1.2 传输线波动方程及其解

1、本节的主要内容：本节的主要内容：1.2.1 1.2.1 传输线传输线波动波动方程方程 建立双导线传输线的波动方程1.2.2 1.2.2 传输线波动方程的解传输线波动方程的解 求波动方程的解 求解相速及相移常数的表达式1.2.3 1.2.3 传输线的特性阻抗传输线的特性阻抗 求解均匀无耗传输线的特性阻抗表达式1.2.4 1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件1.2 传输线波动方程及其解传输线波动方程及其解 1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程双线传输线：两根铜导线，条件：laz+ u(z,t) -i(z,t)+ u(z+z,t) -i(z+i,t) zi(z,t)u(z

2、,t)zRzLzGzC),(tzzi),(tzzuz+-+-双导线传输线z的集总等效电路R = 串联电阻 （/m）L = 串联电感 （H/m）G = 并联电导 （S/m）C = 并联电容 （F/m）导体损耗介质损耗1.2.1 1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程返回),(tlzu),(tlzi+-u(z,t)i(z,t)传输线l的集总元件电路等效1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程对于z的集总元件电路等效:由Kirchhoffs 电压定律0),(),(),(),(tzzuttzizLtzziRtzu由Kirchhoffs 电流定律0),(),(),(),(tzzittzzuzCtzzz

3、uGtzi（一）（一） 时域传输线方程时域传输线方程图示(1-2)(1-1)1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程:)1 . 1 (0limzaz)31 (),(),(),(ttziLtzRiztzu:)1 . 1 (0limzbz)41 (),(),(),(ttzuCtzGuztzi分布参数电路的偏微分方程时域传输线方程电报方程1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程return（二）频域传输线方程二）频域传输线方程对于时谐电磁波：对于时谐电磁波： )(Re),(tjezUtzu)(Re),(tjezItzitjtjejdted/ )(带入方程带入方程 (1-3) (1-3) 和和 (1-

4、4)(1-4)(电报方程）电报方程）: :)51 ()()()(zILjRdzzdU)61 ()()()(zUCjGdzzdIHj EEjH1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程并代入计算,)51(dzEqd)71 (0)()(222zUdzzUd)81 (0)()(222zIdzzId)91 ()(jCjGLjR 是复传播常数，是频率的函数.公式（16）得：1.2.1 传输线波动方程传输线波动方程(16),15)d Eqdz并代入 公式（得：计算项表示 +z 方向传播的电压波，zeU1zeU1为幅度, 为相位项项表示 -z 方向传播的电压波，U2为幅度, 为相位项zeU2ze)101 ()

5、(21zzeUeUzU)111 ()(21zzeIeIzI为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数；为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数； 叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/mrad/m。)91 ()(jCjGLjR1.2.2 传输线波动方程的解传输线波动方程的解在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感和电容来说很小，即和电容来说很小，即RRLL，GGdDd，则有则有dDdDZrrc2lg2762ln120双导

6、线传输线的特性阻抗一般约在双导线传输线的特性阻抗一般约在250-700250-700之间。之间。同轴线本质上也是双导线传输线，利用表同轴线本质上也是双导线传输线，利用表1-11-1可求得其特性阻抗为可求得其特性阻抗为ababZrrclg138ln60(1-28)式中，式中，a a为同轴线内导体的外半径，为同轴线内导体的外半径，b b为外导体的内半径。为外导体的内半径。常用的同轴线的特性阻抗多为常用的同轴线的特性阻抗多为5050或或75 75 ，个别情况也有用个别情况也有用60 60 或其它值的。或其它值的。1.2.3 传输线的特性阻抗传输线的特性阻抗未未解决的问题解决的问题确定常数确定常数A

7、A和和B B三三.均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件一一. .传输线方程及其解传输线方程及其解 正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 电压波、电流波 =+j的意义，无耗时： 相速、等相面二二. . 特性阻抗的概念：特性阻抗的概念： 同轴线的特性阻抗同轴线的特性阻抗小结：小结：)()()()(zIzUzIzUCLZcLCj,gZgElZcZl0d0z接有任意负载的均匀无耗传输线信号源电动势内阻抗负载特性阻抗说明：说明：如图先把坐标原点取在线的如图先把坐标原点取在线的始端，坐标用始端，坐标用d d表示，求出电压和表示，求出电压和电流表达式电流表达式前面得出的前面得出的U(z)U(z)和

8、和I(z):I(z):由边界条件确定常数U1和U2)()()(21zUzUeUeUzUzjzj)()()(21zIzIeZUeZUzIzjczjc(1-29)(1-30)1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件然后再换算为坐标原点取在终端然后再换算为坐标原点取在终端（负载处），坐标为（负载处），坐标为z z的表示式。的表示式。1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件可以分为以下可以分为以下3 3种情况：种情况：1.1.已知传输线的终端电压和电流已知传输线的终端电压和电流2.2.已知传输线始端电压和电流；已知传输线始端电压和电流；3.3.已知信号源的电动势

9、、内阻抗和负载阻抗。已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗。1. 1. 已知传输线终端电压已知传输线终端电压U和电流和电流I ( (重点）重点）注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量.由由1.21.2节求得的线上任意位置节求得的线上任意位置U(zU(z) ) 和和I(zI(z) )，坐标原点在负载端坐标原点在负载端时时U(zU(z) )和和I(zI(z) )为：为：zjzjeUeUzU21)()(1)(21zjzjceUeUZzI(1-31(1-31) )(1-32(1-32) )式中，式中， U U1 1e ejzjz项项：随着：随着z z的增加相位是超前的，说明波是的增加相

