第六章 保形映射

1、第六章 保形映射 z 平面内的任一条有向曲线平面内的任一条有向曲线C可用可用 z=z(t), a a t b b表示表示, z(t0)z(a)z(b)z (t0)1 1 保形映射的概念保形映射的概念它的正向取为它的正向取为t增大时点增大时点z移动的方向移动的方向, z(t)为一连续函数为一连续函数,以下不一一说明以下不一一说明)与与C相切于点相切于点z0=z(t0).如果如果z (t0) 0,a at0b b, 则表示向量则表示向量z (t)(把起点放取在把起点放取在z0. 事实上事实上, 如果通过如果通过C上两点上两点P0与与P的割线的割线P0P的正向的正向ttzttz)()(00的方向相同

2、的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+D Dt)C(z)当点当点P沿沿C无限趋向于点无限趋向于点P0, 割线割线P0P的极限位置就是的极限位置就是Cttzttztzt)()(lim)(0000的向量与的向量与C相切于点相切于点z0=z(t0), 且方向与且方向与C的正向一致的正向一致.z (t0)对应于对应于t增大的方向增大的方向, 则这个方向与表示则这个方向与表示上上P0处的切线处的切线. 因此因此, 表示表示它们交点处切线正向间夹角它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z01C2C我们有我们有Arg z (t0)就是就是z0处处C的切线正向与的切线正向与x轴正向间的夹角轴正向间的夹角;相

3、交于一点的两条曲线相交于一点的两条曲线C1与与C2正向之间的夹角就是正向之间的夹角就是1.解析函数的导数的几何意义解析函数的导数的几何意义:OxyOuvz0P0rzPD DzC(z)(w)G Gw0Q0Qwr rD Dw00z0的一条有向光滑曲线的一条有向光滑曲线: z=z(t), a a t b b,且且z0=z(t0), z (t0) 0, a at0b b. 映射映射w=f (z)将将C映射成映射成w平面内通过点平面内通过点z0的对应点的对应点w0=f (z0)的一条有向光滑曲线的一条有向光滑曲线G G : w=f z(t), a a t b b .设函数设函数w=f (z)在区域在区域

4、D内内解析解析, z0为为D内的一点内的一点, 且且f (z0) 0. 又设又设C为为z平面内通过点平面内通过点OxyOuvz0P0rzPD DzC(z)(w)G Gw0Q0Qwr rD Dw000000000()elimlimlimlimeeiiizzzzzwwwwwfzzzzzz D D D DDDDDD000000lim,limzzwfzArg fzzD D DD因此因此, 在在G G上点上点w0处也有切线存在处也有切线存在, 且切线正向与且切线正向与u轴正轴正OxyOuvz0P0rzPD DzC(z)(w)G Gw0Q0Qwr rD Dw0000.即即Arg f (z0)= Arg w

5、 (t0) Arg z (t0)根据复合函数求导法根据复合函数求导法, 有有w (t0)=f (z0)z (t0) 0.向的夹角是向的夹角是Arg w (t0)=Arg f (z0)+Arg z (t0).1)导数导数f (z0) 0的辐角的辐角Arg f (z0)是曲线是曲线C经过经过w=f (z)若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间则则映射后在映射后在z0处的处的转动角转动角;的夹角理解为曲线的夹角理解为曲线C经过经过w=f (z)映射后在映射后在z0处的处的转动转动角角,2)转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向

6、无关的形状与方向无关. 所以所以 通过通过z0点的可能的曲线有无限多条点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都其中的每一条都OxyOuv(z)(w)z0w0这种映射具有这种映射具有转动角的不变性转动角的不变性.具有这样的性质具有这样的性质, 即映射到即映射到w平面的曲线在平面的曲线在w0点都转动了点都转动了一个角度一个角度Arg f (z0).相交于点相交于点z0的任何两条曲线的任何两条曲线C1与与C2之间的夹角之间的夹角, 在其大在其大ya aOxOuv(z)(w)z0w0a aC1C2G G1G G211222121a小和方向上都等同于经小和方向上都等同于经w=f (z)映射后映射后C1

