第三章数列单元测试

1、第三章数列单元测试（一）试题详解说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答共100分，考试时间90分钟第卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A34B35C36D37考查等差数列的应用【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n1）·11=11n+99，由an500，解得n364，nN*，n36【答案】C2在数列an中，a1=1，an+1=an21（n1），则a1+a2+

2、a3+a4+a5等于（）A1B1C0D2考查数列通项的理解及递推关系【解析】由已知：an+1=an21=（an+1）（an1），a2=0，a3=1，a4=0，a5=1【答案】A3an是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A24B27C30D33考查等差数列的性质及运用【解析】a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=2×3945=33【答案】D4设函数f（x）满足f（n+1）=（nN*）且f（1）=2，则f（20）为（）A95B97C105D192考查递推公式的应用【解析】f（n+1）f（n

3、）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=97【答案】B5等差数列an中，已知a1=6，an=0，公差dN*，则n（n3）的最大值为（）A5B6C7D8考查等差数列的通项【解析】an=a1+（n1）d，即6+（n1）d=0n=+1dN*，当d=1时，n取最大值n=7【答案】C6设an=n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和最大（）A第10项B第11项C第10项或11项D第12项考查数列求和的最值及问题转化的能力【解析】由an=n2+10n+11=（n+1）（n11），得a11=0，而a10>0，a12<0，S10=S11【答案】C7已知等差

4、数列an的公差为正数，且a3·a7=12，a4+a6=4，则S20为（）A180B180C90D90考查等差数列的运用【解析】由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=4与a3·a7=12联立，即a3，a7是方程x2+4x12=0的两根，又公差d>0，a7>a3a7=2，a3=6，从而得a1=10，d=2，S20=180【答案】A8现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A9B10C19D29考查数学建模和探索问题的能力【解析】1+2+3+n<200，即<200显然n=20时，剩余钢管最少，此时

5、用去=190根【答案】B9由公差为d的等差数列a1、a2、a3重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6是（）A公差为d的等差数列B公差为2d的等差数列C公差为3d的等差数列D非等差数列考查等差数列的性质【解析】（a2+a5）（a1+a4）=（a2a1）+（a5a4）=2d（a3+a6）（a2+a5）=（a3a2）+（a6a5）=2d依次类推【答案】B10在等差数列an中，若S9=18，Sn=240，an4=30，则n的值为（）A14B15C16D17考查等差数列的求和及运用【解析】S9=18a1+a9=42（a1+4d）=4a1+4d=2，又an=an4+4dSn=16n=240n

6、=15【答案】B第卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11在数列an中，a1=1，an+1=（nN*），则是这个数列的第_项考查数列概念的理解及观察变形能力【解析】由已知得=+，是以=1为首项，公差d=的等差数列=1+（n1），an=，n=6【答案】612在等差数列an中，已知S100=10，S10=100，则S110=_考查等差数列性质及和的理解【解析】S100S10=a11+a12+a100=45（a11+a100）=45（a1+a110）=90a1+a110=2S110=（a1+a110）×110=110【答案】11013在9和3之间插入n个

7、数，使这n+2个数组成和为21的等差数列，则n=_考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念【解析】21=，n=5【答案】514等差数列an，bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用【解】=【答案】三、解答题（本大题共5小题，共54分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，与3，7，11，均有100项，问它们有多少相同的项？考查等差数列通项及灵活应用【解】设这两个数列分别为an、bn，则an=3n+2，bn=4n1，令ak=bm，则3k+2=4m13k=3（m1）+m，m被3整除设m=3p（pN*），则k

8、=4p1k、m1，100则13p100且1p25它们共有25个相同的项16（本小题满分10分）在等差数列an中，若a1=25且S9=S17，求数列前多少项和最大考查等差数列的前n项和公式的应用【解】S9=S17，a1=25，9×25+d=17×25+d解得d=2，Sn=25n+（2）=（n13）2+169由二次函数性质，故前13项和最大注：本题还有多种解法这里仅再列一种由d=2，数列an为递减数列an=25+（n1）（2）0，即n135数列前13项和最大17（本小题满分12分）数列通项公式为an=n25n+4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并

9、求出最小值考查数列通项及二次函数性质【解】（1）由an为负数，得n25n+4<0，解得1<n<4nN*，故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项（2）an=n25n+4=（n）2，对称轴为n=25又nN*，故当n=2或n=3时，an有最小值，最小值为225×2+4=218（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟

10、后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n+5n=70整理得：n2+13n140=0，解得：n=7，n=20（舍去）第1次相遇在开始运动后7分钟（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n+5n=3×70整理得：n2+13n6×70=0，解得：n=15或n=28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟19（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn1=0（n2），a1=（1）求证：是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1n）an（n2），求证：b22+b32+bn2<

