帮你总结导数题型(共13类)

1、导数题型目录1 . 导数的几何意义2 .导数四则运算构造新函数3 .利用导数研究函数单调性4 .利用导数研究函数极值和最值5 . 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数6 .函数极值点偏移问题7 .导函数零点不可求问题8 .双变量的处理策略9 .不等式恒成立求参数范围10 . 不等式证明策略11 . 双量词的处理策略12 . 绝对值与导数结合问题13 . 数列不等式的证明导数专题一 导数几何意义一 .知识点睛导数的几何意义：函数y=f (x)在点x=xo处的导数f' (xo)的几何意义是曲线在点x=xo处切线的斜率。二 .方法点拨：1. 求切线若点是切点：(1)切点横坐标 R代入曲线

2、方程求出 yo (2)求出导数f' (x),把xo代入导数 求得函数y=f(x)在点x=xo处的导数f'(xo)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y yo=f'(xo)(x xo)点(xo, yo)不是切点求切线：(1)设曲线上的切点为(xi, yi); (2)根据切点写出切线方 程 yyi=f' (xi)(x xi) (3)利用点(xo, yo)在切线上求出(xi, yi) ;(4)把(xi, yi)代入切线方程求得切线。2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：切线斜率k=f' (xo)切点在曲线上切点在切线上三.常考题型：(i)

3、求切线(2)求切点(3)求参数求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四跟踪练习1. (2oi6全国卷出)已知f(x)为偶函数，当xvo时，f(x)=f (-x) +3x,则曲线y=f (x)在点 ( i， -3 )处的切线方程是2. (2oi4新课标全国n )设曲线 y=ax-ln (x+i)在点(。,。)处的切线方程为y=2x,则a=A. o B.i C.2D.33. (2016全国卷n)若直线 y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln (x+1)的切线， 则b=4. (2014江西)若曲线 y=e-x上点P处的切线平行于直线 2x+y+1=0,

4、则点P的坐标是5. (2014江苏)在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+b (a, b为常数)过点P (2, -5),x且该曲线在点P处的切线与直线 7x+2y+3=0平行，则a+b=1,6. (2012新课标全国)设点 P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=ln (2x)上，则| PQ|的最小值为A.1-ln2 B. V2 (1-ln2)C.1+ln2D.V2(1+ln2)7. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+15 x-9都相切，则a等于48. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为A. .2B.-C. 2.2D. 19. 已知点P在曲线y=上，”为曲线在

5、点 P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 ex 110. 已知函数f (x) =2x3-3x. ( 1)求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(2) 若过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围.11. 已知函数 f (x) =4x-x4, xC R.(1)求f (x)的单调区间(2)设曲线y=f (x)与x轴正半轴的交点为 巳曲线在点P处的切线方程为y=g (x),求证：对于任意的实数 x,都有f (x) w g (x)1(3)若方程f(x)=a (a为实数)有两个实数根xi,x2,且xiX2,求证：X2-xi< - +4 3 .3导数专题二 利用导数四

6、则运算构造新函数一.知识点睛导数四则运算法则：f(x)±g (x) '=f' (x)±g' (x)f(x) g (x) '=f' (x) g(x) +f(x) g' (x)f (x)f'(x)g(x) f(x)g'(x)-TT/ =2g(x)g(x)2二.方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函 数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。方法一 1:移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0 (因为导数与0的大小决定函数单调性)2:观察，若不等式

7、左边是只含有f' (x)的式子，可以用和差函数求导法则构造若不等式左边含有 f' (x)和f(x),并且中间是+,可以用积函数求导法则 构造若不等式左边含有 f' (x)和f(x),并且中间是-,可以用商函数求导法则构造方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以x为主元的新函数。三.常考题型：构造新函数解不等式或比较大小四.跟踪练习1 .(2015广东调研)函数f (x)的定义域为 R, f (-1) =2,对任意xCR,f' (x) >2,

8、则f (x) > 2x+4的解集为 L和差)2 .(2016贵州遵义)设函数f'(x)是函数f(x)的导函数，对任意 xCR,有f(x)+f'(x)>0,则x1 Vx2时，结论正确的是(积)A:ex2f(x1)> ex1f(地)B:ex2f(x1)< ex1f(x2)C:ex1f(x1)> ex2f(x2)D:ex1f(x1)< ex2f(x2)、一，33 .若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f (0) =4,则不等式f(x)> +1ex的解集为 L积与差)4 .若函数y=f(x)在R上可导且满足不

