数学思想在小学课堂中的渗透

1、数学思想在小学课堂中的渗透所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法 的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。重视思想方法的教学是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要。正如布鲁纳所说“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。 ”理论研究和人才成长的轨迹也都表明， 数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起着

2、重要作用。正是由于数学思想方法是如此的重要，数学教学不能单纯只教给学生它的概念、公式、定理、法则，更重要的要教给学生这些内容反映出来的数学思想方法。古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年 龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受， 二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的 。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为，以下几种数学思想方法学生不但容易接受，而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用 .一、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、 解决问题， 就是数形

3、结合思想。 “数形结合”可以借助简单的图形、 符号和文字所作的示意图， 促进学生形象思维和抽象思维的协调发展， 沟通数学知识之间的联系， 从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。 它是小学数学教材编排的重要原则， 也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。 我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。二、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法 , 继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象， 这种

4、思想就是集合思想。 集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性， 可以看作一个整体， 这个整体就是一个集合。 利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系， 如 长方形集合包含正方形集合， 平行四边形集合包含长方形集合， 四边形集合又包含平行四边行集合等。三、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、 实物与实物、 数与算式、 量与量联系起来，渗透

5、对应思想。如人教版一年级上册教材中， 分别将小兔和砖头、 小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。四、函数的思想方法恩格斯说： “数学中的转折点是笛卡儿的变数。 有了变数， 运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。 ”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。 函数思想的可贵之处正在于它是运动、 变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。 学生对函数概念的理解有一个过程。 在小学数学教学中， 教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想

6、。函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察 20 以内进位加法表 ，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想， 其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。五、极限的思想方法极限的思想方法是人们从有限中认识无限， 从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。 在“自然数” 、“奇数”、 “偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的， 奇数、 偶数的个数有无限多个， 让学生初步体会 “无限” 思想；在循环小数这一部分内容中，1 + 3=0.333是一循环小数

7、，它的小数 点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。六、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的的问题， 通过转化过程， 归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。 客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。 任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程， 是一个等价转化的过程。 化

8、归是基本而典型的数学思想。 我们实施教学时， 也是经常用到它， 如化生为熟、 化难为易、 化繁为简、化曲为直等。如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法； 异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。七、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况， 从而归纳出一般的规律和性质， 这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。 数学知

9、识的发生过程就是归纳思想的应用过程。 在解决数学问题时运用归纳思想， 既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律， 提出新的原理或命题。 因此，归纳是探索问题、 发现数学定理或公式的重要思想方法， 也是思维过程中的一次飞跃。如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和， 最后归纳得出所有三角形的内角和为 180 度。 这就运用归 纳的思想方法。八、符号化的思想方法数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过： “什么是数学？数学就是符号加逻辑。

10、”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析， 即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。 ”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了 “体操进行曲” 。 现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。人教版教材从一年级就开始用“口”或“（）”代替变量x , 让学生在其中填数。例如：1+2=0, 6+（） =8 , 7 = + + + + + +；再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个？ 要学生填出口。口 = （个）。符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。数学符号是抽

11、象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。因此 ，教师在教学中要注意学生的可接受性。九、统计的思想方法在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题， 就要把收集到的一些原始数据加以归类整理， 从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。例如，求平均数是一种理想化的统计方法。 我们要比较两个班的学习情况， 以班级学生的平均数作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法下面我重点谈谈转化思想在五六年级数学教学中的渗透。1. 转化在运算中的应用小学数学知识很多都是以旧知识为基础，在旧知识的基础上不断发展、变化、提升

12、，从而形成新知识，尤其在运算法则的形成，体现的更是淋漓尽致。从整数加减的运算法则到小数加减的运算法则，从同分母加减的运算法则到异分母加减的运算法则， 从整数乘、 除法 的运算法则到小数乘除法的运算法则再到分数乘除法的运算法则， 它 们之间几乎都是转化将它们联系在一起， 其间都渗透了转化的数学思想，转化这种无形的数学思想方法，将显性的数学知识联系在一起，从而实现了知识的生成、发展、提升，也促进了学生的发展。例如：在教学“小数乘整数”时，教材是这样编排的：例 1：每个风筝3.5 元，买 3个风筝多少钱？方法 1： 3.5+3.5+3.5=10.5 （元）方法2: 3.5 元=3元5角 3 元X 3

13、=9元 5 角X3=15角 9 元+ 15角=10.5 元方法3：把3.5 元看作 35角35X3=105 （角）=10.5 （元）很显然，编者的意图是由学生根据实际问题中的具体条件通过自主探索笔算算法的过程， 体现算法多样化， 并注意用学生已有的知识帮助学生理解算理。 更重要的是这里引导学生学会把小数的乘法转化成整数乘法，让学生逐步感知“转化”的思想方法。在后面的“小数乘小数”的教学设计中就更进一步体现了这一转化的思想方法。同样，在“除数是小数的除法”的教学过程中，都是通过提问：“你会解答什么样的除法算式？我们怎样把小数除法转化成整数除法进行计算呢？”来进行教学的。在数的运算中，都是把小数乘

14、法、除法转化成整数乘、除法。同样分数乘除法中也渗透了转化的数学思想。例 2：人跑一步的距离相当于袋鼠跳一下距离的211 ，那么人跑 3 步的距离相当于袋鼠跳一下距离的几分之几？（六年级上册第 8 页）（ 1）让学生通过画线段图理解题意，渗透了数与形的转化。（ 2） 使学生明确： 求人跑 3 步的距离是袋鼠跳一下的几分之几，实际上是求3 个 211 ，为探究计算方法做好准备。（ 3）探究计算方法。先出示加法计算， 211 +211 +211 =611 ，是同分母分数相加，属已学过的内容。再出示乘法计算，211 X 3=211 +211 +211 =2+2+211 =2 X311 =611根据乘法

