材料力学内部习题集及答案

1、第二章轴向拉伸和压缩精选文档2-1一圆截面直杆，其直径d=20mm,长L=40m,材料的弹性模量E=200GPa,容重产80kN/m3,杆F =4KN ,试求此杆的:的上端固定，下端作用有拉力最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移B-4000NA5004.8N解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为F N,max801032_ 0.02 40 4000 5004.8N故最大正应力为:FN,max max =AFN,max4FN,max d4 5004.823.14 0.0215.94MPa最大线应变为：maxmaxE415.94 106200 1090.797104当( 为杆内斜

2、截面与横截面的夹角)45时,max0 7.97MPa 2取A点为x轴起点，FnVx Fd2x F (25.12x 44000)N故下端处横截面的位移为:LFNdx0 EAL 25.12x 4000dxEA1一(12.56x2 4000x) 402.87mmEA2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长AL。已知杆横截面面积为A,长度为L,材料的容重为LALJ题2-2解：距离A为x处的轴力为Fn (x) Ax所以总伸长LL旦凶dx0 EAL Ax0 EAdxL22E2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试

3、验测得两杆的纵向线应变分别为 的大小。1=4X10 4, 2= 2X10 4,试确定荷载P及其方位角0题2-3图解：由胡克定律得11E2001094104800105Pa_9_4_5_22E2001021040010Pa相应杆上的轴力为N11gA42gA_5_6_N1800102001016KN1N1-N18KN取A节点为研究对象，由力的平衡方程得N1gsin30oN2gsin30oPgsinN1gcos30oN2gcos30oPgcos解上述方程组得10.89°P21.17KN2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1=F2=F,已知杆的横截面面积为A,材料的应力一应变关系为hc

4、(T,其中cn为由试验测定的常数。(1)试计算杆的总伸长；(2)如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3)当n=1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？下|J|F（a）fn图HMmF3fn图mmnniiiiF©Fn图UUll解：（1）轴力图如图（a）所示根据cnli2FnOKli2nFnacAnl2anI2Fnac-AiiI2(2nI)acFnAn（2）采用叠加法。单独作用Fi时，轴力图如图（b）所示。li/F、n c(A)liF acA单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。I22anI2Fn 2ac- A(3)当3acFnATn=i时，上述两解答相同。结论:只有当2-5

5、试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移,与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。已知两根杆的抗拉刚度均为EAo(b)FcdC'CCd(c)解：取C点分析受力情况，如图（b）所示，得FcdF,Fbc0因此只有CD杆有伸长IcdEAFL变形几何图如图（c）所示，得xyEAG、H。已知钢丝的E=2i0GPa,2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮绳横截面面积A=i00mm2,荷载F=20KN,试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）解：首先要求绳的内力(b)，T。刚性梁ABCD的受力分析如图由平衡方程：Ma0解得：TKN7绳的原长L2428m绳的伸长量为L出EA2i08

6、07I0396i0i00i034.35i0m在F作题2-6图用下结构变形如图（c）,可得：LbLdL4.35103m再由三角几何关系得:(2)LBAB5FAD9由(1)、(2)式联立可得:Lb1.55103m又因为:LBLcABAC所以,LC32.49 10 m2.49mmdi=20mm, Ei=200GPa；杆 BD 为铜质2-7图7K结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径圆截面杆，直径d2=25mm,E2=100GPa,试求：(1)外力F作用在何处(x=?)时AB梁保持水平？(2)如此时F=30kN,则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1).容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为

7、则两杆伸长量应相等，即若要AB梁保持水平,2 xFn1 F ,Fn22从而AC杆、l1Fn111EiAFN 2l 2BD杆的伸长量4日12 皿4Fn2122E2d2l1l2 .4Fl1 l x2E&l4Fl2x2E2d2l4Fl1 l x于是，E1d1 l4Fl2x2E2d2lx 2LE2d22LE2d2l2LEd1.59100910220.025 291.5 100 10 0.025 1 200 10 0.0201.08m.当F30kN,x1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为A1FN2_22d1xF-22d232301021.0823.140.0244MPa303101.082