9、等式xf' (x) > - f(x)恒成立，且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(积)A: af (b) >bf(a)B:af(a) > b(b) C: af(a) < bf(b) D: a(b)vb(a)5. (2015济南)已知函数 f (x)的定义域为(0, +8),<(x)为f (x)的导函数，且满 足 f( x) V - xf'(x),则不等式 f(x+1)> (x- 1)f(x2- 1)的解集是 (积) 6.(2015新课标全国卷n )设函数f' (x)是奇函数f (x) (xC R)的导函数，f (-1

10、) =0,当x >0时，xf'(x) - f (x) <0,则使得f (x) > 0成立的x的取值范围是(商)A.(-8, -1) u (0,1)B. (-1,0) U ( 1, +8)C.(-8, -1)U (-1,0)D. (0,1) U ( 1, +8)7 .设函数是R上的奇函数，且f (-1) =0,当x>0时，(x2+1) f' (x) -2xf(x)v0,则不等式f (x) > 0的解集为 (商)8 .已知定义在 R上的函数f (x),满足3f (x) >f' (x)恒成立，且f (1) =e3,则下列结论正 确的是(商)

11、A.f (0)=1B.f(0)< 1C.f(2)ve6D.f(2)>e69 .已知定义在 R上的奇函数f (x)满足2016f (-x) vf' (x)恒成立，且f (1) =e-2016,则下列 结论正确的是(商)A.f(2016)v0B.f(2016)v e 20162C.f(2)<0D° f(2)> e-403210 .已知定义在(0, +8)上的函数f (x)的导函数f，(x)满足x，(x) +f (x) =-lnxx且f (e) =1 ,其中e为自然对数的底数，则不等式 f (x) +e>x+-的解集是()eA. (0, 1)B. (0

12、, e)e11.已知函数 F ( x) =lnx (x>1)的图像与的导函数 f'(x) =G(xl fx) (x>0) 4 x x xA.有极大值，无极小值B.C.既无极大值，也无极小值D.eC.(1，e)D. ( 1, +8)eeG (x)的图像关于直线y=x对称，设函数f (x),且 f' (3) =0,则当 x >0 时，f (x)有极小值，无极大值 既有极大值，也有极小值导数专题三利用导数研究函数单调性一.知识点睛1 .函数的导数与单调性之间的联系：一般地，设函数 y=f (x)在某个区间内可导，如果在这个区间内有f' (x)>0,那么

13、函数y=f (x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f' (x)<0,那么函数y=f (x)为这个区间内的减函数。反过来，如果可导函数y=f (x)在某个区间内单调递增，则在这个区间内f' (x)>0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f' (x)w0恒成立2 .利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导3.令f (x)>0,解不等式得增区间；令f' (x)<0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增(减)区间，中间只能用， 不能用U连接。二.方法点拨1 .已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间2 .

14、已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：分离参数，转化为f1 (x)> (w 0)恒成立问题导数含参分类讨论3 .已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：二次项系数的正负f' (x)=0根的个数f' (x)=0根的大小f' (x)=0的根与给定区间的位 置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根4 .已知函数有n个单调区间，求参数范围，等同于方程f' (x)=0在此区间上有n-1个根，并且根不是重根。5 .已知函数在给定区间上不单调,当 f' (x)在此区间上有异号零点 >f

15、9; (x)=0有根(且根不是重根)<<6 .已知函数在给定区间上有单调区间，等同于 f' (x) >0或f' (x) v 0在给定区间上有解 常考题型：利用导数研究已知函数的单调性导数含参求单调区间已知含参函数单调性 求参数范围函数有几个单调区间的问题三.跟踪练习1 .已知函数f (x) =kx3+3 (k-1) x2-k2+1 (k>0)的单调减区间是(0,4),则 k的值是.2. (2016全国卷I )若函数f (x)=x- sin2x+asinx在(-°° +°°)单调递增，则 a的取值范3围是A.-1,

