湖南省2020年高考数学第二轮复习专题七概率与统计文

1、专题七概率与统计研期期历陋,灯川聚，野品百检及场宅*餐指打配者交向门真题试做1. （2020 课标全国高考，文 3）在一组样本数据（xi, yi）, （X2, yj ，（xn, yn）（ n>2,1Xi, X2,，Xn不全相等）的放点图中，右所有样本点（Xi, yi）（ i = 1,2 ,，n）都在直线y=2x+ 1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）.1A. - 1B. 0%D. 12. （2020 陕西高考，文 3）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的 茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）.2 0 2 3 33 12 4 4 4 5 5 5 7

2、5 0 0 11 6 17 8A. 46,45,56B, 46,45,53C. 47,45,56D. 45,47,533. （2020 辽宁高考，文11）在长为12 cm的线段AB上任取一点 C现作一矩形，邻边长 分别等于线段 AC CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为（）.1A.64. (20201 B.3湖南高考，文2C.34D.5一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）X3025y10结算时间（分钟/人）11.522.5317）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这

3、100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（1）确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）考向分析从近三年的高考试题来看，概率统计一般是1 + 1的模式，一大一小.几何概型是高考个新的热点，并且它是一个重要的知识交会点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以 及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右.古典概型是考查的热点,经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力 与逻辑

4、推理能力的考查.而对于统计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用.考查概 率与统计知识点的高考试题，既有自身概念的思想体现，如：样本估计总体的思想、假设检 验的思想；又有必然与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想.（横要例新趣姨热工以JE不片t f U H%：了坐上 T A热点例析热点一随机抽样和用样本估计总体【例1】（2020 四川高考，文3）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员 96人.若

5、在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43 ，则这四个社区驾驶员的总人数 N为().A. 101B. 808C. 1 212D. 2 012【例2】(2020 山东高考，文14)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 20.5,26.5,样本数据的分组为 20.5,21.5), 21.5,22.5), 22.5,23.5), 23.5,24.5), 24.5,25.5), 25.5,26.5.已知样本中平均气温低于22.5 C的城市个数为11,则样本中平均气温不低于 25.5 C的城市个数为.平均气泡七规律

6、方法 (1)解答与抽样方法有关的问题的关键是深刻理解各种抽样方法的特点、适用 范围和实施步骤，熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法，掌握分层抽样中各层人数 的计算方法.(2)与频率分布直方图、茎叶图有关的问题，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表 掌握信息是解决该类问题的关键.(3)在做茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么，正确求出数 据的众数和中位数；方差越小，数据越稳定.特别提醒：频率分布直方图中的纵坐标为 林，而不是频率值.变式训练1 (2020 湖南高考，文 13)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得 分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为

7、 .0 8 910 3 5(注：方差 s2= n( X1 X )2 + (X2 X )2+ (Xn x ) 2,其中 X 为 X1 , X2,，Xn 的平 均数)热点二变量的相关性和统计案例【例3】(2020 福建高考，文 18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该 产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568a= y b x ；(1)中的关系，且该产品的成本是 4元/件, (利润=销售收入成本)(1)求回归直线方程y=bx+a,其中b= 20,(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从为使工厂获得最大利润，该

8、产品的单价应定为多少元？规律方法 解决线性回归问题的关键是：(1)正确理解计算b, a的公式并准确的计算，若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算；(2)分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过 线性回归方程估计和预测变量的值.变式训练2 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022020202020202020需求量(万吨)2362462572761286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y = bx+a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量.热点

9、三古典概型与几何概型【例4】（2020 湖北高考，文10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB,分别以 OA OB为直径作两个半圆.在扇形OA汕随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）.2C. 1 兀1 B. 兀2 D. 兀规律方法 （1）解决古典概型问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.p（A）= me是古典概型的定义，又是求概率的计算公式，应熟练掌握. n（2）解决几何概型的关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生时构成的区域，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.（3）若事件正面情况比较多、反面情况较少，则一般利用对立事件进行计算.对于“至 少”、“至多

10、”等事件的概率计算，往往用这种方法求解.变式训练3 （1）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加 各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）.1 A.31B.2D.3ABC呐部随机取一个点 Q则点（2）如图，矩形ABCD点Q取自 ABE内部的概率等于（E为边CD的中点，若在矩形 ）.热点四概率统计综合问题2D.3【例5】（2020 北京高考，文17）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收

11、物3024030其他垃圾202060活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a, b, c,其中a>0, a+b+c= 600.当数据a, b, c的方差s2最大时，写出a, b, c的值（结2 一论不要求证明），并求此时s的值.o 1 O O O(注：s =n( X1 - X ) + (X2 x ) + (Xn x ),其中 X 为数据 X1, X2,，Xn 的平均数）规律方法