8、3.140.02533MPa2-8图示五根杆的较接结构，沿其对角线AC方向作用两力F=20kN,各杆弹性模量E=200GPa,横截面面积A=500mm2,L=1m,试求：faAC之间的相对位移Aac,若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移Abd又如何？解：（1）取A节点为研究对象，受力分析如图（b）(a)由平衡方程:Fay0,Fsin450,Fcos45Fab0Fad0(b)得FabFad二-F2同理，可得：FcdFcb102kNB节点受力分析如图（c）10.2kNFx0,Fbd20kNcos45AB,BC,CD,DA四杆材料相同，受力大小相同,可求得整个杆件应变能为：所以四个杆的应变能

9、相同,题2-8图F2,FAB4-2EA力F作的功为:所以BD从而BD2-9.2Fbd2LB6.82J2EAIFAC由弹性体的功能原理得:If2ACac6.826.822201030.682mm2当两力F移至B.D两点时，可知，只有BD2f2l2EA2FL220103EA2001095001060.283mmA=200mm2,杆受力，轴力为FE=200GPa,试求每根杆横截面已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为图示结构,上的应力及荷载作用点B的竖向位移。解：取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴,故Fx。，即FndFne,Fy0，即FFna2Fndsin300,于是得FFnaFnd,Ma0,

10、即32Fndsin306F0,于是Fnd2F21020KN,解得：Fne20KN,Fna10KN所有构件的应变能为10030460202FaFb010160202360430468Fb0max* FsS 工b区1bhIzb 2 4312 70 100.5 8 0.30.7MPa<1MPa由功能原理得，F作的功在数值上等于该结构的应变能1即：一FBV2所以2V2 42.5310 108.5mm.2-10图示结构，已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a抗拉刚度均为EA试求各杆轴力，并求下端B点的位移。(d)解：（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示由Fx0得F3F4口2得F3F

11、4-2F2b）所示以刚性杆为研究对象，受力图如图（由Fx0得F1F2由Fy0得F1F2蟹F(2)由于1,2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降(如图(c)lBi由于lB2则1b2 li2 I22F1a ( 2 1)FEA EA4杆的伸长引起B点的继续下降(如图(d)2 I32F3a2 2Fa 上EA 2EA EA1b1b2 .Fa2 EA290N 的2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在拉力作用下将被拉断。(1)如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断?(2)如改变a角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少?解：(1)取整体作为

12、研究对象，经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知，每根绳子竖直方向受力为F=250N.而cos0.972250则F257N290N0.972于是此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时Fucos250其中Fu290N贝Ucos2500.862290(2)2(024)解得：L0.789m答：(1)N=417N(2)L=1.988m题2-11图题2-12图2-12图示结构，BC为刚性杆，长度为L,杆1、2的横截面面积均为A,其容许应力分别为回和司，且句=2司，荷载可沿梁BC移动，其移动范围0<x<L,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，

13、Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A,而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式FA可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点X的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力,即Fbd2Fec此时，对力的作用点求矩得:FbdXFec(Lx)0解得：xL3此时，由竖直方向的受力平衡得：F BDF ECFmax1A2A31A2-13图示结构，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿杆AC移动试问：为使BD杆的重量最轻，BD杆与AC杆之间的夹角应取何值？解：如图所示,FBDsinlBDcos0Abd而FbdABD则lBDFL1.八sin22

14、lBD要想使重量最轻，应该使解得：Q=45osin29最大，即2佐90o题2-14图2-14较接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力d=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。取整体为研究对象，对A点取银，由MA0得:F2Fd60解得：Fd取D节点为研究对象,由平衡方程得:FBDFbdFdFBD,3222FCDDFd则可以解得:FBD1.8Fd0.6FFCD0.83F3D0.5FFABFBd同理，对于B节点，也有平衡方程:FBDFFba032FBDFab03222则可以解得:FABFbd0.6F于是,由许用应力定义得:AAB0

15、.61501000ACDFCDn1251060.515010001251062-15圆截面钢杆如图所示，已知材料的应力。7.2104m26104m2E=200GPa,720mm22600mm若杆内应变能U=4N-m,试求此杆横截面上的最大正20mmF1500mm_250mm_250mm_题2-15图解：各截面压力相同为应变能U国2EA代入数据可得FF2l22EA2F2l32EA3maxFFATA28.36kN90.3MPa2-16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA,试求此杆的应变能。解:Fn图2F2a题2 - 16 图如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。UU1U2_22_2

