初中数学《相似三角形》教案

1、相似三角形一、知识概述（一）相似三角形1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.温馨提示： 当且仅当个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对 应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可： 相似三角形的特征：形状样，但大小不一定相等： 相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应 用广泛.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.温馨提示：全等三角形定是相似三角形，其相似比k=l .所以全等三角形是相似三角形的特 例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.相似比具有顺序性.例

2、如ABCsABC的对应边的比，即相似比为k,则ABCs/ABC的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有k=k，=l.相似比是个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将个图形放大或 缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边 形.4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两 条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似.温馨提示:定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:VDE/7BC, .ABCAADE；这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似

3、的判定定理.它不但本身有着广 泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”： 有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节”见平行，想比例”，还要想到“见平 行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（D ：两角对应相等，两三角形相似.判定定理（2）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理（3）：三边对应成比例，两三角形相似.温馨提示： 有平行线时，用上节学习的预备定理： 已有对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理（1） 或判 定定理（2）: 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择

4、利用判定定理2时，对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.温馨提示: 由于直角三角形有个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2, 般不用判定定理3 判定两个直角三角形相似； 如图是个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母广相似三 角形”，其应用较为广泛. 如图，可简单记为：在 RtaABC 中，CDAB, RijAABCACBDAACD.（三）三角形的重心1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2、三角形的重心与顶点的距离

5、等于它与对边中点的距离的两倍.二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的项基本功.通常有以下 几种方法：（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角：相似三角形中 最大的角（或最小的角）定是对应角；相似三角形中，对相等的角是对应角，对应角所对的 边是对应边，对应角的夹边是对应边：（2）相似三角形中，对最长的边（或最短的边）定是对应边；对应边所对的角是对 应角；对应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形:学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移 到相似

6、三角形中来：对些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆：对相似三角形的判定思路 要善于总结，形成整套完整的判定方法.如:(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图,“见平行，想相似”是解这类题的基本思 路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有个公共角或刻顶角.“见一对等角， 找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路：(3) “旋转型”相似三角形，如图,若图中N1=N2, NB=ND(或NC=NE),则AADEs ABC, 该图可看成把第个图中的4ADE绕点A旋转某角度而形成的.温馨提示:从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的

7、辅助 线.以上“平行线型是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线 型”识图较 困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.三、解题方法技巧点拨K寻找相似三角形的个数例1、(吉林)将两块完全相同的等腰立角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在 同平面内，回答下列问题：(1)图中共有多少个三角形？把它们,写出来：(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们写出来.分析：(1)在AABC内，有五个三角形，加上AABC与AAFG,共有七个三角形.(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题.由于“不包括全等“，图中还剩五个 非直角三角形，考虑

8、到题设中两个三角形摆放的随意性，N1不定等于N2,而NB=NC=45, N3、N4都为钝角，又排除AABD与4ACE相似，还剩三个三角形，这三个三角形相 似.解：(1)共有七个三角形，它们是aABD、AABE AADE AADCx ZkAEC、ZABC与 AFG.(2)有相彳以三角形，它们是ZkABEsDAE, ADAEADCA, ABEADCA(AABE DAEADCA).点拨：解决这类计数问题，定要依据图形与定理，全而、周密思考，做到不重不漏， 这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；有兴趣的同学可继续探索下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例2、（上海

9、）在大小为4x4的正方形方格中， ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶 点上，请在图中画出个AiBiCi,使得AiBiCisaBC（相似比不为1）,且点Ai、Bi、Ci 都在单位正方形的顶点上.分析:设单位正方形的边长为1 ,则 ABC的三边为,从而根据相似三角形判定定理2或3可画A1B1C1,易得点拨：在4x4的正方形方格中，满足题设的AiBC】只能画出以上三个，若正方形方格数 不加限制，则和4ABC相似且不全等的三角形可以画无数个.3、相似三角形的判定例3、（1）如图，O是aABC内任点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证： DEFAABC；（2）如图，正方形ABCD中，E是B