16、1B.-1 ， -C.-， -D.-1,-33 3313.(2015四川)如果函数f (x)=-2(m-2) x2+ (n-8) x+1(m>0, n>0)在区间3 ,2上单调2递减，那么mn的最大值为81A.16B.18C.25 D.-24 . (2014新课标全国n )若函数 f (x) =kx-lnx在区间(1, +°0)单调递增，则 k的取值范 围是A.(-8, -2B.(-oo, -1 C.2, +oo) D.1, +叫5 .(2016全国卷L第一小题)已知函数f (x) = (x-2) ex+a (x-1) 2,讨论函数f (x)的单调性.6 .设函数f (x

17、)=ax2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值，且曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线垂直于直线x+2y+1=0.(I )求a, b的值什7mex ，人.玲、中也(n)右函数 g (x)=,讨论g (x)的单倜性.f(x)7 .已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bCR)(I)若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a, b的值.(n)若函数f (x)在区间(-1,1)上不单调，求 a的取值范围.8 .设a为实数，函数f (x) =ax3-ax2+ (a2-1) x在(-8, 0)和(1, +oo)都是增函数，求 a 的取值范

18、围.9 .设f (x) =ax3+x恰有三个单调区间，试确定 a的取值范围，并求出这 3个单调区间.1 210 .已知函数f(x) =x+alnx在x=1处的切线与直线 x+2y=0垂直，函数g(x)=f(x)+ x2-bx(1).2求实数a的值(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数 b的取值范围(3).设x1，x2 (xk x2)是函数g (x)的两个极值点，若 bn 2 ,求g (x1)-g (x2)的最小值导数专题四利用导数研究函数的极值和最值一.知识点睛1 .可导函数的极值：如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f' (a)

19、=0;而 且在点x=a附近的左侧f' (x)<0,右侧f' (x)>0,我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫 做函数的极小值.如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f' (b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f1 (x)>0,右侧f' (x)<0,我们就把b叫做函数的极大值点，f(b) 叫做函数的极大值.注意：.可导函数y=f (x)在点xo取得极值的充要条件是f' (xo)=0,且在点xo左侧和右侧，f' (x)异号 .导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0

20、的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。 .若极值点处的导数存在，则一定为02 .求可导函数极值的步骤：.确定函数的定义域求导f' (x)求方程f' (x)=0的根把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查 f' (x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值。二.方法点拨：1 .已知具体函数求极值2 .已知含参函数的极值点和极值，确定参数：极值点处导数为0由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。f'

21、; (x)=0 的根3 .已知含参函数极值点个数，确定参数范围：函数f (x)的极值点<导函数 f (x)的异号零点予函数y=k与函数y=g (x)图像父点闲横坐标.f' (x)的异号零点才对应函注意：导函数f' (x)的零点并不是函数 f (x)的极值点，导函数 数f (x)的极值点。因此方程 f' (x)=0的根及函数y=k与函数y=g (x)图像交点的横坐标, 必须对应f (x)的异号零点。方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：(1)研究函数图像与X轴的

22、位置关系研究非水平的动直线(定点直线系或者斜率不为0的平行直线系)与固定函数曲线的位置关系研究动态曲线与曲线的位置关系。4 .含参数的函数极值(或最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为0时自变量的大小不确定需要讨论(2)导数为0时自变量是否在给定区间内不确定需要讨论(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论。常考题型：已知函数的解析式求极值根据极值点和极值求参数根据极值个数求参数范 围(4)求极值函数的最值三.跟进练习1 . (2016四川)已知a为函数f (x) =x3-12x的极小值点,则 a=A.-4B

23、.-2C.4D.22 . (2015东北八校月考)已知函数f (x) =x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图像在 x=1处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则f (x)的极大值与极小值之差为11nx1,3 . (2016山东模拟)已知函数 f (x) =, a>0,右函数f (x)在区间(a, a+-)上ex+1有两个极值点，则实数 m的取值范围是存在极值，求实数 a的取值范围4 .函数 f (x) =- e3x+me2x+ (2m+1)35 .函数y=x3-2ax+a在区间(0,1)内有极小值，则实数 a的取值范围是6 .已知函数 f(x) =x3-3ax-1, aw

24、0.(I )求f (x)的单调区间(n)若f (x)在x=-1处取得极值，直线 y=m与y=f (x)的图像有三个不同的交点，求 m 的取值范围.7 .设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点xi, x2,且xi < x2.(I)求a的取值范围，并讨论 f(x)的单调性；(n)证明：f ( x2)>1 2ln24导数专题五知零点个数求参数范围.知识点睛： (1)函数f (x)零点J于 方程f (x) =0的根 _+ 函数f (x)的图像与x轴交点的横坐 标 函数g (S与h (x)图像交点的横坐侨7-f (x) =g (x) -h (x)(2)宅点存在性定理:如果函数y=

