泛函分析知识总结

1、泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容： 一、 度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、 度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念， 它是 n 维欧氏空间Rn (有限维空间)的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1 度量定义： 设 X 是一个集合， 若对于 X 中任意两个元素x ， y, 都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1 ° d(x,y) >

2、0 , d(x,y)=0 x=y(非负性)2° d(x,y)= d(y,x) (对称性)3° 对 z ,都有 d(x,y) w d(x,z)+d(z,y)(三点不等式)则称 d(x,y) 是 x、 y 之间的 度量或距离( matric 或 distance ) ，称为 (X,d)度量空间或距离空间 ( metric space ) 。(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意： 定义在X中任意两个元素x, y确定的实数d(x,y),只要满足1 °、2°、3°都称 为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述 X 中

3、两个事物接近的程度，而条件 1°、2 °、3 °被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数di和d2,则我们认为(X, di)和(X,d2)是两个不同的度量空间。 集合 X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间 (X,d)中的元素为“点” ，例如若 x X ，则称为“ X 中的点” 。(4)在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d,而称“度量空间X”举例离散的度量空间：设 X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y CX,令1,当 x yd x, y

4、=. ，则称(X, d)为离散度量空间。0,当 x=y1序列空间S: S表不实数列(或复数列)的全体，d(x,y) =-1-U_lL ；i i 2i 1 | i i有界函数空间 B(A): A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对B(A)中任意两点x,y ,定义d(x,y) = sup x y(t) t A可测函数空间M(X) : M(X)为X上实值(或复值)的L可测函数全体。d(f,g)=f(t)g dtx1 |f(t) g(t)|Ca,b空间(重要的度量空间)：Ca,b表示闭区间a,b上实值(或复值)连续函数全体,对Ca,b中任意两点x,y ,定义d(x,y) = m

5、axx(t) y(t)212:无限维空间(重要的度量空间)例、是考试中常考的度量空间。2 .度量空间中的极限，稠密集，可分空间x0的一领域：设(X, d)为度量空间，d是距离，定义U (xo, ) x XI d(x,x 0)< 为xo的以 为半径的开球，亦称为x0的一领域。注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。度量空间的收敛点列： 设(X, d)是一个度量空间，xn是(X, d)中点列，如果存在x X ,xn 收敛于 x 使 lim xn x ,即 d(xn,x)0(n),称点n n歹U xn是(X, d

6、)中的收敛点列，x叫做点列 xn的极限，且收敛点列的极限是唯一的。注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。有界集：设M是度量空间(X, d)中的点集，定义 (M) supd(x,y)为点集M的直径。 x,y M若(M)<,则称M为(X, d)中的有界集。(类似于Rn,我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集)闭集：A是闭集A中任意收敛点列的极限都在A中，即若xn A, n=1,2,.xnx,则X A。(要会证明)举例n维欧氏空间Rn中，点列依距离收敛 d(xk,x)0依分量收敛。Ca,b空间中，点列依距离收敛d(xk,x)0依分量一致收敛。序列空间S中，点列依坐标收

7、敛。可测函数空间 M(X)：函数列依测度收敛于 f,即d(fn, f) 0 fn f。稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。定义：设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令 M表示M的闭包，如果E? M ,则称 集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集， 如果X有一个可数 的稠密子集，则称 X为可分空间。注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在 X中稠密。举例n维欧式空间Rn是可分空间：坐标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集。离散度量空间X可分 X是可

8、数集。(因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身)l是不可分空间。数学知识间都有联系， 现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。3 .连续映射 定义：设X= (X, d) Y= (Y, d )是两个度量空间，T是X到丫中的映射x0? X,如果对e >0,8 >0 ,使对 X 中一切满足 d (x, Xo) <8 的 x,有 d(Tx,Txo)<,则称 T 在 x0 连续。(度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R 时，映射就是度量空间上的函数。 )注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明

9、。下面用邻域描述：对Tx0的£ -邻域U,存在x0的某个8 邻域 V,使TV U,其中TV表示V在映射T作用下的像。定理1:设T是度量空间(X, d)到度量空间(Y, d )中映射，T在 xo X 连续？当 xnxo (n )时，必有 TxnTx°(n)。在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。原像的定义：映射 T在X的每一点都连续，则称 T是X上的连续映射，称集合x I xCX,Tx? M? Y为集合M在映射T下的原像，简记为 T 1M。 可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。定理2:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射？

