圆锥曲线的经典模型

1、圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示 直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条 件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直 线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质， 这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么 解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C：二=1若直线/：)，=依+?与椭圆C相交于

2、A, B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直 线/过定点，并求出该定点的坐标。解：设,由；、得(3 + 4/)/+87乙 + 4(?2-3)=。，3厂 +4,广=12 = 64m2 k2 -16(3 + 4攵2)(户一3) >0, 3+ 4户 一/ > 0苔+=3(川- 4父)3 + 4k28/成、,_4(/- 3) 3 + 4攵2，.*3 + 4/,)?2 =("1 + 7)(履2 + 小)=kAi. + mk(x +x2) + m2 =以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。(2,0)，且鼬=-1 ,上,上=-1, A-) 2 X) 2y

3、)y2 + 玉& - 2($ +x2)+4 = o,3(?2-4%2) 4(，-3) 16"次，门；+ +- + 4 = 0,3 + 4 4 23 + 4 攵 2 3 + 4 女 2整理得：7/ +16?& +4y =0 ,解得：=-2kjn2，且满足3 + 4攵？ 一?？ >0当? = -2攵时，/:)，=*-2),直线过定点(2,0),与己知矛盾；当用=一竺时，= 直线过定点(2,0)777综上可知，直线/过定点，定点坐标为§，0）.方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上 任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必

4、过定点 户""）工二吗。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一 cr +b- U +b组性质”）模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP条件（如心%=定值，如+心=定值），直线AB依然会过定点（因为 三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第 一季第13节）此模型解题步骤：Stepl：设AB直线产入+,，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范 围；Step2：由AP与BP关系（如= T），得一次函数 = /（，）或者m= /（%）;Step3：将攵=/（?）或者? = /（外代入 y = kx+m ,得

5、y =攵（x-x定）+ y定。迁移训练练习1：过抛物线M:产=2px上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB, 交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与 双曲线）练习2：过抛物线M:3，2=©的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB,求 证：直线AB过定点。（经典例题，多种解法）练习3：过2/_寸=1上的点作动弦AB、AC且LL=3,证明BC恒过定 点。（本题参考答案：练习：4：设A、B是轨迹C： y2=2px（P>0）上异于原点0的两个不同点，直线OA和08的倾斜角分别为a和4，当变化且2 +夕=工时，证明直线”恒过4定点，并求出该定点的坐

6、标。(参考答案(-2p,2p)【答案】设A(X，M),B(%必)，由题意得祈,小工。，又直线OAQB的倾斜角a,/7满足。+夕=工，故。<a/<工，所以直线A8的斜率存在，否则，OAQB直线的 44倾斜角之和为乃.从而设AB方程为>，= "+，显然玉=g,=E, 22将 y = - +与 y2 =2px(P>0)联立消去x ,得-2py +2Pb = 0rh韦达定理知+ 丁, = ?，X , >'2=三巴】； KK由。+ 夕=工，得匚 tan£ = tan(a + 0= tana + tan/7 =2/心 + )?441 - tan a

7、 tan p yy2 -4/?"将式代入上式整理化简可得：一" = 1,所以= 2p + 2pk,b -2pk此时，直线A8的方程可表不为y = kx + 2 + 2pk即女(x+2p)-(y-2P) = 0所以直线A8恒过定点(-2/7,2/?).练习5:己知动圆过定点44,0),且在y轴上截得的弦必'的长为8.(I )求动圆圆心的轨迹。的方程；(H)已知点6(-1,0),设不垂直于x轴的直线/与轨迹C交于不同的两点尸，Q,若X轴是NP5Q的角平分线，证明直线/过定点.【答案】解：(1) 4(4,0),设圆心C1戈段的中点为E,由儿何图像知0石=?,。2 =。加2

8、 = ME1 + EC1=>(x-4)2 + y2 =42 +x2 =>y2 =8x(ID 点 6(-1,0),设尸(m，w)，由题知y +为6 y”'2 <o，y1=8再，为2 =8-2.0 ='7 = 44?=工 =8()，1+为)+必当(乃+必)=° = 8 +必为=。直线A +1 必 +1 y +8 乃 +8PQ方程为：y -月=上上(X -网)=)必=一(8A-y.2)w 3乃+ X=）。2 +必）一）'1（>'2 +y）= 8x-yj => ）5 +）'i）+ 8 = 8x= y = 0,x = l所以

