小学工程问题归纳及经典练习题

1、解工程问题的方法工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者 之间的关系是：工作效率X工作时间=工作量工作量工作时间=工作效率工作量工作效率=工作时间根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数程问题和分数工程问题 两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按 照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程 问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算， 但在计算过程中要涉及到分率。一、工作总量是具体数量的工程问题）例1建筑工地需要1

2、200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要 10天。两队合运需要多少天（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨， 还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量+工作时间=工作 效率，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量, 利用公式“工作量工作效率=工作时间，求出两队合运需用多少天。甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）12004-15=80 （吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）12004-10=120 （吨）两个车队一天共运的吨数:80+120=200 （吨）两个车队合运需用的天数:12004-2

3、00=6 （天）综合算式:12004- （120015+12004-10）=12004- （80+120） =1200200 =6 （天）答略。*例2生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟 小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时（适于 四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅1小时可完成：350+14=25 （个）由如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成可知，李师傅和 徒弟小王每小时完成：3504-10=35 （个）小王单独工作一小时可完成:35-25=10 （个）小王单独做这批零件需要:3

4、50910=35 （小时）综合算式:350+ （3504-10-3504-14）=350+ （35-25=3504-10=35 （小时）答略。*例3把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛 巾128打.，乙组每小时生产毛巾160打;乙组生产2小时后，甲组也开始生产。 两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-160x2+1=1872 （打）两组共同生产的时间是：1872-r （160+128）=（小时）乙组生产的时间是：+2=（小时）综合算式：（2191-160x2+1） 4- （160+128） +2=18724-

5、288+2=+2=（小时）答略。练习题：1、筑路队疾患修筑一条长2400米的公路，甲队单独做需要20天完成，乙 队单独需要30天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米的水泥路，甲队每天修千米，比乙 队的2倍多千米。（1）乙队每天修多少千米（2）两队合修多少天可以修完3、红星服装厂计划生产2800套夏季学生服，已经生产了 5天，每天生产80 套，剩下的20天完成，平均每天要生产多少套4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用12分钟降低到每个8分钟，原来 每天加工300个，现在每天加工多少个5、用两台机器生产108个齿轮。第一台小时能生产18个，第二

6、台小时能生 产8个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩45个。两台机器一同生产了多 少小时综合算式：(108 -45)-(18-4-+8-1-)= 63+(4 + 5)= 63-9 = 7 (小时)答略。二、工作总量不是具体数量的工程问题工程问题方法总结：基本数量关系：工效义时间=工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：-：分做合想：1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。二：等量代换：方程组的解法一代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效一每人工作量一按比例分配

7、四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。五：休息与周期：1 .已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2 .、工.天数：近似天数，准确天数。4.列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。八：工效变化。九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想 （周期）。十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。工程问题当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时 间比。因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中把工作量设为整体

8、1 的做法，而偏重于整数化或“从比例角度出发，也许会使我们的解题思路更灵 活一些.两个人的问题标题上说的两个人，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.（一）两个人的问题例1. 1 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）两队合做5 天可以完成工程的几分之儿（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几（3）两 队合做儿天完成解:(1) ( + )x5 = 20 1512(2)(3)1 131-( + )x6 =20 151011604 1+(+ ) = = 8 (天)20 1577答:(1)两队合做5天可以完成工程的9两队合做6天，还剩下工程的上。（3）两队合做8士天完成。10【解析】此题

9、是工作效率问题。A用20天完成，总工程是1，所以中队的工作效率是1 + 20 =,乙对的工作效率是1-2-15 = o2015问题（1）要求完成的工程量，用工作效率x工作时间;问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量 1减去已 做工程量；问题（3）要求完成时间，用总工程量 1总工效。例、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了 3天, 余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作解：（1） 1 （ + ） x 3 =9 66=1（天） O O答：乙需要做1天可以完成全部工作。（【解析】要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是

10、 甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。总工程是“1，就可以知道：甲的工作效率是1+9 = ,乙对的工作效率是91 4-6 = O6求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1- 甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作总量：工作效率X工作时间=工作总量（- + -）x3, 9 6剩下：11、C 11 ）x3 =-9 66r乙完成剩下的工作时间：利用工作总量+工作效率=工作时间-S- = 1（天） 6 6练习一1、一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队 合做，多少天可以完成（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看

11、作1。甲队单独做24天完成，做1天完成这项工程的乙队单独做16天完成，做1天完成这项工程的士。甲、乙2416两队合做1天，完成这项工程的之二）二。工作息8:1中包含多少个；24 16 4X4X甲、乙两队合做完成这项工程就需要多少天。1245=1 十 483 千=”（天）答略。2、一项工程，由甲工程队修建需要20天，山乙工程队修建需要30天。甲、乙两队合做多少天能完成全工程的97（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1，山中工程队修建需要20天，知甲工鄙一天完成这项工程的J ;由乙工程队修建需要30天，知乙工程队一天完 乙V蟋项工程的,甲、乙两个工程队共同修建一天，完成这项工程的 w31

12、 13评含有多少个弓+之，甲、乙合作完成这项工程的彳就需要多少天。乙2 U311一 + C ）4 120 犷3.3+2=厂53 1=-T 一4 12=9（天）3、一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独 做多少天可以完成（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合做一天完成这项工程的g。甲单独做15天可以完成，甲做一天完成这项工程 的从甲、乙的工作效率之和（减去甲的工作效率，可求出乙的工作 效率;-。工作总量1中包含多少个乙的工作效率，乙单独做这项工程就需要多长的时间。二115=（天）答：乙单独做天可以完成。例：一件工作，甲做9天可以