11、1考查数列求和及分析解决问题的能力【解】（1）an=2SnSn1，Sn+Sn1=2SnSn1（n2）Sn0，=2，又=2，是以2为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）=2+（n1）2=2n，Sn=当n2时，an=SnSn1=n=1时，a1=S1=，an=（3）由（2）知bn=2（1n）an=b22+b32+bn2=+<+=（1）+（）+（）=1<1第三章数列单元测试（二）说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答共100分，考试时间90分钟第卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1设数列an、bn都是

12、等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由an+bn所组成的数列的第37项值为（）A0B37C100D37考查等差数列的性质【解析】an、bn为等差数列，an+bn也为等差数列，设cn=an+bn，则c1=a1+b1=100，而c2=a2+b2=100，故d=c2c1=0，c37=100【答案】C2设an为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（）an2panpan+qnan（p、q为非零常数）A1B2C3D4考查对等差数列的理解【解析】pan、pan+q的公差为pd（设an公差为d），而nan、an2不符合等差数列定义【答案】B3在等差数列an中，a1>0，且3

13、a8=5a13，则Sn中最大的是（）AS21BS20CS11DS10考查数列和的理解【解析】3a8=5a13d=a1<0an0n20【答案】B4在an中，a1=15，3an+1=3an2（nN*），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（）Aa21和a22Ba22和a23Ca23和a24Da24和a25考查等差数列通项及运用【解析】an+1an=，an=15+（n1）（）=an+1an<0（452n）（472n）<0<n<n=23【答案】C5若数列an前n项和Sn=n22n+3，则这个数列的前3项为（）A1，1，3B2，1，0C2，1，3D2，1，6考查通项及数列的

14、和【解析】a1=S1=2，又a3=S3S2=3【答案】C6数列an中，an+1=，a1=2，则a4为（）ABCD考查数列通项及变形【解析】=+3，=+3（n1）=3n，a4=【答案】B7设an是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，且S5<S6， S6=S7>S8下列结论错误的是（）Ad<0Ba7=0CS9>S5DS6和S7为Sn最大值考查等差数列求和及综合分析能力【解析】S5<S6，S6=S7>S8由S6=S7a7=0，S7>S8d<0显然S6=S7且最大【答案】C8在等差数列an中，已知a1+a2+a50=200，a51+a52+a100=2

15、700，则a1等于（）A20B20C21D22考查等差数列求和公式，通项公式的灵活运用【解析】a51+a52+a100=（a1+a2+a50）+50×50d=2700d=1，S50=50a1+×1a1=20【答案】B9设f（n）=+（nN*），那么f（n+1）f（n）等于（）ABC+D考查函数与数列概念、项与项数的代换【解析】f（n+1）=+【答案】D10依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21nn25），（n=1，2，12），则按此预测在本年度内，需求量超过15万件的月份是（）A5月、6月B6月、7日C7月、8日D8

16、月、9日考查数列的求和和通项【解析】第n个月需求量an=SnSn1=（n2+15n+9）， an>15得（n2+15n+9）>15解得：6<n<9，n=7或8【答案】C第卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11等差数列an中，a1=5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_项考查等差数列的性质和运用【解析】由5×11+d=55，得d=2由an=5，an=a1+（n1）d得n=6【答案】612在首项为31，公差为4的等差数列中，与零最接近的项是_考查等差数列通项及不等式基本知识【解

17、析】an=354n由7 得a8=3，a9=1，最接近的为a9=1【答案】113在等差数列an中，满足3a4=7a7且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_考查等差数列的前n项和及运用【解析】设公差为d，得3（a1+3d）=7（a1+6d），d=a1<0，令an>0解得n<，即n9时，an>0同理，n10时，an<0S9最大，故n=9【答案】914已知f（n+1）=f（n）（nN*）且f（2）=2，则f（101）=_考查函数、数列的综合【解析】f（n+1）f（n）=，f（n）可看作是公差为的等差数列，f（101）=f（2）+99d=【答

18、案】三、解答题（本大题共5小题，共54分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分8分）在等差数列an中，a1=60，a17=12（1）求通项an，（2）求此数列前30项的绝对值的和考查等差数列的通项及求和【解】（1）a17=a1+16d，即12=60+16d，d=3，an=60+3（n1）=3n63（2）由an0，则3n630n21，|a1|+|a2|+|a30|=（a1+a2+a21）+（a22+a23+a30）=（3+6+9+60）+（3+6+27）=×20+×9=76516（本小题满分10分）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn考查等差数列基础知识及技巧、运算能力【解】设等差数列an公差为d，则Sn=na1+n（n1）dS7=7，S15=75，a1=2，d=1，=a1+（n1）d=2+（n1）=为等差数列，其首项为2，公差为，Tn=n2n17（本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12， S12>0，S13<0（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3S12中哪一个值最大？并说明理由考查数列的性质与最值、灵活变换能力【解】（1）依题意即，由a3