12、 1.抽样方法和概率问题的综合一般是从分层抽样开始，设置分层抽样中的一 些计算问题，然后就分层抽样中各个层设置一个古典概型计算问题.虽然此类题目所考查的知识横跨两部分，但是分解开来后，并不难解决.由于此类题目多与实际问题联系紧密，题干较长，信息量大，且会有图表，因此要认真 审题并要掌握解答题目所需的知识.要做到：(1)分层抽样中的公式运用要准确.样本容量各层样本容量抽样比=个体总量=各层个体总量.层1的数量：层2的数量：层3的数量=样本1的容量：样本2的容量：样本3的容 量.(2)在计算古典概型概率时，基本事件的总数要计算准确.2.频率分布与概率的综合主要有两种形式：(1)题目中给出了样本的频

13、率分布表，它反映了样本在各个组内的频数和频率，要求根据 频率分布表画出频率分布直方图，并根据样本在各组的频数，设置分层抽样和概率计算等.(2)利用频率与概率的关系，频率近似于概率，给出某类个体中的一个个体被抽中的概率，从而求出样本容量及其他类个体的数量.在解决此类问题时，可将题目中所给概率作为此类 个体被抽中的频率，从而求解.变式训练4 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关.据统计，当 X= 70时，Y= 460; X每增加10, Y 增力口 5.已知近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,16

14、0,140,160,220, 子200,110,160,160,200,140, 110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.思想渗透数形结合思想一一解决有关统计问题(1)通过频率分布直方图和频数条形图研究数据分布的总体趋势;(2)根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系.解答时注意的问题：(1)频率分布直方

15、图中的纵坐标为频率而，而不是频率值;(2)注意频率分布直方图与频数条形图的纵坐标的区别.为了解学生身高情况，某校以10%勺比例全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：150 155 1M) 165170 175 1ST 身高了加（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在 170185 cm之间的概率；（3）从样本中身高在 180190 cm之间的男生中任选 2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率.解：（1）样本中男生人数为 40, （2）由统计图知，样本中身高在本容量为70,所以样本中学生身高在由分层抽样比例为10%古计全校男生人数为400.170

16、185 cm之间的学生有 14+13+4+3+1=35人，样35170185 cm之间的频率f = 70=0.5,故由f估计该校学生身高在170185 cm之间的概率P1=0.5.（3）样本中身高在180185 cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190 cm之间的男生有2人，设其编号为, 图为：，从上述 6人中任取2人的树状故从样本中身高在 180190 cm之间的男生中任选1人身高在185190 cm之间的可能结果数为 9,因此,2人的所有可能结果数为15,至少有93所求概率 P2 = =-.15 5门法峰名岑千弟*极,立曲底-1： （2020 湖南高考，文5）设某大学的女

17、生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线卜 性相关关系.根据一组样本数据（Xi, yi）（ i =1,2 ,，n）,用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71 ,则下列结论中不正确的是（）.A. y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加D.若该大学某女生身高为（x , y ）1 cm,则其体重约增加 0.85 kg170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg2. （2020 湖南师大附中模拟，4）高一（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还

18、有一个学生的编号是（）.A. 19B. 16分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542C. 12D. 33. （2020 湖北高考，文2）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表:则样本数据落在区间10,40）的频率为（).A.C.0.350.55B.D.0.450.654.（原创题）设不等式组0<x<2,则此点到坐标原点的距离大于0<y<22的概率是表示的平面区域为 D,在区域D内随机取一个点,兀A.7学在6次月考中的数学名次，用茎叶图表示如图所示:牛厂则该组数据的中位数为兀一 2B. 25. （2020 浙江五校联考

19、，文11）为了分析某同学在班级中的数学学习情况，统计了该同6. （2020 安徽高考，文18）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有 50件不合格品，计算这 50件不合格品的直径长与分组频数频率3, -2)0.10-2, -1)8(1,20.50(2,310(3,4合计501.00标准值的差(单位：mm)将所得数据分组，得到如下频率分布表:(1)将上面表格补充完整；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间 率；(1,3内的概(3)

20、现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.7. (2020 湖南长沙模拟，文18)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如图：(18 12(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；(2)若在茎叶图中的甲、乙预赛成绩中各任取 1次成绩分别记为a和b,求满足a>b的概率.命题调研明晰考向真题试做1. D解析：样本相关系数越接近 1,相关性越强，现在所有的样本点都在直线1y=qx+1上，样本的相关系数应为1.2. A 解析：

21、由茎叶图可知中位数为 46,众数为45,极差为68 12 = 56.故选3. C 解析：此概型为几何概型，由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C,A.因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于 20 cm2的点在C与C2之间的部分，如图所示.J2 cm82因此所求概率为,即故选C. 1234. 解：(1)由已知得 25+y+ 10=55, x + 30=45,所以 x=15, y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1X 15+1.5

