概率论与数理统计答案精选

1、习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律【解】故所求分布律为X345P2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)133PX-,P1X-,P1X-,P1X2.【解】故X的分布律为X012P(2)当x<0时，F(x)=P(X<x)=0当0<x<1时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)=3534当1<x<2时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)

2、+P(X=1)=35当x>2时，F(x)=P(X<x)=1故X的分布函数3 .射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为X0123P4 .(1)设随机变量X的分布律为PX=k=a，k!其中k=0,1,2,，入>0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1,2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知故ae(2)由分布律的性质知即a1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，今各投3次，求：(

3、1)两人投中次数相等的概率；(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb(3,),Yb(3,(1) P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)(0.4)3(0.3)3C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2+(2) P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)6 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200

4、,设机场需配备N条跑道，则有200kk200k即C200(0.02)(0.98)0.01kN1利用泊松近似查表得N>9.故机场至少应配备9条跑道.7 .有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为，在某天的该时段【解】设X表示出事故的次数，则8.已知在五重贝努里试验中成功的次数【解】设在每次试验中成功的概率为内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？Xb(1000,)X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4.P,则所以9.设事件A在每一次试验中发生的概率为，当_4 1 4 2P(X 4) C5(3二10243A发生不少于3次

5、时，指示灯发出信号,(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X6(5,)(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb(7,)10 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率5P(X 1) 1 P(X 0) 1 e "3【解】(1)P(X0)e2_kk2k11 .设PX=k=C2P(1

6、p),k=0,1,2mm4mPY=m=C4P(1p),m=0,1,2,3,4分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知PX>1=5,试求PY>1.954【解】因为P(X1),故p(x1)-.992而P(X1)P(X0)(1p)一24故得(1p)24,9即p1.465从而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4一0.802478112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,.利用泊松近似计算，P(X 5)2-5e 25!0.0018313.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概

7、率为4X的分布律，并计算 X取偶数的概率.1一.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出4【解】X1,2,L,k,L14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金求：(1)保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,则所求概率为由于n很大，p很小，1=np=5,故用泊松近似，有(2)

8、 P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae |x|, 求：(1) A 值；(2) P0<X<1;(3) F(x).OO<X<+ 00【解】(1)由 f(x)dx 1得1故A 1.21 1 x11(2) p(0 X 1) - 0e dx -(1 e ),L ,、x 1 x ,1 x(3)当 x<0 时，F (x)-e dx -e22x 1 I I 0

9、1x 1当 x>0 时，F(x)-e |x|dx-exdx-e Xdx220 21 xn-e , x 0故F (x)2d 1 x八1 e x 0216.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=0,求：(1)(2)(3)【解】1002-, x 100, xx 100.在开始150小时内没有电子管损坏的概率; 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F (x).(1)P(X 150)150 100100dx1 1 /2 2 P2C3 7(7)3 3(3)当 x<100 时 F (x)49=0当 x>100 时 F (x)f (t)dtF(x)d 100

10、1 x0,x 10017.在区间0, a上任意投掷一个质点，以内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】 由题意知XU0,a,密度函数为故当x<0时F (x) =0X表示这质点的坐标,X的分布函数.设这质点落在0, a中任意小区间x当 0<x<a 时 F(x) f (t)dtx 1xf(t)dt dt 一 0 aa当x>a时，F(x)=1即分布函数18 .设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率为1一19 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口

11、等待服务,5个月内他未等到服务而离开窗口的次若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表数，试写出丫的分布律，并求PY>1.1【解】依题意知XE(),即其密度函数为5该顾客未等到服务而离开的概率为Yb(5,e2)，即其分布律为20 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路,XN (40, 102),XN

12、(50, 42)P(X60) PX 5060 50(2.5) 0.9938 +40故走第二条路乘上火车的把握大些(2)若XN(40,102),则若XN(50,42),贝IJ故走第一条路乘上火车的把握大些21 .设XN(3,22),(1)(2)求P2<X<5,P4<X<10,确定c使PX>c=PX<c.P>2,PX>3;一_2(1) P(2X5)P-c=3(,),规定长度在士内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率22 .由某机器生产的螺栓长度(cm)XN【解】P(|X10.05|0.12)P10.050.060.120.06(160,(2),若要求

