学生版第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)

1、第七讲 因数与倍数(公因数和公倍数(二)【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即：如果(a, b) =d,那么(a+ d,b + d)=1。定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即 a,b x (a,b) =axb。定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。例题精学28,另一个数是多少例1两个数的最大公因数是 4,最小公倍数是252,其中一个数是【思路点拨】设一个数为A,得短除式如下:4 28 A显然，7和a互质，否则4就不是最大公因数，那么 252=4X 7X a, a=

2、9, A=4X9=36另外，我们可以根据定理：a,b x (a,b)=axb。求得4X 252+28=36。同步精练1 .某数与24的最大公因数是 4,最小公倍数是168,这个数是多少2.甲数和乙数的最大公因数是 6,最小公倍数是90,且小数不能整除大数，求这两个数。3. 四个连续奇数的最小公倍数为 6435 ，这四个奇数中最大的一个为多少例 2 两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。【思路点拨】若(A, B) =d,可以假设 A=ad, B=bd,那么a和b互质，即(a,b)=1。在本题中，由于已知两数的最大公因数为5 ，故可设一个数为5a ，另一个数为5b ， (a,

3、b)=1 。又因为这两个数的和为50 ，这样可以得到5a+5b=50, 5 (a+b)=50, a+b=10。根据a与b互质，我们不难得到a=1,b=9或a=3, b=7。这样可以求出这两个数是 5X3=15和5X 7=35或5X 1=5或5X9=45。它们的差也就好求了。同步精练1. 两个自然数的和是56 ，它们的最大公因数是7 ，求这两个数。2. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。3. 两个数的和是70，它们的最大公因数是7 ，求这两个数的差是多少。例 3 两个数的最大公因数为 21 ，最小公倍数为 126 ，求这两个数的和。【思路点拨】已知两个数的最大公因

4、数是21 ，最小公倍数是126，要求这两个数，可以根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。再求两个数的和。设这两个数为 A和B,根据题意：21 A Ba b（a与b互质）ax b=126+21=6=1 X 6=2X 3a=2A=21X 2=42A+B=21+126=147a=3A=2修 3=23A+B=42+63=105b=6B=21X 6=126同步精练1 .两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210,这两个数的和是 77。求这两个数。2 .两个数的最大公因数是12,最小公倍数是 72,这两个数的和是多少例4 两个自然数

5、的和是 54,它们的最小公倍数与最大公因数的差是114,求这两个自然数。【思路点拨】设两个自然数为A, B,且AB。m A Ba bm是两个数的最大公因数，a与b互质。根据条件可得：axbxm-m=114, axm+bxm=54。化(ab-1) x m=114简后得m是114和54的公因数。(a+b) x m=54(114,54) =6o 因为 6 的因数有 1, 2,3, 6,所以 m 可能是 1, 2,3, 6。如果 m=1,那么 a+b=54, aXb=115。115=1X115=5X23,且 1+115=11654, 5+23=2854,所以 m 不可能是 1。如果 m=2,那么 a+

6、b=27, aXb=58。58=1 X 58=2X29,且 1+58=59/27,2+29=3127,所以加不可能是 2。如果 m=3,那么 a+b=18, aXb=39。39=1X 39=3X 13,且 1+39=40/18, 3+13=16-18,所以 m 不可能是 3。如果 m=6,那么 a+b=9, ax b=20。20=4X5,且 4+5=9,所以 m=6。那么 A=6X4=24, B=6X5=30。同步精练1.两个数的差是4,最大公因数与最小公倍数的积是252,求这两个数。2. 两个数的差是30，它们最小公倍数与最大公因数的差是450 ，求这两个数。3. 两个自然数的差是2 ，它们

7、的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数。练习卷1. 两个数的最大公因数是60 ，最小公倍数是720，其中一个数是180 ，另一个数是多少2. 两个自然数的最大公因数是15，最小公倍数是180 ，其中一个数是45 ，求这两个自然数的差。3. 已知两个自然数的和为 165 ，它们的最大公因数是15，求这两个数。4. 已知两个自然数的积为 240 ，最小公倍数为60 ，求这两个数。5. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数。6. 两个不同自然数的和是60 ， 它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60， 满足条件的自然数共有多少组7. 两个自然数的和是60 ，它们的最大公因数与最小公倍数的和是84 ，求这两个数。8. 已知a与b, a与c的最大公因数分别是 12和15, a, b, c的最小公倍数是1