直线与圆综合复习

1、直线与圆【考试大纲要求】1 .理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根 据条件熟练地求出直线的方程.2 .掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.4 . 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.5 .掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程6 ,掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题直线方程考察的重点是直线方程的特征值(主要是直线的斜率、截距)有关问题，可与三角知识联系；圆的方 程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨

2、论中确定圆的方程.【基础知识归纳】1 .直线方程(1)直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是：0180.(2)直线的斜率 k tan (90).倾斜角是90。的直线没有斜率；倾斜角不是 90。的直线都有斜率，斜率的取值范围是(8,+8)(3)直线的方向向量设Fi (xi,yi)、F2(X2,y2)是直线上不同的两点，则向量F1 F2 =(X2 xi,y2yi)称为直线的方向向量向量一 FiF2 = (i, y2 yi ) = (i, k)也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于 x轴x2 xix2 xir的直线的一个万向向量为 a = (0,1).说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都

3、是刻划、描述直线的倾斜程度的.每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系.(4)直线方程的五种形式点斜式：y y0两点式：y y1y2 yik(x Xo),(斜率存在)斜截式：y kx b (斜率存在)1 (不垂直坐标轴，不过原点)xx1 ,(不垂直坐标轴)截距式：- yx2xia b般式：Ax By C 0.引申：过直线11 ： A1xB1yC10,12 : A2x B2y C2 0交点的直线系方程为:Ax B1y C1(A2x B2y C2) 0 (入C R)(除 I2外).2 .两条直线的位置关系(1)直线与直线的位置关系存在斜率的两直线I1: y

4、 k1x bi； l2：y k2x 2.有： li PI2kik2且bib2； li I2kik21 ；li与I2相交kik2；。li与I2重合ki k2且bi b2.一般式的直线li：AxBiyCi 0,l2：A2x B2y C20.有 11Pl2AB2A2B10；且 B1C2 C2B10；li l2 A1A2B1B2011与12相交A1B2A2B10；ll与12重合A1B2 A2B10;且 B1C2C2B10(2)点与直线的位置关系若点P(X0,y0)在直线Ax By C 0上，则有AmBy0 C 0 ；若点P(X0,y0)不在直Ax By C 0上，则有Ax0By0 C 0 ,此时点 P

5、(X0,yO)到直线 Ax By C 0的距离为dA% By。CA2 B2平行直线Ax By C1 0与Ax By C20之间的距离为dCi C2,A2B2(3)两条直线的交点Ax By Ci 0直线ll : AxBiyCi0,12 ：A2xB2yC20的公共点的坐标是方程的解A2x B2y C2 0相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合 方程组有无数解.3 .曲线与方程4 .圆的方程(1)圆的定义 (2)圆的方程222标准式：(x a) (y b) r，其中r为圆的半径，(a,b)为圆心.般式：x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F 0).其中圆心为参

6、数方程：x r cosx a r cosy rsiny b r sin(是参数).消去e可得普通方程5 .点与圆的位置关系判断点P(x,y)与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系代入方程看符号6 .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交有两种判断方法：(1)代数法：(判别式法)0,0,0时分别相离、相交、相切.(2)几何法：圆心到直线的距离d r,d r,d r时相离、相交、相切7 .弦长求法2(1)几何法：弦心距 d,圆半径r,弦长I,则d2- r2 .2(2)解析法：用韦达定理，弦长公式.8 .圆与圆的位置关系题型1 :直线的斜率则直线的倾斜角的取值范围1、过原点引

7、直线I ,使I与连接A(1,1)和B(1 , 1)两点间的线段相交,是.|045，或13518022.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x 2)1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为33 33-33 33A 石行 B ( 73,73)c 3，3 D 3，3答案：C解析：记圆心为 D(2,0),记上、下两切点分别记为 B、C，则BAD 30 CAD , l 的斜率 k tan1500,tan300 , k 2:3 if 即 33.题型3 直线的对称问题1. (1)已知点 A( 3,5), B(2,15),试在直线 L : 3x 4y 40上找一点P,使得| PA | | PB|最小，并求出最小值

8、。 已知点A(4,1), B(2,15)试在直线l:3x y 10上找一点P,使得| PA | |PB|的绝对值最大，并求出最大值。一，工，12、已知P点坐标为(2,3),在y轴及直线y x上各取一点R、Q,使 PQR的周长最小，求 Q、R的坐标. 2题型4:直线与直线的位置关系4,已知两条直线y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，则a等于()A. 2B. 1C. 0D.1答案D解析：两条直线y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，则a(a 2)1 , a= 1,选D.题型5:点与直线的位置关系225.圆x y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差