25、f (x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)/f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在 cC (a, b),使得f (c) =0,这个c也就是方程f (x) =0的根.二.方法点拨：1 .根据零点情况求参数的值或范围(1)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差的等式，在同一坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性，周期性，奇偶性等性质及图像求解.(2)分离参数法：将参数分离，化为 a=g (x)的形式，进而转化为求函数最值的问题，对于解答题，这种解法还需要用零点存在性定理严格证明个数(3

26、)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围.2 .解答题中零点存在区间端点的选取方法在给定区间上寻找一个函数g (x),通过先证明f (x) > g(x)(或f (x) w g(x),再求g (x)的零点x0,或找到x0使g (x0)>0 (或g (x0)<0)就得到f (x0)> 0(或 f (x0)& 0)跟踪练习：1. (2015安徽)设x3+ax+b=0,其中a, b均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 a=-3, b=-3 a=-3, b=2 a=-3, b > 2(3) a=0, b=2 a=1,

27、b=22. (2015新课标全国I)设函数 f (x) =ex (2x-1) -ax+a,其中av 1,若存在唯一的整数 x° 使得f (x°)v 0,则a的取值范围是A.-旦 1)B.恪Y) C.W 3)D. 1)2e2e 4 2e 4 2e23. 方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是()A.3B.2C.1D.04. (2013年山东卷)设函数 f (x) =ix+c, ( 1)求f (x)的单调区间.最大值(2)讨论e2x关于x的方程| lnx |=f (x)根的个数.5. (2016 全国卷 I)已知函数 f (x) = (x-2) ex+a(x 1)2.(

28、I)讨论f (x)的单调性；(n)若 f (x)有两个零点，求 a的取值范围.6. (2015全国卷I)已知函数 f (x) =x3+ax+- , g (x) =-lnx. (1)当a为何值时，x轴为曲 4线y=f (x)的切线(2)用min m,n表示m, n中的最小值，设函数 h (x)=min f (x) , g (x) (x>0),讨论 h (x)零点的个数.专题六极值点偏移问题.知识点睛极值点左偏极值点右偏(1)产生原因：函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。x1 x2(2)极值点X0偏左：极值点附近图像左陡右缓，f (x1)=f (x2),则x1+x2

29、>2x0, x=处切线与x轴不平行x1 x2(x)递增)，x1 x2 x=2右 f (x)上凸(f (x)递减)，则 f ()< f' (xo)=0,若 f (x)下凸(f'2 x1 x2贝 U f () > f' (xo)=02(3)极值点x0偏右：极值点附近图像左缓右陡，f (xi) =f (x2),则xi+x2 < 2x0, 处切线与x轴不平行x1x2(f'(x)递增)，若 f (x)上凸(f' (x)递减)，则 f' ()>f' (xo)=0,若 f (x)下凸2，x1 x2贝 U f () v f&

30、#39; (xo)=02二，方法点睛1 .不含参的极值点偏移问题方法一：1.构造函数 F (x) =f (x) -f (2xo-x) (x>xo)2 .对函数F (x)求导，判断导数符号，确定 F (x)的单调性3 .结合F(x。)=0,判断F(x)的符号，确定 f(x)与f (2xo-x)(x>x。)的大小关系4 .由 f(x1)=f(x2)< f (2xo-x2),得 f(x1)< f (2xo-x2)或者 由 f(x1)=f(x2)>f (2xo-x2),得 f (x1)> f ( 2xo-x2)5.结合 f(x)单调T得 x1 > 2xo-x2

31、 或 x1V 2xo-x2,从而 x1 +x2>2x。或 x1 +x2< 2x0 a b a b方法二：利用对数平均不等式Tab << (a>0, b>0, awb)In a In b 2m n/ em enem en指数平均不等式e VVm n 2利用对数均值不等式证明极值点偏移问题，关键是通过变形得到三个式子：x1+x2,x1-x2, Mx2方法三：引入一个变量 M=t,结合题目所给条件解出 x1、x2,把所要证明的多变量不等式转x2化为单变量t的不等式，构造函数g(t),不等式变为g(t)> 0或者g(t)< 0,求出g(t)的最值即得到证