10、C的中点，DF=3CF,写出图中所有相似三角形，并证明.分析:(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是 AOB、 BOC . COA的中位 线，利用三角形的中位线性质可证ADEF与4ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE. DF=3CF,设出正方形边长后，图中所有线段都 能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似.点拨：第(1)题，若点。在 ABC外，其他条件不变，结论仍成立：第(2)题也可用判定定理2,先证ABEsECF,得出NAEF=90。后，再证其中任意三角 形与4AEF相似，显然，以上证法较简便.4、直角三角形相似的判定例4、求证：若个直角三

11、角形的条直角边和斜边上的高与另,个直角三角形的条直角边 和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似.己知：如图，RtAABC fll RtZA6C中，ZC=ZC=90c CD、CD，分别是两个三角形 斜边 上的高，且CD : CD三AC : ArC求证：ABCsABC，.分析：判定直角三角形相似的方法除使用般三角形的判定方法外，还可使用“斜边和直角 边 对应成比例的两直角三角形相似这定理.证明abcsabc,只要再证锐角对应相等即 可.证明：CD、CD，分别是AABC、ABC，的高，AAACD . ACD是直角三角形.5、三角形重心问题例5、已知aABC的重心G到BC边上的距离为5,那么BC

12、边上的高为QB. 12D. 15A. 5C. 10解析：因为G为aABC的重心，所以DG ： DA=1 ： 3,因为GE BC, AF BC,所以 GE/ AF,所以 GE : AF=DG : DA=1 ： 3,因为 GE=5 所以 AF=15.6、相似三角形的综合运用例6、如图，CD是RtA ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E ,交 AC延长线于F.求证：(l)ZADFsaEDB； (2)CD-DEDF.分析：(1) ADF与 EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可:(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD,由结论(1)不难得出结论(2

13、).证明：(1)VDFAB, AZADF= ZBDE=90,又; NF+NA=NB+NA,，NF=NB,工 ADFAEDB.由得，AAD BD=DE DF.又CD是Rt4ABC斜边上的中线，/.AD=BD=CD.故 CD2=DE DF.点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等.这是道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题筒捷获证.其实第(2)题也可这样思 考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的CDEsFDC请同学们完成这证明.例7、如图，AD是aABC的角平分线，BE_LAD于E, CFLAD于F.求证：分析:待证式中的四条线段不是在两个

14、三角形中,无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入个“中间比”，由题设易证ABEsaACF,BDEsZiCDF,从中不难找到这个中间比.证明:：AD是AABC的角平分线，AZ1=Z2.VBEAD. CFAD. ，N3=N4=90。,.,.abeaacf,点拨：当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，般可寻找“中间比”帮忙：例8、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN , BPJ_MC于点P.求证：(DPBNsapcD： (2)PNPD.分析：要证PN_LPD,即证NDPN=90。，由已知NBPC=90。，而NBPC与NDPN有公共部分N CPN, 因此只要证

15、明N4=N5即可.这就必须先证明出结论(1).在PBN与4PCD中，易证N1 = N3, 以下只要证明夹Nl、N3的两边对应成比例.证明：(1)在正方形 ABCD 中，ABCD, ZABC=90. VBP1MC, A APBMAPCB.点拨：要注意观察出图中存在的“母夕相似三角形基本图形，从而充分利用它得出N1=N2及 PBMAPCB等重要结论、本章的两套定理第一套(比例的有关性质):bdac/沙 = 7或da +c+ + mh+d + +n比例基本定理)合比性质：a bba = c= = w+d + +n 0)等比性质：涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、 后项，比的内项、外项黄金分割等。

16、二、有关知识点：1 .相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角 形。2 .相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读作“相似于”。3 .相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4 .相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边 的延长线)相交，所截成的三角 形 与 原 三 角 形 相 似。5 .相 似 三 角 形 的 判 定 定 理： (1 )三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判 定SASSSSAAS(ASA)HL相似三角形 的判定两边对应 成比例夹 角相等三边对应 成比例两角对应 相等一

17、条直角边 与斜边对应 成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为 “对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类 比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。6 .直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和 一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。8.相似三角形的传递性 如果48iCis/a282c2,那么 A8cs从282c2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的 相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形型和 “ 8 ” 型。DF AF在利用定理证明时要注意