16、其中：U1F1L(3F)2a9Fa2EA2EAEA_2_2_2F2L(F)aFa2EA2EA2EA则：UUiU29F2aF2aEA2EA19F2a2EA第三章3-1直彳仝d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力max=100Mpa,试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。解：法1距圆心处切应力为2_()max-'d阴影部分扭矩Me0.10.0573.6 k m法2:距离圆心处切应力为max2_ dMeA()dA10.05 2 max0 dA10.12max0d73.6kN3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管B和杆A材料的剪切Mt时，实心杆

17、与空心管中的最大切应力表达式。弹性模量分别为Gb和Ga。试分别求出该组合杆承受扭矩答：实心杆:maxGA I PAMtGAI PA GBI PBI PADa-2-,空心管:maxGIPBMtdbGAI PA GBIPBI PB解：设实心杆受扭矩 Ma,空心管受扭矩 Mb,且两杆的最大切应力出现在外边缘处,由已知得ma+mb=mt对两杆接触截面的相对转角相同，即口MaIMbIa=G-n'b=G"n；M T GBI PBB 一，GaI paGb I pbGAIPAGBIPBMtGaipa所以MB=TAPA一GaIpaGbIpb则实心杆:M aDA 2 max -I PAGA I

18、PAMtDaGAI PA GbI PB I PA空心管:max3-3图示受扭轴, 少（用百分比表示）？MbDbGB I PBMtDbI PBGa I PAGbI PB I PBMtDaDbAB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多A-'E(a)(b)解：由题意可知，从强度方面考虑,即:Tmax 圆max截面为圆时,Tmax 圆d316当截面为正方形时，如图b查表可得，当1时,0.2083p正一b0.2082r 30.588r3所以Tmax正 p正30.588r3Tmax 正0.588rk =Tmax 圆37.5 00所以降低为:3r21 k 62.500

19、3-4受扭转力偶作用的圆截面杆，长 L=1m,直径d = 20mm,材料的剪切弹性模量 G = 80GPa,两端截面的相对扭转角L0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变X横截面上的最大切应力Bax和扭转力偶矩Meo答：产1X103,max=80MPa,Me=125.6N?m解：由公式Ml,IG1Pd4P 一日2得出Me=125.6N?mImaxMWP125.6157 10 8=80 MPa,80 10 6=9G 80 10=110题3-4图3-5圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86o,如杆长L=300mm试求端截面的扭转角；如果材料

20、的G=2.7MPa,试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Meo题3 - 5 图4解：90864rad1802所以1.047rad64maxG2.7100.188MPamax180MeL32MeL一另外因为y2.367NmGIGd4所以Med432L2.367Nm3-6 一根在A端固定的圆截面杆 端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面 置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。杆在BC处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶Md和Me。当刚题3-6图Fb-Me+MdMe图解：扭矩图如图(a

21、)所示要保证指针及刚性臂保持水平则ACCB0(FbMeMD)aACGI2Fb2MeMd(FbMe)GIP(1)CB(FbME)aGIPFb2a0GIP得FbMe2Fb0(2)(1)、(2)两式联立得MD4FbMe3Fb3-7图示圆截面杆，其全长受集度为用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。m=的均布扭转力偶作用,L并在中点受其矩为T的扭转力偶作rTTTTnTn+f解：对1-1截面，有Mx0,Tim(Lx)0._T_x_IT(Lx)TxT.对2-2截面，有Mx0,T2m(Lx)T0.TxT2T(Lx)T-.2LL作出扭矩图.(2)杆的应变能_2LT2(x).dx02GIpSdx02GIpl(吟T

22、)2LLdx22GIpT2L24GIp解：(a)1、MAAC段:CB段:第四章弯曲应力4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。q0q0JljIirl_V-i11T-1二L/2L/2计算支反力(c)由平衡方程:即Fb2a即FaFbaqa-2qa2、列剪力、弯矩方程Fs(x)qxq3qaFs(x)qx-y3、作剪力、弯矩图Fs图qai，qa3a(b)1、计算支反力MA0即FbY0即FaqaM(x)Mq=60kN/mfiTlfl-得Fb得Fa2qx22m2m(b)M(x)qa22qx2qa22ll>(a)由平衡方程:260一3qa2qa2l+：qa2106032020Fb60600M=20kNm_M