13、P120 <X< 200 >,允许23 .一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布(T最大不超过多少？120160X【解】P(120X200)P-1602001601.2931.2524 .设随机变量X分布函数为2a(x)ABext,0,0,0.(0),(1)(2)(3)求常数A,B;求PX<2,PX>3;求分布密度f(x).【解】(1)lim由xlimx0F(x)F(x)(2)P(X2)f(x)F(x)ximF(2)F(x)0,25 .设随机变量X的概率密度为f(x)=x,2求X的分布函数F【解】当x<0时F(x)=0(x)当0<x<1时F

14、(x)xf(t)dt当1<x<2时F(x)xf(t)dt当x>2时F(x)xf(t)dtx,0,(x)及f(t)dt(x)x其他.f(t)dt1,2,F(x)0,2x2 ,2 x2x00x12x1,1x21,x226 .设随机变量X的密度函数为(1) f(x)=ae?|x|,人>0;bx,0x1,1(2) f(x)=,1x2,x0,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】(1)由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx0xe,x0即密度函数为f(x)2xex02xx1xe2当x<0时F(x)f(x)dxexdx2x0x当x>0时F(x)f(

15、x)dxeXdx2e02xdx故其分布图数121b1(2)由1f(x)dxbxdxdx1x2202得b=1故2即X的密度函数为当x<0时F(x)=0x0x当0<x<i时F(x)f(x)dxf(x)dx0f(x)dxx01x1当1Vx<2时f(x)f(x)dx0dxxdxdx01x当x>2时F(x)=1故其分布函数为27.求标准正态分布的上分位点，(1)=，求z;=，求Z,Z/2.【解】(1)P(Xz)0.01即1(z)0.01即(z)0.09故z2.33(2)由P(Xz)0.003得即(z)0.997查表得z2.75查表得(z/2)0.9985z/22.9628.

16、设随机变量X的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设PX=k=(1)k,k=1,2，令2求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)LP(X2k)L30.设XN(0,1).(1)(2)(3)求Y=eX的概率密度；求Y=2X2+1的概率密度；求Y二|X|的概率密度.(1)当y<0时，FY(y)P(Yy)0当 y>0 时，FY(y)P(Y y)P(ex y)P(X In y)fY(y)dFY(y)dy1 .一 fx(ln y)

17、 y11 ln2y/2e , yy V 2冗P(Y2X211)1当 y<i 时 FY(y)P(Yy)当 y>1 时 K(y)P(Yy)_ _2P(2X 1y)故 fY(y) FY(y)dyfy 1fXP(Y0)1当 y<0时FY(y) P(Yy) 0当y>0时Fy(y)P(|X|y)P(yXy),rdrr故fY(y)FY(y)fx(y)fx(y)dy31 .设随机变量XU(0,1),试求：(1) Y=ex的分布函数及密度函数；(2) Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】(1)P(0X1)1(3) P(1Yexe)1(4) y1时FY(y)P(Yy)0当1<y&

18、lt;e时FY(y)P(exy)P(XIny)(5) y>e时FY(y)P(exy)1即分布函数故Y的密度函数为(6) 由P(0<x<1)=1知当z<0时，FZ(z)P(Zz)0当z>0时，FZ(z)P(Zz)P(2lnxz)即分布函数故Z的密度函数为32 .设随机变量x的密度函数为2x八二，0x4f(x)=冗0,其他.试求Y=sinx的密度函数.【解】P(0Y1)1当y<0时，FY(y)P(Yy)0当0<y<1时，(y)p(yy)P(sinxy)当户1时，Fy(y)1故Y的密度函数为33 .设随机变量X的分布函数如下:试填上,(2),(3)项.