7、与与C2对应的曲对应的曲线线G G1与与G G2之间的夹角之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质夹角与方向不变的性质.这种性质称为这种性质称为保角性保角性.称为曲线称为曲线C在在z0的的伸缩率伸缩率.00000D DD|()| limlimzzzwwwfzzzz3) 上式表明上式表明 |f (z)|是两象点间距离和两原象点间距离是两象点间距离和两原象点间距离上式可视为上式可视为 000f zf zfzzz01 ,fz0 0表示从z 出发的任一无穷小距离伸长；表示从z 出发的任一无穷小距离伸长；01 ,fz0 0表示从z 出发的任一无穷小距离缩

8、短；表示从z 出发的任一无穷小距离缩短；01 ,fz0 0表示从z 出发的任一无穷小距离不变。表示从z 出发的任一无穷小距离不变。值的极限，从而可视为映射值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点在点z0处沿曲线处沿曲线C的的伸缩率伸缩率, 它与曲线它与曲线 C 的形状及方向无关的形状及方向无关. 所以这种映射所以这种映射又具有又具有伸缩率不变性伸缩率不变性.例例1 求求w= f(z)=z3 在在 z=0, z=i 处的导数值处的导数值,并说明几何意义。并说明几何意义。解：解： w= f(z)=z3在全平面解析，在全平面解析， f (z)=3 z2。 21333ifiie ）在在z=i 处具有

9、伸缩率不变和保角性。处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为伸缩率为3，旋转角为，旋转角为 。 2000),ff zz3 3=z=z 在处显然不具有保角性。在处显然不具有保角性。定理定理1 设函数设函数w=f (z)在区域在区域D内解析内解析, z0为为D内的一点内的一点, 且且f (z0) 0, 则映射则映射w=f (z)在在z0具有两个性质具有两个性质:1)保角性保角性: 即通过即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性伸缩率的不变性: 即通过即通过z0的任何一条曲线

10、的伸缩率均的任何一条曲线的伸缩率均为为|f (z0)|而与其形状和方向无关而与其形状和方向无关.每一点都是保形的每一点都是保形的, 就称就称w = f (z)是是区域区域D内的保形映射内的保形映射. 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保形第一类保形例如例如w z2. 保形映射的概念保形映射的概念定义定义 设函数设函数w = f (z)在在z0的邻域内是一一的的邻域内是一一的, 在在z0具有保具有保角性和伸缩率不变性角性和伸缩率不变性, 则称映射则称映射w = f (z)在在z0是是保形的保形的,或称或称w = f (z)在在z0是是保形映射保形映射.

11、 如果映射如果映射w = f (z)在在D内的内的映射映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为旋转方向相反的映射称为第二类保形映射第二类保形映射。是第二类保形映射。是第二类保形映射。保形映射保形映射.点点保角，在每一点具有保角，在每一点具有伸缩率不变性。伸缩率不变性。例如例如函数函数 在在 是第一类保角的；是第一类保角的； zwe04Imz在在 是保形的。是保形的。0 Im2z定理二定理二 如果函数如果函数w =f (z)在在 z0 解析解析, 且且 f (z0) 0, 则映射则映射w=f (z)在在 z0 是保形的是保形的

12、, 而且而且Arg f (z0)表示这个映射在表示这个映射在 z0的转动角的转动角, |f (z0)|表示伸缩率表示伸缩率. 如果解析函数如果解析函数w=f (z)在在 D内是内是一一的一一的， 且处处有且处处有f (z) 0, 则映射则映射w=f (z)是是 D内的内的即保形映射是把区域双方单值的映射成区域即保形映射是把区域双方单值的映射成区域,在每一在每一在在D内作以内作以z0为其一个顶点的小三角形为其一个顶点的小三角形, 在映射下在映射下, 得到得到OxyOuv(z)(w)z0w0a aa aC1C2G G1G G2定理一的几何意义定理一的几何意义.一个以一个以w0为其一个顶点的小曲边三