10、位是超前的，说明波是 由始端由始端( (信号源）向终端传播的，称为信号源）向终端传播的，称为入射波入射波；1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件U U2 2e e-jz-jz项项：随着：随着z z的增加相位是滞后的，说明波是的增加相位是滞后的，说明波是由终端向始端传播的由终端向始端传播的 ，称为，称为反射波反射波。lUUUU21)0(lcIUUZI)(1)0(21终端电压和电流为：终端电压和电流为：21cllZIUU22cllZIUU将将U U1 1和和U U2 2代入到式代入到式(1-(1-31) 31) ，得，得zjcllzjclleZIUeZIUzU22)(或写为或

11、写为zjlclzjlcleZZUeZZUzU1212)(1-33)1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件解方程组解方程组得得令令zjclleZIUzU2)(zjclleZIUzU2)(表示传输线上任意位置表示传输线上任意位置z z处的反射波电压处的反射波电压2)0(cllZIUU表示传输线上终端负载处表示传输线上终端负载处z=0z=0的入射波电压的入射波电压2)0(cllZIUU则则U(z)U(z)可表示为可表示为zjzjeUeUzUzUzU)0()0()()()(1-34)1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件表示传输线上任意位置表示传输线上任意位

12、置z z处的入射波电压处的入射波电压表示传输线上终端负载处表示传输线上终端负载处z=0z=0的反射波电压的反射波电压式中式中zjclleZUIzI2/)(zjclleZIUzI2)( 2/)0(cllZUII2/)0(cllZUII传输线上任意位置传输线上任意位置z z处入射波电流处入射波电流传输线上任意位置传输线上任意位置z z处反射波电流处反射波电流终端负载终端负载z=0z=0处入射波电流处入射波电流终端负载终端负载z=0z=0处反射波电流处反射波电流1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件zjcllzjcllzjcllzjclleZZIeZZIeZUIeZUIzI12

13、122/2/)(同理，对于电流同理，对于电流I(z)I(z)则可表示为则可表示为zjzjeIeIzIzI)0()0()()(1-35)1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件利用三角函数公式，电压利用三角函数公式，电压U(z)U(z)和电流和电流I(z)I(z)还可写为还可写为zZjIzUzUcllsincos)(zZUjzIzIcllsincos)(1-36)(1-37)返回上一节得到的电压电流表达式上一节得到的电压电流表达式: :则始端电压和电流可写为则始端电压和电流可写为: :2. 2. 已知传输线始端电压和电流时的表示式已知传输线始端电压和电流时的表示式注意：注意：

14、同样，坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用同样，坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用d d表示表示. .)()()(21zUzUeUeUzUzjzj)()()(21zIzIeZUeZUzIzjczjc(1-29)(1-30)021)0(UUUU021)(1)0(IUUZIc1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件解方程组解方程组得得)(21001cZIUU)(21002cZIUU将将A A1 1和和A A2 2代入到式代入到式(1-2(1-29)9)和式和式(1-(1-30)30)中，得中，得xjxejxsincos 利用三角函数利用三角函数djcdjceZIUeZ

15、IUdU22)(0000djccdjcceZZIUeZZIUdI22)(0000 xjxejxsincos1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件可将可将U(d)U(d)和和I(d)I(d)写为写为dZjIdUdUcsincos)(00dZUjdIdIcsincos)(00)(00)(0022)(zljczljceZIUeZIUzU)(00)(0022)(zljcczljcceZZIUeZZIUzI(1-38(1-38) )(1-39(1-39) )或或)(sin)(cos)(00zlZjIzlUzUc)(sin)(cos)(00zlZUjzlIzIc(1-40(1-40)

16、 )(1-4(1-41)1)1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件变换为以终端为坐标原点的表示式，令变换为以终端为坐标原点的表示式，令z=z=l-d-d：3. 3. 已知信号源的电动势已知信号源的电动势E Eg g、内阻抗内阻抗Z Zg g和负载和负载Z ZggZIEUUU)0()0(21由式（由式（1 1-29)-29)和式（和式（1-1-30)30)，在始端的电压和电流为：，在始端的电压和电流为：注意：注意：坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用d d表示表示)(1)0(21UUZIc在终端负载处的电压和电流为：在终端负载处的

17、电压和电流为：llljljZIeUeUlU21)()(1)(21ljljceUeUZlI)1)(21ljlgcgljcgeZZeZEU)1)(22ljlgcgljlcgeZZeZEU1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件解方程组得解方程组得将将U U1 1和和U U2 2代回到式（代回到式（1-21-29)9)和式（和式（1-1-30)30)中，得中，得: :)()1)()(22djljldjljlgcgcgeeeeZZZEdU)()1)()(22djljldjljlgcggeeeeZZEdI1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件均匀无耗传输线的边界条件cgcggZZZZ(1-42(1-42) )(1-43(1-43) )gclcllZZZZl式中，式中，分别为传输线终端和始端负载处的电压反射系数分别为传输线终端和始端负载处的电压反射系数. .和和1.2