10、 Y中任意开集 M的原像T 1M是X中的开集(除此之外，利用 T 1 ( M 的补集) =( T 1M )的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。 ) 注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。在数学分析中有学过收敛点列， 柯西点列， 但研究都在 R 中。 现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。4 . 柯西( Cauchy )点列和完备的度量空间。柯西点列的定义：设X= (X, d)是度量空间， xn是X中的点列，对 £ >0, 正整数N=N ( e ),使当 n , m >N 时，必有 d ( xn, xm ) < e ,则称 xn是 X 中的柯西 ( C

11、auchy) 点列或基本点列。 【 会判断： 柯西点列是有界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy 列，这由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。但在度量空间中完备的度量空间的定义：如果度量空间（X, d）中每一个柯西点列都在（X, d）中收敛，那么称（X, d）是完备的度量空间.但要注意，在定义中要求 X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。举例（记住结论）有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间Rn是完备的度量空间。在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点歹U： C Ca,b

12、、l 也是完备的度量空间。定理 完备度量空间 X的子空间M是完备空间M是X中的闭子空间。Pa, b（表示闭区间a, b上实系数多项式全体，作为Ca, b的子空间）是不完备的度量空间.5 .度量空间的完备化。等距映射：设（X, d） , （X,d）是两个度量空间，T是从X到X上的映射，即对x,y X , d （Tx,Ty尸d（x,y）,则称T是等距映射。定义：设（X, d）, （X,d）是两个度量空间，如果存在一个从X到X上的等距映射 T,则称（X, d）和（X,d）等距同构，此时T称为X到X上的等距同构映射。（像的 距离等于原像的距离）注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为

13、同一的。定理1 （度量空间的完备化定理）：设X= （X, d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间X = （X,d）,使X与X的某个稠密子空间 W等距同构，并且 X在等距同构下是唯一的，即若（父，C?）也是一个完备的度量空间，且 X与父的某个稠密子空间等距同构，则（X,d）与（父，c?）等距同构。（不需要掌握证明但是要记 住结论）定理1的改述：设*= （X, d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X = （X,d）,使X为X的稠密子空间。6 .压缩映射原理及其应用(重点内容，要求掌握并会证明)学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中

14、迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。压缩映射定义：X是度量空间，T是X到X的映射，如果存在一个数”，(0,1),使对 x , y X , d (Tx, Ty)三a d (x, y)则称T为压缩映射。(压缩映射定理)设 X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么 T有且仅有一个不动点(即方程 Tx=x,有且只有一个解)。(x是T的不动点x是方程Tx=x的解)这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。压缩映射原理的应用： 在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程dy f(x,y)(1

15、)dx为例来说明这一点。求微分方程(1)满足初始条件y(x(o) y0的解与求积分方程xy(x) Vo f(x,y(t)dt(2)xo等价。我们做映射xTy(x) v。 f(x,y(t)dtx则方程(2)的解就转化为求 y ,使之满足Ty y。也就是求这样的y ,它经映射作用后仍变为y。因此，求解方程(1)就变为求映射T的不动点，这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在

16、泛函分析中成了一个一般原理，即压缩映射原理，压缩映射原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。注：（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即na 一（x , Xn）（TXo,Xo）1 a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映射不需要在整个空间 X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依 然成立。在实际应用过程中，有时 T本身未必是压缩映射，但 T的若干次复合Tn是压缩映射， 这时T仍然有惟一不动点，下面是压缩映射原理的

17、应用及相关证明。例1线性代数方程Ax b均可写成如下形式x Cx D （3）其中C （Cj）nn,D ,d2, ,dn）T。如果矩阵C满足条件ncij j 11(i 1,2, ,n)则式（3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。证明：取X Rn ,定义度量为(aL ,an)T,(bb, bn)T构造映射T :XX为Tx Cx D ,那么方程（3）的解等价于映射 T的不动点。(X1,X2, ,Xn)T,y (y1，y2, ,yn)T ,由于n(Tx,Ty) max (cij xjdj)(Cjyjdj)j 1max1 i nnCij(Xj j 1yj)nmax1 i n j 1Cj (x, y)记 a