15、的意义，将乘式转化为加法算式计算：分母不变，分子相加。再根据乘法的意义，将同分子连加的形式转化为乘式，得出分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。( 4)讨论归纳分数乘整数的计算方法。分数除法转化成分数乘法来揭示计算的方法。例 2 (教学分数除以整数)把一张纸的 45 ，平均分成2 份，每份是这张纸的几分之几？如果平均分成3 份，每份是这张纸的几分之几？通过折纸帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决分子能被整数整除的特殊情况，1. 把一张纸的 45 平均分成 2份， 看每份是这张纸的几分之几？让学生在折纸中，发现4 个 15 ，平均分成2 份，每份是2 个 15 ，即这张纸

16、的 25 。2. 再引出分子不能被整数整除的一般情况： 把这张纸的 平均分 成 3 份，看每份是这张纸的几分之几？学生根据题意，列出算式：45 +3,让学生在折纸的过程中发 现：把这张纸的平均分成3份，每份是45的13，即45 X 13 , 从而实现了将分数除法转化分数乘法， 也让学生经历由特殊到一般的 过程， 由此体会到用整数去除分数的分子的方法不是总能计算出得数，通常可以转化成乘这个整数的倒数， 进一步渗透转化的数学思想。 在 此基础上让学生概括出分数除以整数的方法。同样在教学一个数除以分数时，也通过转化将除以一个分数转化为乘以这个分数的倒数。、转化在比中的渗透比、分数、除法是小学数学中重

17、要的内容之一，它们之间是可以相互转化的，而在比的应用中转化体现的更加清晰。例：按 1:4 的比例配制成了一瓶500ml 的稀释液，求浓缩液、水的体积各是多少？学生在小组合作讨论中有以下两种做法：1.1+4=5, 500+5=100 (ml) ,100 X4=400 (ml) , 100 x 1=100 ( ml)答：水的体积是400ml,浓缩液的体积是100ml。把比转化为整数除法、乘法来计算。2. 1+4=5, 500X 15 =100 (ml) , 500 X45 =400 (ml)把比的形式转化为分数的形式。 转化为每种占总数的几分之几，求一个数的几分之几，用分数乘法分别求出每份是多少?

18、、转化在方程、复杂分数应用题中的渗透方程的基本形式为 x± b=c,ax=b, 而很多复杂的方程都是通过转化，将复杂的形式转化为简单或基本的形式。像五年级数学课本65 76 页，都是通过创设情境，将复杂的方程转化为基本形式。分数应用题的基本形式是“已知一个数，求这个数的几分之几是多少？”或“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”而对于较复杂的分数应用题，都将复杂的形式转化为分数应用题的基本形式。即“已知一个数， 求比这个数多 （少） 几分之几是多少？” 转化为 “已知一个数，求这个数的几分之几是多少？”例：地球的表面积为 5.1 亿平方千米，其中，海洋面积为陆地面积的 2.4 倍。地

19、球上的陆地面积和海洋面积分别是多少亿平方千米？学生通过分析得到：解： 设陆地面积为 x 亿平方千米， 则海洋面积为 2.4x 亿平方千 米。X+2.4x=5.1（1+2.4）x=5.13.4x=5.13.4x+3.4=5.1 +3.4X=1.52.4x=2.4 X1.5=3.6（亿平方千米）答：陆地面积约为 1.5 亿平方千米，海洋面积为 3.6 亿平方千米。在解方程的过程中，将“ x+ax=b”通过运用乘法分配律、等式的性质，将它转化为“ ax=b”的形式，从而将方程解决。例：人的心跳的次数随着年龄而变化。青少年的心跳次数为每分钟 75 次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多 45 ，求婴儿每分

20、钟心跳的次数是多少？（六年级上册第 21 页）如果放手让学生自己研究，学生往往通过画线段图，如下：学生的方法有以下两种：方法一、75+75X 45 =135 （次）方法二：75 X （1+45 ） =135 （次）其中方法是将“婴儿比青少年多 45 ”转化为“婴儿是青少年的（ 1+45 ） ，从而将复杂的形式转化为基本形式，、转化在几何图形中的渗透在几何图形中，无论是平面图形还是立体图形中的很多知识，如面积，它们通过转化将新知识转化为旧知识，将未知转化为已知，如将平行四边形通过分割转化为长方形、 三角形通过拼凑转化为平行四边形、梯形通过拼凑转化为平行四边形、圆通过分割、拼凑得到一个长方形或平行

21、四边形， 同样立体几何的体积很多也渗透了转化的数学思想，如圆柱通过剪拼、切割，从而转化为长方体，圆锥的体积也通过转化， 将它的体积与圆柱的体积联系在一起。 而且很多的平面图形通过旋转，都可转化为立体图形；如长方形以长（宽）为轴，旋转可以得到圆柱， 三角形通过旋转也可以转化为圆锥。 可以看出转化在几何图形的教学中将发挥不可替代的作用。例： 在教学 “平行四边形的面积” 一课时， 教材是这样设计的：第一步：用数方格的方法计算平行四边形的面积。从实际例子中， 通过观察认识到平行四边形的底等于长方形的长， 平行四边形的高等于长方形的宽， 从而直观地得出平行四边形的面积等于长方形的面积，因而得出：平行四边形的面积=底高。第二步：用割补的方法求平行四边形的面积。教学步骤为：（ 1）师：不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？生：能，可以把平行四边形变成一个长方形来计算。（ 2）学生小组合作探究剪拼的方法。（ 3） 观察发现平行四边形的底和高与剪拼出来的长方形的长与宽的关系，归纳出平行四边形的面积计算