23、=qa2/3(d)q(a)Fb(0a)3qax22qa30(ax2a)30qaTFs图(kN)得Fb得Fa3029.36(b)M图(kNm)2030kN30kN1129.36ini-i20MAFaq=60kN/mIIII"一M=20kNm2m2mFb(b)2、列剪力、弯矩方程AB段:_,._2一一Fs(x)15x60x30_32M(x)5x30x30x20(0x4)3、(c)1、作剪力、弯矩图计算支反力由平衡方程:q。Ma0即FbqcLlL46qpL5L6得FbqoL4q0CBY0即Faq°LFB4q°L2、列剪力、弯矩方程得Faq°LFaL/2L/2A

24、C段:Fs(x)2q°xCB段:Fs(x)L2q°x"T"%xq°LM(x)3q°x2%xq°Lx3Lq°xq°L"TM(x)3%x"3L"2q°xq°Lx4(c)(0x刍q°L2(72'3、作剪力、弯矩图q°l1-q°lTFs图3qa4|qauui;-;l.1-4-3qa44q0l2|llin|P"M图f(c)(d)1、计算支反力由平衡方程:2问3q史3q2a-2©qa2BFp艮oAM0得fb34

25、aM=qa2/3nzirum八t】即FaFbqaqa2得Fa3qa4Fa2、列剪力、弯矩方程FbAC段：Fs(x)qx2CB段：Fs(x)吐2a3qa42qx5qa4M(x)空-3qax(0xa)2432qx25qaqaM(x)qxx6a46(d)(ax2a)3、作剪力、弯矩图4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。5kN5kN - m10kN/m(e)解：(a)1、MaCA段:AB段:qaq(a)M=2qa(c)(d)aqqaqa2qaq=qa2qa计算支反力由平衡方程:即Fb2a即FaFbqaa2qaqa2qa2、列剪力、弯矩方程Fs(x)qaM(x)Fs(x)qx2qa3、作剪力、Fs图弯矩图q

26、a1+uqaa22qaqaxM(x)qa20得FB得Fa(02qx2qaqa2M图.“川田代I巧川8川川I川III(a)(b)1、计算支反力由平衡方程:Ma0即Fb3512020得fbY0即FaFb5200得Fa2、列剪力、弯矩方程CA段：Fs(x)5AD段：Fs(x)10M(x)M(x)5x10x(015(f)2.3m1.8m2.2myciiu,2.5kN-m1.2kN-m/m2qaqaxa)2qax”Fs图(kN)qaAaFA(a)(ax3a)(kNm)10kN15kN5kN2qaBFb5TIT+IIllh丁(b)5kNmFa1m1m10kN/m2mx1)(1x(b)2)精选文档DB段：F

27、s(x)10x30M(x)_2_、5x30x40(2x4)3、作剪力、弯矩图(c)1、计算支反力由平衡方程:Ma0即Maqa2qaqa3a万qa2a得Ma25qaMa2M=21aqP=qaY0即Faqaqaqa得Faqa2、列剪力、弯矩方程FaAB段:Fs(x)qxqaM(x)2qxqax225qa(0xa)BC段:Fs(x)qx3qa2qxM(x)23qax24qa(ax2a)3、作剪力、弯矩图2qaqaqaFs图IMOILUM+MBIIMUqa6FS图i,iinr(d)1、Ma(c)r25qa2U-3qa2m001MM3L计算支反力(c)由平衡方程:3a_0即Fb3aqa一qa20得Fb5

28、qa62,qa5qa2b5qaFqa2丁+1：Y0即FaFbqa得Faqa6(d)62、列剪力、弯矩方程(d)AC段:Fs(x)qa6M(x)qax6(0xa)CD段:Fs(x)qx7qa6M(x)2qx2DB段:Fs(x)5qa6M(x)5qax67qa65qa222qa2(2a(ax2a)3a)3、作男力、弯矩图(e)1、计算支反力由平衡方程:cMp艮oa-2©q2qaFC得3a22A_aqaBFeMe2、列剪力、弯矩方程(e)2AB段：Fs(x)0M(x)里(0xa)2精选文档(ax 2a)BC段：Fs(x)qx2qx2M(x)号qa3、作剪力、弯矩图0.51Fs图llllll