22、X 30+2X25+2.5 X 20+3X 10100=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A, A A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟” “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟” “该顾客一次购物的结算时间为 2分钟”，将频率视为概率得153303p(A1) = wq=2o, P(A2)=W0= i?251R A3)=兀=二100 4因为A= AUA2UA3,且A, A2, A3是互斥事件,所以 P(A) =P(AU A2U AO= P(A1) +P(A2) + RA)3 3 17而+ 1Q + 4=iQ.故一位顾客一次购物的结算时间不

23、超过2分钟的概率为卷 精要例析聚焦热点热点例析【例1】B 解析：四个社区抽取的总人数为12 + 21 + 25+43= 101,由分层抽样可知，96 N . 一.在=而，解得* 808.故选B.0.12 =0.22.平均气温低于22.5 C的城市个数为1111【例2】9 解析：由于组距为1,则样本中平均气温低于22.5 C的城市频率为 0.10 +所以样本容量为0-22 = 50.而平均气温高于25.5 C的城市频率为0.18,所以，样本中平均气温不低于25.5 C的城市个数为 50X0.18=9.【变式训练1】6.8解析：x8+9+10+13+15= 11,(8 11)2 +(9 11)2+

24、(10 11)2+(13 11)2+(15 11)2=6.8.1【例 3】 解：(1)由于 x =6(x1 + x2+ x3+x4+xs+x6) =8.5 ,1y =彼(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6) = 80,所以a= y -b x =80 + 20X8.5 = 250,从而回归直线方程为 y=- 20x+250.(2)设工厂获得的利润为 L元，依题意得L = x( 20x+ 250) -4( - 20x+ 250) =20x2 + 330x 1 000 = - 20 x-33 2+361.25 ,当且仅当x = 8.25时，L取得最大值.故当单价定为8.25元时，

25、工厂可获得最大利润.【变式训练2】 解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来 求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份2020一 4-2024需求量257-211101929对预处理后的数据，容易算得x = 0, y = 3.2 ,(4) X ( 21) + ( 2) X ( 11) + 2X 19+4X 29 260(4)2 + (2)2+22+4240a= y b x = 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y-257= b ( x-2 006) +a=6.5( x-2 006) +3.2,即y=6.5( x-2 006) +260.2.(2)利用直线方

26、程，可预测2020年的粮食需求量为：6. 5X(2 013 2 006) +260.2 =6.5 X7+ 260.2 =305.7(万吨)=306(万吨).【例4】C 解析：设O是OB= 2R,连接AB,如图所示，由对称性可得，阴影的面积就 1c 1等于直角扇形拱形的面积，S阴影=4兀(2X22* (2 R) 2=(兀2)R，$扇=兀R2,故所求的概率是(兀-21 兀R兀【变式训练3】(1)A 解析：记三个兴趣小组分别为 1,2,3 ,甲参加1组记为“甲1”， 则基本事件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3; 甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”，共9个.

27、记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，则事件 A包含“甲1,乙1;甲2,3 1乙2;甲3,乙3”，共3个.因此RA)=d = % 9 3(2)C 解析：由题意知，可设事件 A为“点Q取自 ABEJV ,构成试验的全部结果为矩1形ABCDJ所有点，事件 A为 ABE内的所有点，又因为 E是CD的中点，所以Saabm-ADx AB一， 1S矩形ABCD=ADx AR 所以 P(A) =/.【例5】 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002厨余垃圾总量=400+ 100+100 = 3.(2)设生活垃圾投放错误为事件A则事件又表示生活垃圾投放正确.事件A的概率

28、约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P( A)约为400+240 + 601 0000.7所以 P(A» 约为 1 0.7 =0.3.(3)当a=600, b=c=0时，s2取得最大值.因为 x =(a + b+ c) = 200, 3所以 s2= 1X (600 200)2+ (0 200)2+ (0 200)2 = 80 000. 3【变式训练4】 解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160

29、200220134732频率202020202020解析：(2) P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)= P(Yv 490 或 Y> 530) = RXv 130 或 X> 210)=P( X= 70) + P(X= 110) + P( X= 220)_1_ 3_ _2_ A= 20+20 + 20=10.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.创新模拟预测演练1.D解析：D选项中，若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约为：0.85X170 85.71 =58.79 kg.故 D不正确.2. A 93.B解析：样本数据落在区间10,40）的频数为2+3+4= 9,故所求的频率为 元=0.45.0x24. D 解析：题目中'表本的区域为如图所本的正方形，而动点D可以存在的0 y 2一 一一 22 2 22,故选D.位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P 4一2 25.18.5 解析：由茎叶图知中间两位数为18和19,所以中位数为18+19218.5.6 .解：(1)分组频数频率 3, -2)50.101 2, 1)80.16(1,2250.50(2,310 10.201(3,420.04合计5011.001解析：（2）