（22）的适用范围。表16 方案I的特殊情况分析首先，以一个例子开始，讨论几个特殊的方案。然后得出与其他公式的对比。假设图1中的系统的参数r=30,r=25,r=20,和rd=25。可以推出abcu=23。先考虑方案I，构件1和2为输入构件。根据表1，方案IA的范围为0<k1<1，方案IB的范围为k1>1。我们进一步假设所有齿轮的效率为h1=h2=90，这也表示齿轮的功率损失为l1=l2=0.1。我们可以看到，在k1的范围之内，总效率在0-1之间。然后，可以利用下面的两个特殊条件来验证假设公式的正确性，正如下面提到的。k1=1：在这个条件下，图1所示系统的所有组件都以相同的角速度w1。任第17页外文翻译意两个啮合的齿轮之间没有相对转动。此时，没有齿轮啮合损失，这就表示总效率为1.图9中给出了相应结果的情节。k1=0：当行星架静止时，两自由度行星齿轮系统转化为一个自由度的齿轮传动。因此，总的效率一定是简单的h1h2=0.81。图9中也给