29、ljl+NlllllirnnTqa丁qalll|ll|(-|2qaqa2A.ii|一(f)1、计算支反力(e)由平衡方程:Ma0即Fb4.52.51.2得Fb即Fa得Fa0.51kNFs图(kN)M图(kN0.51kN2163.68川川iiui11-MX1.2kNm/m2.5kN-mFa1.8mDCA段：Fs(x)0M(x)1.2x(0x1.8)AD段:Fs(x)0.51M(x)0.69x0.92(1.8x4)DB段：Fs(x)0.51M(x)0.51x3.22(4x6.3)列剪力、弯矩方程2、3、作剪力、弯矩图2.2m2.3m(f)4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图梁

30、内若有集中力偶，则作用在右端。Fs(a)荷载图(b)解：依据剪力与弯矩的微分关系作图10M图0,.”.M图一川I”-口(kNJ,m)0.5"I1I|+|IH0.5(kN：m)"“川I：+川川一2.574kNI*-荷载图*0.5kN-m*M11HTP-q=3kN/m(a)4-4已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图解：依据剪力与弯矩的微分关系作图荷载图Fs图荷载图FFs图Fs图qL-2+1|(a)LFLZ荷载图2FLlqL2(b)FTT+Fs图(kN)2kNI-m荷载图1TT+8kNI-m(d)(c)4-5试作图示简单刚架的内力图。(a)(b)(c)(d)Ma2

31、qa2解：(a)1、计算支反力由平衡方程:ar0即Maqa2qaa0得MAX0即Faxqa0得Faxqa丫0即FAyqa0得FAyqa2、列内力方程AB段:Fn(x)qaFs(x)qaM(x)qax2qa彳(0xa)BC段:Fn(xi)qaFs(xJqxM(xJ2qxi2(0xia)3、作内力图计算支反力由平衡方程得Fs图q2a2Bn2qa2M图(b)1、Fax2qaFAyqa2Ma3qa2、列内力方程AB段:Fn(x)qaFs(x)qx2qaM(x)BC段:3、Fn(X)0作内力图Fs(xi)qaqax2qx2(022qax3qa(0x2a)(c)1、2、AB段:BC段:CD段:3、Fn图计

32、算支反力M(x)Fs图xia)列内力方程MFNc2aFn(x)0Fn(xi)作内力图2a由平衡方程得FAFs0Fs(x)2aFs(xi)02a2aM(x)M一x2a(02a)M(%)M2aJIFs图精选文档(0(axia)2a)xiM图(d)1、计算支反力由平衡方程得FaxqaFAy3qaqa"22、列内力方程AB段:Fn(x)3qa2TFs(x)qaM(x)qax(0x2a)BC段:Fn(X1)qaFs(Xi)q*3qaTM(Xi)等2qa2(0X2a)CD段:FN(X2)qa2FS(X2)qa0(0(aX2a)x22a)M(x2)qax202qa(a解:3、3qa2qa2(0x2

33、X2a)2a)作内力图4-6试作图示梁的内力图。Fs图2qa22qaq昌(a)(b)qLqlFBxqa2AFaFBy(b1)对系统进行受力分析(如图Fx0得Fbx2qlb1)Mb0得Fa2qh,由Fy0得FBy2qh因此图示梁的内力图如图b2所示。(M图有问题)精选文档1,4-7试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成a-L?4解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时，由对称可知最大弯矩发生在正中，即 MF Lmax1一2 2FL42、当力F在最边缘位置时，由平衡条件:MaFb L F (L a)0 得Fb最大弯矩发生在FaFbF 0得FaB 处，即 Mmax2Fa所以

34、，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即it题4 - 7图/2FLFL44-8试推导梁受均布弯曲力偶 解：由题意如图所示，由平衡条件:m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。Ma 0即 FB L m 0得Fb.一一x一 mAB所以AB段:即 FaFb0得FaFF BFs(x)mL4-9已知悬臂梁及其剪力图如图若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转向。(a)Fs(b)L/2qa/2A,L/2qL题4 - 9 图q； C点受集中力F qL ； BC段受均布力，大小为q解：由剪力图知AC段受均布力作用，大小为则

35、可作出荷载图与弯矩图如下：荷载图FB=-qL、MB=4L2qLqL2-8-i|-一"+qL2-44-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M(x)naq+bW+c,其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义题4-10图.32解：M(x)axbxc当 x=0 时，M(o)c 因此c表示自由端作用的弯矩为co由M(x)ax3bx2c为三元一次函数得知，集中荷载为一元一次函数，令qexf并且以自由端为原点建立坐标系(如图所示)x,、qo得M(x)c°q(l)(xl)dlaxbxcx即o(elf)(xl)dl