9、是()A. 36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2解析：圆x2 y2 4x 4y 10 0的圆心为(2, 2),半径为3行，2.5>3 2|2 2 14|圆心到直线x y 14 0的距离为亚圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6 <2 ,选C.题型6:圆的方程1、已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1： x=2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为243,且与直线l2：2x 45y 4=0相切，则圆M的方程为a=1,r=2,a+22+ V32=r2答案：可设圆M的圆心坐标为(a,0), a>-2,半径为r,得|2a 4| t= r,4 5所以圆M的方程为(x

10、+1)2+y2=4.2、(1)经过点A(5,2), B(3, 2),且圆心在直线 2xy3=0上的圆的方程为 .(2)已知圆C:(x1)2+y2=25,则过点P(2,1)的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A. 10匹B. 9V21C. 10修 D. 9"答案 (1)(x- 2)2 + (y1)2=10 (2)C3.以点(2, 1)为圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为A.(x解析|3 "J二)+5| =3,故选 C.,32 42cos4、若直线3x+4y+m=0 与圆 ysin (为参数)没有公共点，则实数 m的取值范围是._22_22_

11、22_222) (y 1)3b. (x 2) (y 1)3c. (x 2) (y 1)9a (x 2) (y 1)解析：将圆化成标准方程得2一 2(x 1) (y 2) r 圆心(1,2),半径r 1.直线与圆相离,3 1 4 ( 2) m,3242 )题型7:直线与圆的位置关系m 0或 m 10xy 4=0都相切，圆心在直线 x + y=0上，则圆 C的方程为1. (09?辽宁)已知圆 C与直线x-y=0及 )22_A.(x 1) (y 1)2b. (x1)2(y 1)2_22_22_2c. (x 1) (y 1)2 D. (x 1) (y 1)2答案B解析：圆心在x+ y=0上，排除 题型

12、8:圆与圆的位置关系C、D,再结合图象，或者3证 A B中圆心到两直线的距离等于半径、口即可.1.与直线x y 2 0和曲线12x 12y 54 0都相切的半径最小的圆的标准方程是【解析】曲线化为(x 6)2(y26)18 ,其圆心到直线x y 2 0的距离为5.2.所求的最小圆的圆心在直线x上，其到直线的距离为 J2,圆心坐标为(2,2).标准2方程为(x 2)一 2 一(y 2)22、(1)已知直线2x+(y3)m 4= 0(m C R)恒过定点P,若点P平分圆x2+y2-2x- 4y4=0的弦MN,则弦MN所在直线的方程是()乙r 一 21.已知A(3,0),求圆x2y 4上的点与A的最

13、大距离和最小距离.A, B是切点，若P(2,3).A. x+y5=0 B. x+y 3=0C. xy1 = 0 D. xy+ 1 = 0(2)已知P(x, y)是直线kx+y+4= 0(k>0)上一动点，PA, PB是圆C: x2+y22y = 0的两条切线, 四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A. 3 B.亨C. 2a/2 D. 2答案(1)A (2)D解析(1)对于直线方程2x+ (y-3)m-4= 0(mCR),取y= 3,则必有x=2,所以该直线恒过定点设圆心是C,则易知C(1,2),32所以 kcp=3二=1,2 1由垂径定理知 CPXMN ,所以kMN = 1.又弦

14、MN过点P(2,3),故弦MN所在直线的方程为 y-3=- (x-2),即 x+ y 5 = 0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2+(y1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB的面积S= 2sw 所以若四边形 PACB的最小面积是 2,则Sapbc的最小值为1. -1 一 一， ,一一,，.，,一而SaPBc=2r |PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离 d,此时 d = 5= J12+22 = J5,即 k2=4,因为 k>0,所以 k=2. ,1k2 1题型9圆中的最值问题解：设P(a H是圆上任意一点.|PA二(丁3) '+y-二 日-3)斗4-父=13-6国V-2<x<2,当后一2时"?八|工二25,则|FA|w5,当 时,| ?川W PA = 1.即图上的点与A的距离的最大值为5,最小值为1.2一一| PB | ,求d的最2.已知圆