32、明.2.含有参数的极值点偏移问题含有参数的极值点偏移问题，在原有的双变量xi, X2的基础上，又多了一个参数，我们首先想到的(1)根据f (Xi) =f(X2)建立等式(2)消去参数，如果等式是有关指数式，我们考 虑两边取对数，通过加减乘除等恒等变形消去参数(3)利用对数平均不等式求解或者以参数为媒介，构造一个变元的新函数，一般来说都是引入一个变元t=MX2三.跟进练习1.已知a>b>0, ab=ba,有如下四个结论：bveb>e a,b满足abv e2ab>e2,则正确结论的序号是 A.B. 03) DD2 .(2015长春四模拟)已知函数f (x) =eX-ax有两

33、个零点XKX2,则下列说法错误的是()A.a>eB.xi+x2>20. xix2> 1D.有极小值点 xo,且 xi+x22xo3 . (2016新课标I卷)已知函数 f (x) = (x-2) ex +a (x-1) 2有两个零点(1)求a的取值范围(2)设X1, X2是f(X)的两个零点，证明：X1+X2V24 . (2017届安徽第三次联考)已知函数f (x) =2ln (x+1) + mx2- ( m+1) x有且只有一个2极值.(1)求实数 m 的取值范围(2)若 f (xi) =f(x2)(xiwx2),求证：xi +X2>25 .已知函数f (x) =eX

34、-kx+k(kC R) (1)试讨论函数f (x)的单调性；(2)若该函数有两个不同 的零点Xi, X2.试求(I )实数 k的取值范围；(n)证明：xi+x2>46 . (2014年江苏南通二模)设函数 f (x) =eX-ax+a (aCR)淇图彳gt与x轴交于A (xi, 0) .B (X2, 0)两点，且 Xi< X2(I)求a的取值范围；(n)证明：f'(Fg) <07 .(2016年3月兰州一诊)已知函数f (x) =eX-ax-1(a为常数)，曲线y=f (x)在与y轴的交点A 处的切线的斜率为-1.(I)求 a 的值及函数 y=f(x)的单调区间；(n

35、)若 xi v in2, X2>ln2 ,且 f (xi) =f(X2), 试证明：xi+x2< 2ln2.专题七导函数零点不可求问题一.知识点睛利用导数求函数的单调区间或者极值时，会发现方程f' (x) =0是一个超越方程或二次方程，我们无法求出方程根或者求出的根很复杂，此时我们无从下手，如何处理呢？二.方法点拨方法一 特值探点当导数零点不可求时，可用特殊值进行试探，涉及 lnx的复合函数时，可令x=et,尤其是令x=1或者e进行试探；涉及ex的复合函数中，可令x=lnt,尤其是令x=0 或者1进行试探方法二虚设零点1.假设xo是方程f' (x) =0的根，反代消

36、参，构造关于零点的单一函数如果问题要求解或证明的结论与参数无关，我们虚设零点后，一般不要用参数表示零点，而是反过来用零点表示参数，然后把极值函数变成关于零点的单一函数，构造新函数求最值如果f (x) =0是二次方程，有两个根 x1，x2,我们可以利用韦达定理建立 xi +x2, xix2与参 数的关系式，再考虑用零点表示参数，利用恒等变形构造出，令t=，把极值函数转化为单一变量t的函数整体代换，把超越式转化为一般式f' (x) =0是一个超越方程，无法求出根的具体值，可以虚设f' (x0)=0,通过整体代换将超越式化成普通的代数式方法三 多次求导顾名思义，多次求导，把导数式变得

37、越来越简单，来解决零点问题方法四局部求导：f' (x)很难判断正负和求出零点，可以分离构造函数g (x),使f' (x)=g (x) M(x),其中M(x)恒正或恒负(2)求函数g(x)的导数g' (x),研究g' (x)的零点和g (x)的性质(3)由函数g (x)的性质，分析确定函数 f (x)的T生质. 方法五整合重组此法常见于利用构造法证明不等式，如果直接构造函数难以求出导数的零点，可以通过整合重组函数解析式，将原函数转化为简单，易于求导数零点的函数三.跟进练习1. (2015年新课标I卷)设函数 f(x)=e2x-alnx.(1)谈论f(x)导函数的f