36、ax3bx2所以q6ax2b。4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小,试求外伸端的长度 a与梁长L之比。题4-11图解：1、计算支反力由平衡方程:Ma0 即 Fb (L a) qL L2得FbqL22(L a)0 即 Fa Fb qL得FaqL(L 2a)2(L a)2、列剪力、弯矩方程AB段:Fs(x)qxqL(L2a)2(L a)M (x)2qx2J i')BC段:Fs(x)qxqLM(x)2qx2qLx也 2(L a x L)3、作弯矩图qa2F-I-Ill|,J"Jll|+|llll，rqL2(L-2a)2天

37、汇石厂2224、由弯矩图可知，当q(L一驾qa时，最大弯矩值最小,8(La)2解彳ta0.293L或a1.707L(舍去)B放在什么位置时，跳4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定较支座，试从最大弯矩考虑，支座板的受力最合理?(a)题4-12图F BB7 x :F/2FsF/2FsxF/(L-xFx一rrTTmTTTnTlTnTHTI己kF(L-/4(b)解：如图(a)所示，当F位于AB中点C或者位于跳板的右端点D时，会在跳板上产生最大的弯矩。当F位于C处时:Fy 0 所以 FaFb 0Lx又Ma0所以FFb(Lx)02所以FaFb此时弯矩图如图(b)所示。2当F位于D处时:Fy0所以Fa

38、FbF0Ma0所以Fb(Lx)FL0得FbFL因此FaFFbFx此时弯矩图如图(c)所示。最合理时Mmax1Mmax2即Fx四d,得x上，因此当54-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为1-1上的弯矩。x时最合理。5p为均匀压强，试求此环在任意截面h(垂直于纸面)，题4-13图解：如图，在任意截面1-1处，在1-1截面与开口之间取一小段长为Rd，宽为h,则所受合力FpdSphRd2对截面1-1处的弯矩为mFRsinphRsind22所以对整段环的合弯矩为M0phRsindphR(1cos)4-14如图所示，已知bxh的矩形截面杆，其弹性模量为E,承受三角形分布载荷P(x),其方向与x轴夹角

39、为，试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为x和dx处的两横截面，设坐标为题4-14图x处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(x)、Fs(x)和M(x)。该处的荷载集度为q(x),则在坐标为xdx处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(x)dFz(x)、Fs(x)dFs(x)和M(x)dM(x)。梁段在以上所有外力作用下平衡。故Fx0,即Fn(x)Fn(x)dFN(x)p(x)dxcos0,解得：dFN(x)p(x)cos;dx又Fy0,即Fs(x)Fs(x)dFs(x)p(x)dxsin0,解得：dFs(x)p(x)sin;dxdxh再由MC0,即M(x)dM(x)M(x)FS(x)

40、dxp(x)dxsinp(x)dxcos-0,二阶无穷小项得：迹Fs(x)pxhosdx24-15宽为b=30mm,厚为tE=200GPa,比例极限（p=400MPa,=4mm的钢带，绕装在一个半径为若要求钢带在绕装过程中应力不超过R的圆筒上。已知钢带的弹性模量试问圆筒的最小半径R应为多少？解：由题意钢带的曲率为pWZEIEI且一可知pWzp越大，R越大;所以Rm®旦pW4Eymax9200101034001061m4-16空心圆截面梁如图所示。试求横截面1-1上K点处的正应力,并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大，其值等于多少?题4-16图解：1、求支反力由平衡方程Ma0即F

41、b3a7FaFaF2a0得Fb2F0即faFbF得Fa2F2、求1-1截面处的弯矩Mi12FFa3、求该截面上K点处的正应力4、求max其中M所以MmaxM11yKIzdoFa-sin45444旦11642S'卓由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处,7FaMa7Fa2Fa5Fa,Md2Fa,Mb0Fa26.9 37Fa-sin45oMmaxy4Kmax；"4"Izd4116424-17用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：设截面面积为A应4A,圆形截面直径为d,正方形截面边长为 a,则有由公式My得最大正应力分别为Iz圆形dM 2丁32"d3正方形aM 2 a 12所以一士圆形632320.8474-18T形梁截面如图所示。已知截面上M=3.1kN-mi,Iz=53.1X106m4,试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上