13、完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天, 余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作解一：把这件工作看作1,甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的 以乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-g）+优=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天 完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2x3） +3=4 （天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 ： 9=2 ： 3.中做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4 （天）.练习二1、一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天，现在甲乙合作若干

14、天后，乙再 接着做3天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天2、一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙 队单独做，多少天可以完成例：一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了, 由乙继续做了 40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天)解：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40= (24+16)天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是50天如果甲独做，所需时间是75天答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.练习三1、甲乙两人合作生产一批零件，6天

15、可以完成任务，甲先做5天，因有事外出, 这时只完成任务的/，如果接下来由乙完成，还需要多少天2、一批零件，先由20人生产了 10天完成任务的，余下的工程要提前10天完 成，还要增加多少人3、甲乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了这批零件的抽，中单独做需 多少天完成4、一项工程，甲乙两队需10天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离, 由中队乂干了 8天，乂知甲队独做需20天完成，问甲、乙两队合干了多少天例：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作, 其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工 共用了多少天时间解一：甲队单独做8天，乙

16、队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11 （天）.答：从开始到完工共用了 11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在中队单独做8 天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30-3x8-1x2） -? （3+1） = 1 （天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8= 2 （天）工作量.相当于乙队要 做2x3=6 （天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4 （天）工作量.4=3+1,其中3天可由中队1天完成，因此两队只需再合作1天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一

17、起休息，我们就假设他们 在一起休息.）甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天，而乙休息 了8天，因为82,所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时, 乙还要休息：8-2=6(天)那么这6天内中独自完成了这项工程的1/10x6=6/10,剩下 的工作量为1-910=4/10,而这剩下的W10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所 以，工程量的4/10需要甲乙合作：10)X1/10+e0)=3天。所以从开始到完工共 需：8+3=11(天)例：一项工程，中队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队 一起做，其间中队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用

18、了 16天.问乙 队休息了多少天 解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 (14-20)X16+ (1+30) x16=4/3由于两队休息期间未做的工作量是43-1=1/3乙队休息期间未做的工作量是-1/20x3=110乙队休息的天数是1优0:(10)=11/2答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是(3+2) X16- 60= 20 (份).因此乙休息天数是(20- 3 x 3) 4-2=(天).解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息天.如果中队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于

19、乙队6天工作量，乙 休息天数是=(天).练习四1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作, 其间中队休息了 2天，乙队休息了 8天(不存在两队同一天休息).问开始到完 工共用了多少天时间2、加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现在两人合作完 成，中间甲休息了天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这样共用14 天完工，问乙休息了多少天3、一件工作，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要10天完成，现在中乙合 作8天完成任务，已知这段时间甲休息了 2天看，那么乙休息了多少天4、一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现在两人合作,

20、中途休息了 2天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天例题5 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天, 只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要儿天1【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是.，只要求出甲队货乙队的 JL J工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将中队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了 3天后，甲队独做2天来考虑，就711可以求出甲队2天的工作量布-X3=,从而求出中队的工作效率。所 OJQU以/171【行-（而一记 X3） + （5-3） =20 （天） L JDU JL J答：乙队单独完成全部工程需要20天。练习五1、

21、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了 3天，因事外出， 由徒弟接着做1天，共完成任务的方。如果这批零件由师傅单独做，多少 天可以完成2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的焉o如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的H o甲、乙两队单独完成这 项工程各需多少天3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独Q做12天，还剩这项工程的左o中、乙两队独做各需几天完成例题6一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了 3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的o现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完 后发现两段所用时间相等。求两段一

22、共用了几天【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：J 一X3）；再由Z 1Zo条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙 队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。（1）乙队每天完成这项工程的1 1 1（2 -12 乂3）+2食（2）两段时间一共是14-X2+7 ） X2 = 6 （天）o 1Z答：两段时间一共是6天。练习六1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这O项工程的正O现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发 现，两段时间相等。这两段时间一共是几天2、一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成

23、 任务时发现乙比甲多了 3天。乙独做这项工程要几天完成3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工 作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由内接着做, 丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天（二）、多人的工程问题例1. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、 丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成z 111、c1解:答:【解析】(+ + ) + 2 =36 45 60301-(-) = 90 (天)30 451-)=60 (天)30 601-(-) = 180 (天)30 36独做完成，甲

24、需90天，乙需60天，丙需180天。此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关 系。1、有一项工程，甲队独做需8天，乙队独做需10天，丙队独做需20天，现在 由丙队先独做9天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成2、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作9天完成，中丙两人合作18天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天3、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作6天完成，丙丁两人合作12天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成4、一项工程，中乙两人合作6天完成，乙丙两人合作9天完成，中丙两人合 作15天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天5、生产一批零件，甲乙

25、两人合作12小时完成，乙丙两人合作15小时完成，甲 丙两人合作20小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁队合作15天完成，山甲乙丁 队合作12天完成，有甲丙丁队合作20天完成，山中队单独做需要多少天完成例题2。一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、 丙合做2小时，可以完成这项工作的（ ;如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时, 也可以完成这项工作的| O如果由中、丙合做，需几小时完成【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作 的1”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这 2项工作的

26、 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求 出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的儿分之儿2 11（T - X2） r （6 2）D o12内每小时完成这项工程的几分之几2 11（Z 7 X3） -r （6 3）D olo甲、丙合做需完成的时间为：1 111+ （T? +狼）=7三（小时）1Z loD1答：甲、丙合做完成需要小时。练习二1、 ？2、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、13丙合做2小时，可以完成这项工作的石；如果甲、乙合做2小时后，丙再 lo做4小时，可以完成这项工作的共o这项工作如果由甲、丙合做需几小时 1O完成3、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先 由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工 程要儿天就可以完成4、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、 乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5；天完成。乙队单独做这 项工程需多少天可以完成5、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由