19、【解】由limF(x)1知填1x由右连续性limF(x)F(x0)1知x00,故为0。xx+从而亦为0。即34 .同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.1【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。(i=1,2),P(Ai尸一.且Ai与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现66点。则11,故抛掷次数X服从参数为的几何分布。3635 .随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于？【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,即(0.9)n0.1得n>22即随机数字序列至少要有22个数字。x 0,1 X 2, 1 . 236 .已知0,1F(x)=

20、x一,21,则F(x)是()随机变量的分布函数(A)连续型；(B)离散型;(C)非连续亦非离散型.【解】因为f(x)在(oo,+oo)上单调不减右连续，且limF(x)0xJimF(x)1，所以f(x)是一个分布函数。但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37 .设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,则区间a,b等于()(A)0,n；(B)0,Tt;3(C)N2,0;(D)0,2町冗”2【解】在0,一上sinx>0,且°sinxdx1.故f(x)是密度函数。冗在0

21、,可上0sinxdx21.故f(x)不是密度函数。在,0上 sinx3.在0,一可上，当冗20 ,故f(x)不是密度函数。3,x 一冗时，sinx<0, f(x)也不是密度函数。故选(A) o38 .设随机变量XN (002),问：当b取何值时,【解】因为X N (0,2),P(1 X 3)P(-X落入区间(1,3)的概率最大?X -)利用微积分中求极值的方法，有4，则ln 3_2_.布(0)0故当2» 心为极大值点且惟一'。,ln32-=时X落入区间(1,ln 33)的概率最大。39 .设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布 P (人)，每个顾客购买某种物

22、品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.e【解】P(X m)m,m 0,1,2,L m!设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下，Yb(m,p),即由全概率公式有此题说明：进入商店的人数服从参数为人的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为人p.证明：Y=1 e2X在区间(0, 1)上服从均匀分布.即 P (0<Y<1 ) =140 .设随机变量X服从参数为2的指数分布【证】X的密度函数为由于P(X>0)=1,故0<1e2X<1,当y<0时，Fy(y)=0当y>1

23、时，Fy(y)=1当 0<y<i 时，FY(y) P(Yy)2xP(ey)33即Y的密度函数为即丫U(0,1)41 .设随机变量X的密度函数为13,2f(x)=-,90,X 1,x 6,其他.(2000研考)若k使得PX>k=2/3,求k的取值范围.【解】由P(X>k)=2知P(X<k)=1若k<0,P(X<k)=0代k1k1若0<k<1,P(X<k)=-dx03331当k=1时P(X<k)=-311k1若1<k<3时P(X<k)=dx0dx0313若3<k<6,贝IP(X<k)=11k221

24、dx-dx-k-033993若k>6,贝IP(X<k)=12故只有当1<k<3时满足P(X>k)=-342 .设随机变量X的分布函数为F(x)=0,0.4,0.8,1,x 1,1 x 1,1 x 3,x 3.求X的概率分布.(1991研考)【解】由离散型随机变量 X分布律与分布函数之间的关系，可知 X的概率分布为X113P43 .A.若 A19/27,A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P (A) =p，则Xb(3,p)由 P (X>1)=坦知 P (X=0) = (1 p) 3=2727场 1故p= 一344 .若随机

25、变量X在【解】1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少?45 .若随机变量XN (2, b 2),且P2<X<4=,则P X <0=.2 2 X 2 4 2【解】0.3 P(2 X 4) P()故(2) 0.8X 2 0 22因此P(X 0) P(X- -)(-)46 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂,以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n > 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求(1)全部能出厂的概率a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率3；(3)其中至少有两台不

26、能出厂的概率9.【解】设A=需进一步调试,B=仪器能出厂，则A=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=AUAB,且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6(n,),故47 .某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN(72,b2)-24故(一)0.977一24查表知242,即b=12从而XN(72,122)6072X728472故P(60X84)P12121248 .在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电

27、子元件损坏的概率分别为，和(假设电源电压X服从正态分布N(220,252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率3【解】设Ai=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由XN(220,252)知由全概率公式有由贝叶斯公式有49 .设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fy(y).1,1x2【解】fX(x)升小X0,其他因为P(1<X<2)=1,故P(e2<Y<e4)=1当y<e2时Fy(y)=P(Y<y)=0.当e2<y<e4时，Fy(y)P(Yy)P(e2Xy)当y>e4时，FY(y)P(Yy)120,ye1即FY(y)Iny1,eye21,ye4