38、'(x)的零点的2个数(2)证明：当 a>0 时，f (x) > 2a+aln -ax 12. (2014新课标全国I卷)设函数f (x) =aexlnx+ be一，曲线y=f (x)在点(1, f (1) x处的切线方程为 y=e (x-1) +2(I)求 a, b; ( n )证明：f (x) > 13. (2015年四川高考文科试题)已知函数f (x) =-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0(I )设g (x)是f (x)的导函数，谈论 g (x)的单调性(n)证明：存在 aC (0, 1),使得f (x) > 0在区间(1, +8)内恒成立

39、，且 f (x) =0 在区间(1, +8)内有唯一解.4. (2015 江苏卷)已知函数 f (x) =x3+ax2+b (a, bCR(1)试讨论f (x)的单调性；(2)若b=c-a (实数c是与a无关的常数)，当函数 f (x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-8, -3) U ( 1, 3) U ( 3 , +8),求c的值225. (2014 甘肃二诊)设函数 f (x) =ex-ax-2(1)求f (x)的单调区间(2)若a=1, k为整数，且当 x>0时，(x-k) f' (x)+x+1>0,求k的最大值.专题八双变量的处理策略一.知识点睛所要求最值

40、的式子或者所要证明的不等式中有两个变量，这一类题型我们通常要把变量的个数变少，转化为含单变量的问题二，方法点拨方法一：所要证明的不等式中含有两个变量x1，x2,我们可以指定其中一个变量x1为主元，x2为常数，构造单变量函数方法二：整体代换，通过换元，化双变量为单变量方法三：整合结构，把结构相同化，构造新函数方法四：划归为值域或最值思想三，跟进训练1 . (2015新课标全国n)设函数 f (x) =emx+x2-mx.(I )证明：f (x)在(-8, 0)单调递减，在(0, +OO)单调递增；(n)若对于任意 x，x2 -1,1,都有f(x1) f(x2) We-1,求m的取值范围.2 .定

41、义：设函数f (x)在(a,b)内可导，若f' (x)为区间(a,b)内的增函数，则称f (x)为 (a,b)内的下凸函数.(I)已知f (x) =ex-ax3+x在(0, +8)内为下凸函数，试求实数a的取值范围；(n)设f (x)为(a, b)内的下凸函数，求证：对于任意正数入1,入2,入1+入2=1,不等式f (入1x1+入2x2 ) w入1f (x1)+入2 f (x2)对任意的x1, x2 C ( a,b)恒成立.3 .已知函数 f (x) =x-1-alnx (aC R)(1)若曲线y=f (x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0,求实数a的值.(2)求证：f (x)

42、>0恒成立的充要条件是 a=1(3)若a<0,且对任意xi, x2 C (0,1,者B有f (Xi) -f(X2)W4 x1 x2a的取值范围.4 .已知函数 f (x) =1 x2-ax+ (a-1) lnx, a> 1.2(I )讨论函数f (x)的单调性；(n)证明：若a v 5,则对于任意x，x2C ( 0,+8),x1wx2,有 Ux1LLx2)>-1x1 x2专题九不等式含参恒成立问题一.知识点睛不等式恒成立求参数范围这一类题型往往与构造新函数，求函数的最值联系在一起二.方法点拨1 .分离参数法通过恒等变形把含有变量和参数的式子分别放在不等式的两边，转化为求

43、不 含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围2 .含参分类讨论 构造新函数，利用导数研究函数的单调性，由于导数中含有参数，此时就 要对参数的范围进行分类讨论3 .端点验证法 例如对于任意 xCx。，+8), f (x) > 0,求参数取值范围，如果验证区间 端点值f (xo) =0,那么不等式f (x) >0转化为f (x) >f (x。)，接下来我们可以先由 f (x)单调递增，求得参数取值范围，再验证当参数不在这个范围时不等式不是恒成立就可 以了。4 .数形结合法f (x) >g| (x)恒成立，我们只需要看图，当参数在什么范围内取值时对于任意