13、角形为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形这两个三角形对应边长之比近似为对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等有一个角相等, 即这两个即这两个三角形三角形近似相似近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0a aa aC1C2G G1G G200|( )|( )|wwfzwf zzz伸缩率由此看出映射伸缩率由此看出映射0|zz也将很小的圆近似地映射成圆也将很小的圆近似地映射成圆00| |()| .wwfz2 2 分式线性映射分式线性映射分式线性映射分式线性映射:,()()0dwbzadbccwa0azbabwadbcczdcd2dd()wadbczczd0cwzdwazb 两个分

14、式线性映射的复合两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射仍是一个分式线性映射. 0abab(),w例如例如azbwczd，0aba b ( ),zz0()()( )adbcaba b 式中式中则则也可将一般的分式线性映射分解为一些简单也可将一般的分式线性映射分解为一些简单1211 ,令则令则映射的复合映射的复合,1abaab.w2,( ,)wABA B为常数为常数由此可见由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由一个一般形式的分式线性映射是由i);wzb 下面讨论三种映射下面讨论三种映射, 为了方便为了方便, 暂且将暂且将w平面看成是平面看成是下列三种特殊映射复合而成下列三种特殊映射复合

15、而成:ii);waz1iii)wz与与z平面重合的平面重合的.i)w=z+b: 这是一个平移映射这是一个平移映射. 因为复数相加可以因为复数相加可以O(z)(w)zwb化为向量相加化为向量相加, z沿向量沿向量b的方向平移一段距离的方向平移一段距离|b|后后, 就得到就得到w.ii) w=az :a 0. 这是一个旋转与伸长这是一个旋转与伸长(或缩短或缩短)的映射的映射. O(z)=(w)zwa设设 a=l leia a 将将 z 先转一个角度先转一个角度a a, 再将再将|z|伸长伸长(或缩短或缩短)l l倍后倍后, 就得到就得到 w.关于圆周对称关于圆周对称OP OP=r2,CPPrTOP

16、与与P关于圆周关于圆周C互为对称点互为对称点因为因为D DOPTD DOPT. OP:OT=OT:OP,.因此因此即即OP OP=OT2=r21.ww然后再作出点关于实轴对称的然后再作出点关于实轴对称的点 即得点 即得zw1w1111i i1,i )wwzzww11111(,)iizrewezwrrr1,zwzz要从 作出应先作出点要从 作出应先作出点1| |z关于圆周关于圆周1,w对称的点对称的点1.保角性保角性1./.z曲线的夹角则在整个扩充复平面是保形的曲线的夹角则在整个扩充复平面是保形的分式线性映射的几何性质分式线性映射的几何性质2111iii),wwzzz首先讨论这时首先讨论这时0

17、,z当当 z时时,.是解析函数 因此是保形映射是解析函数 因此是保形映射00 ,zwzw而当时时对这两点作保而当时时对这两点作保0,z形映射的补充规定 任何穿过点的两条曲形映射的补充规定 任何穿过点的两条曲01,/wz线在 点的夹角 就是在无穷远处的两条线在 点的夹角 就是在无穷远处的两条而而i)与与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，定理一定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一分式线性映射在扩充复平面上是一一所构成的复合映射所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上在整个扩充复平面上是保形的是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而分式线性映

18、射是上述三种映射复合而构成的而构成的,因此有因此有对应的对应的, 且具有保角性且具有保角性.的特性的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）（这里将直线看作是无穷大半径的圆）22222222,xyuvuvxyxyxyuvuv或或2.保圆性保圆性映射映射w=az+b和和w=1/z都具有将圆周映射成圆周都具有将圆周映射成圆周这种性质称这种性质称作保圆性作保圆性. 映射映射w=az+b显然具有保圆显然具有保圆性性,下面说明下面说明w=1/z具有保圆性具有保圆性.1,zxiy wuivz令则令则映射映射w=1/z具有保圆性具有保圆性.因此因此, 映射映射w=1/z将方程将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0变为方程变为方程 d(u2+v2)+bu cv+a=0。当当a 0,d 0：圆周映射为圆周圆周映射为圆周;当当a 0,d=0：圆周映射成直线：圆周映射成直线;当当a=0,d 0：直线映射成圆周；：直线映射成圆周；当当a=0,d=0：直线映射成直线：直线映射成直线. 这就是说这就是说, 映射映射w=1/z把圆周映射成圆周把圆周映射成圆周. 或者说或