18、 max1 i n . j 1cij,由条件a 1,因此T是压缩映像,于是T有惟一不动点，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列x(k) Cx(k1) D近似计算求得。例2考察如下常微分方程的初值问题(4)dy f(x,y)dxy(xo) yo如果f (x, y)在R2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件，即f(x, %) f(x, y?)K % V2、_ .1这里K 0是常数，则方程(4)在x0,x0上有惟一解(-)。K证明：方程(4)的解等价于如下方程xy(x) v。 f (t,y(t)dt(5)xo的解。取连续函数空间 Cx0,x0,定义其上的映射T ：Cx。,x。C

19、xo , xo 为x(Ty)( x) yo J(t,y(t)dtxo则积分方程(5 )的解等价于T的不动点。对任意两个连续函数y1(x),y?(x) Cxo,xo，由于x(TVi,Tv2)max 1f(t.yi(t) f (t, y?(t)dtx xo ,xo xoxmax f (t, Vi (t)f (t, v2(t) dtx xo ,xo xomaxx xo ,xoxK JVi(t)xoV2(t) dtK (Vi, V2)令a K ，则a 1,故T是压缩映射，从而 T有惟一不动点，即积分方程(5)有唯一解，从而微分方程(4)在xo, Xo上有惟一解。例3设K(s,t)是定义在a,b a,b

20、上的二元连续函数，则对于任何常数及任何 给定的连续函数 f(t) Ca,b,如下Volterra型积分方程(6)tX(t) K (s,t)X(s)ds f (t) a存在唯一解。Ca,b为证明：取连续函数空间 Ca,b,其上定义映射 T： Ca,bt(TX)(t)aK(s,t)X(s)ds f(t)aK(s,t)在则方程(6)的解等价于T的不动点。由于 K(s,.t)在a,b a,b上连续，于a,b a,b有最大值，记为M ,即M maXK(s,t):(s,t) a,b a,b对任何两个连续函数x1 (t), x2 (t),由于(Txi)(t) (Tx2)(t)tK (s,t) Xi (s)X

21、2 (s) dsaM (t a) maX x1 (s)a s bX2 (s)M (t a) (Xi,X2)(T2xi)(t)(T2X2)(t)tK(s,t)(TXi)(s)(TX2)(s)dsa2tM(x1,x2) (s a) dsa般地,对自然数(TnXi)(t) (TnX2)(t)M2(t a)22(Xi , X2 )n nM (t n!na)(Xi,X2)因此(TnXi,TnX2) max(TnXi)(t)a t b(TnX2)(t)n nnM (b a)n!(Xi ,X2)注意到limn(b a， 0,因此存在自然数 n0,满足n!M n0(b a)n0a 1n0!亦即Volterra

22、型积分方程(6)这说明T n0是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点,有惟一解。例4 (隐函数存在定理)设函数f (x, y)在带斗域ab,y中处处连续，且处处有关于 y的偏导数fy (x, y)。如果存在常数 m和满足0 m fy(x, y) M , m M则方程f (x, y) 0在区间a,b上必有惟一的连续函数 y(x)作为解,即f(x, (x) 0,x a,b证明：在完备空间Ca,b中作映射T ,使对于任意的函数Ca,b,有1 .(T)(x)(x) Rf(x, (x)按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(T )(x)也是连续的，即TCa,b,故T 是Ca,b到Ca,b的映射。现

23、证T是压缩映射,1, 2 Ca,b由微分中值定理存在 0(T 2)(x) (T i)(x)1 .2(x) Mf(x, 2(x)1 .1(x) Mf(x, 1(x)2( x)1 , , i(x) M fyx, i(x)( 2(x)1(x)?( 2(x)1(x)2(x) i(x) (1 m) M又0 m M所以0 1令 1 型，则0 MM1,且(T 2)(x)(T i)(x)2(x) i(x)按Ca,b中距离的定义，有 (T 2,T 1)2(x) i(x),所以T是压缩映像，存在 Ca,b使 Trr1即(x)(x) M1 -f(x, (x),即 一 f(x, (x) 0,所以Mf (x, (x)