44、xC R函数f (x)的图像在g (x)图像的上方或者与之相切。三.跟进训练1.定义在R上的函数f (x),如果存在函数 g (x) =ax+b (a, b为常数)，使得f (x) > g (x)对一切实数x都成立，则称g (x)为函数f (x)的一个承托函数.给出如下命题：lnx, x> 0(1)函数g (x) =-2是函数f (x)=的一个承托函数；11, x< 0(2)函数g (x) =x-1是函数f (x) =x+：nx的一个承托函数；(3)若函数g (x) =ax是函数f (x) =ex的一个承托函数，则 a的取值范围是0, e;(4)值域是R的函数f (x)不存在

45、承托目数；其中，所有正确命题的序号是2. (2014辽宁)当xC -2, 1时，不等式ax3-x2+4x+3R0恒成立，则实数 a的取值范围是A.-5, -3B.-6, -9C.-6, -2D.-4, -383. (2015 山东)设函数 f (x) =ln (x+1) +a (x2-x),其中 aC R(I)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(n)若？x>0,f(x)>0成立，求a的取值范围.4. (2016 全国卷n文)已知函数f (x) = (x+1) lnx-a (x-1).(I)当a=4时，求曲线y=f (x)在(1, f (1)处的切线方程；(n)若当xC (

46、1, +8)时，f (x) >0,求a的取值范围.5. (2016 四川卷)设函数 f (x) =ax2-a-lnx,其中 aCR(I )讨论f x)的单调性(n)确定a的所有可能取值，使得 f (x) > -e1-x在区间(1, +00)内恒成立(e=2.718x为自然对数的底数).专题十不等式的证明一.知识点睛不等式的证明实质上考查的还是利用导数研究函数的单调性或最值，以及不等式的放缩。二.方法点拨1 .构造函数法直接作差 例如f (x) > g (x)含有一个变量，但涉及两个函数，我们可以通过移项作差得到 f (x) -g (x) > 0,构造新函数 h (x)

47、=f (x) -g (x)转化为证函数h (x) min>0构造形似函数：通过对不等式的同解变形，如移项，通分，取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据相同结构构造新函数在构造函数的过程中，涉及 lnx以及ex的项，应把lnx单独分离出来，ex与其他函数可以组 合，这样便于判断导函数的符号。适当放缩后再构造： 若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造新函数构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f (x)和g (x),利用其最值求解。换元后构造新函数，如果不等式比较复杂， 并且涉及到多个

48、变量，我们可以考虑整体换元，把不等式化简，再来证明换元后的不等式，运算就显得相对简单了。2 .数形结合要证f (x)>g(x)恒成立，我们只需要看图得知当xC R时函数f(x)的图像在g(x)图像的上方或者与之相切。三.跟进训练bex 11. (2014新课标I卷)设函数f (x)=aexlnx+,曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处x的切线方程为y=e (x-1) +2(I )求 a, b；(n)证明：f (x) >1x 22. (2016新课标卷I) (I)讨论函数 f (x) =ex的单倜性，并证明当 x> 0时x 2(x-2) ex+x+2> 0xe a

49、x a(n)证明：当 aC0,1)时，函数 g (x) =2 (x>0)有取小值.设g (x)的取x乙小值为h (a),求函数h (a)的值域。3. (2016 全国卷出)设函数 f (x) = acos2x+ ( a-1 ) ( COSx+1),其中 a> 0,记 f(x)的最大值为A.(I)求 f' (x); (n)求 A (m)证明 f'(x) w 2A4. (2013新课标全国n )已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(I)求设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(n)当 mW2时，证明f(x) > 0专题十一量词的处理策略一.

50、知识点睛常见的量词有两个：全称量词？和存在量词？二.方法点睛不管是双量词问题还是单量词问题，我们都可以转化为求函数的最值单量词问题类型一 ？x6D, f (x) > g (x)我们可以构造一个辅助函数 h (x) =f (x) -g (x),问题等价 于h (x) min > 0恒成立分离参数，变成形如h (x) >m (t)的形式，问题等价于h (x) min >m (t), 得到一个有关参数t的不等式，解不等式就可以求得参数t的范围类型二 ？x6D, f(x)> g (x)我们可以构造一个辅助函数h (x)=f(x)-g(x),问题等价于h(x)max >0分离参数，变成形如h(x)> m(t)的形式，问题等价于h(x)max>m(t) 类型三 ？x 6 D, f (x) =t,贝U t6 y y=f (x) , x6 D双量词问题类型一xi 6 Di, ？ x2 D2, f (xi)>g