24、0(a x b) 可见，压缩映射原理在处理迭代数列的收敛、微分方程定解等问题上有着重要的应 用， 其观点与方法已经渗透到数学的各个分支如常微分方程、 数值计算， 加深了各分支间的 相互联系，应用压缩映射原理解决问题也十分简洁、灵活和方便。（二）赋范线性空间1 .线性空间设 X 是非空集合， F 是实数域或复数域，称X 为 F 上的线性空间，如果满足以下条件：对两个元素x,y X , X中惟一个元素u与之对应，u称为x与y的和，记为u x y ，且满足：（ 1 ）交换律xyyx（x,y X ） ；（ 2）结合律x（y z） （x y） z（x,y, z X ） ；（3）在X 中存在一个元素 ，称

25、为零元，使x x（x X） ；4）对每个 x X ，存在 x X ，使 x （ x） ， x 称为 x 的负元。对任意数 F 及 x X ，存在 X 中惟一元素v 与之对应，记为v x ，称为 与 x的数乘，且满足：（1）结合律 （ x） （ ）x （ , ） F,x X ：（2） 1x x ；（ 3）数乘对加法分配律（ ）x x（ 4 ）加法对数乘分配律（x y） x如果 F R ，称 X 为实线性空间；如果对于线性空间：X 是线性空间（满足加法和数乘运算）x；y。F C （复数域） ，称 X 为复线性空间。,Y是X的非空子集，任意x,y Y及任意 a? R，都有x+y Y及ax Y,那么Y

26、按X中加法和数乘运算也成为线性空间，称为 X的子空间，X和0是平凡子空间。若 X Y,则称 Y是X的真子空间。2 . 赋范线性空间和巴拿赫（Banach ）空间（重点内容）定义：设 X 为实（或复）的线性空间，如果对每一个向量x X ，有一个确定的实数，记为I x II与之对应，并且满足：(1) I x I > 0 且 | x | =0x=0(2) I a x I =a I x I其中a为任意实(复)数(3) I x+y | w I x I + I y 1| x,y X则称I x II为向量x的范数，称X按范数I x II成为赋范线性空间扩展：I x |是x的连续函数。(要会证明)设 x

27、n是X中的点列，如果x X ,使 I xn x I -0 (n8)则称 xn依范数收敛于x ,记为xnx (n一8)或 lim xn xn如果令d (x, y) = II x-y I (x,y X), 2依范数U敛于x %按距离d (x, y)收敛于x,称d (x, y)为是由范数I x 1)导出的距离。注意：线性贱范空间一定是度量空间，反过来不一定成立。完备的线性赋范空间称为巴拿赫(Banach)空间巴拿赫空间的举例n维欧式空间 R11Ca , b l L P a , b (p 1) 1P其他：霍尔德 Horder(不等式)：闵可夫斯基不等式：(记住结论并会应用)b、f(t) g(t)dtf

28、llp|gpf glp llfllp|gPI0二、有界线性算子和连续线性泛函1 .算子定义：赋范线性空间X到另一个赋范线性空间 Y的映射，被称为算子，如果Y是数域， 则被称为泛函。2 .线性算子和线性泛函定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D(?)是*的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对任何 x, y C D及数”，都有T(x+y) =Tx+Ty(1)T (ax) =aTx(2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D (T), TD称为T的值域记为R (T),当T取值于实(或复)数域时，称 T为实(或复)线性泛函。几种常见的线性算子和线性泛函的例子： 相似算子T

29、x=ax 当a =1时为恒等算子；当a =0时为零算子；P0 , 1是0, 1上的多项式全体，定义微分算子：(Tx) (t尸 dx(t),dt若 toC 0,1,对 x? P0 , 1,定义 f (x) =x' (to)则 f 是 P0 , 1上的线性泛函。积分算子：xCCa, b Tx (t) =/：x( ) d由积分线性性质知T为线性算子，若令f (x) =/ 1 x( ) d则f是Ca , b中的线性泛函乘法算子：xC Ca, b Tx(t) =tx (t)R11中的线性变换是线性算子3 .有界线性算子定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D (T)到Y中线性算子，如果 存在常数c,使对所有xC D (T),有：| Tx