9、，直线PQ过定点(1,0)练习6：已知点8(-1,O),C(1,O),P是平面上一动点，且满足I定3比l=M息(1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点A(?,2)在曲线C上，过点4作曲线。的两条弦AO和AE,且 ADYAE,判断：直线OE是否过定点？试证明你的结论.【解】(1)设 P(x, y)RA I 京 I . I 而 1=方.画驳 x -1)2 + y2 = 1 + x,化简得y 2 = 4x.(5 分)(2)将4八2)代入V = 4x得利=1,.,.点A的坐标为(1,2).设直线。石的方程为X = "9+f代入V = 4x,得)-4mt -4t = 0,设£)(

10、再,y ), E(x2 , %)则M + % = 4肛 M , % = Th = (- 4m)2 +16/>0(*)AD AE=(Xj -l)(x2 -1) + (yj -2)(y2 -2) = x1x2 -(X)+ x2) +1 + y - y2-2(y +y2)+4(>V>'2)2 (»+城一2y+必力-2(凶+力)+ 5=匚士匚-(4")-2( -4" +(_4,)_ 2(4w)+ 5 = 0化简得产-9 + 5 = 4m2 + 8m 164即f2 -61 + 9 = 4?2 +8? +4即(，-3> =4(? + 1一3 =

11、 ±2(? + 1)./ = 26+ 5或，=-2"? + 1,代入(*)式检验均满足>()直线 £>E 的方程为 x = ?(y + 2) + 5 必=m(y-2) + 1直线。石过定点(5,-2).(定点(1,2)不满足题意)练习7：己知点A ( 1, 0), B (1, 一 1)和抛物线.C:y2=4x, O为坐标 原点,过点A的动直线/交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q, 如图./yf (I)证明：丽而为定值； (II)若POM的面积为*,求向量而与的夹角;(III)证明直线PQ恒过一个定点.解：设点M（圣弘）/号,为），/、M、

12、A三点共线,卜,M =-T- = -5 =-，汗+ 1好乃44 4即一=齐+4 %+为.22.,而,而= _11 + ），% =5. 4 4- r 2（II）设NPOM=a,则I而 1/而l.cosa = 5.: S.m =*,万江，101与皿2 = 5.由此可得tana =1. 2又。e （0,初. a = 45°,故向董丽与丽勺夹角为15。.2（HI）设点°（季力），:加、B、。三点共线，.施0=%时，即心=4¥.即2=',>7.1 K% ”一4%+为 r 1-444 （% +1）（% + -3）=员 - 4,即% + M + % +4 = 0.

13、11分444 X y 2 = 4,即y 1 =，一 % + + % + 4 = 0, ->2% X即 4（ y 2 + 力）+y 2 y3 + 4 = o.（*） .k - >，2->?3 -4T T.2 直线产。的方程是y-%=一（x-左） '%+为4用（丁一为）（,2 +）3）=4工一式，即 （为 +）3）-力 力 =4工由（*）式,-g为 =4（乃+力）+ 4,代入上式，得（y + 4）（乃+丁3）= 4"-1）.由此可知直线尸。过定点E （1, -4）.模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆/ + y2 =都上一点0（%,打）处的切线方程为/）

14、，+ ）" = /，类比也有结论：“椭圆二十二=1（"。0）上一点P（x。,）,。）处的切线 cr lr方程为誓+誓= 1"，过椭圆C：二+ y2=的右准线/上任意一点M引椭圆C a b4的两条切线，切点为A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积。【解】（1）设Mpf）0 eR）,A（X|必）,",%），则同4的方程为力+%、=13,4：点M在MA上，+ ty1 = 1 同理可得+以=1由知AB的方程为Ex + tv = l,即、=同1-）易知右焦点F（V3,0）满足式，故AB恒过椭圆C的右焦点F （；3,0）

15、（2）把 AB 的方程x =仃（1 -），）代入+ y2=l,化简得7），-6），-1 = 04.3g.我更上 77又M到AB的距离”=AAABM的面积s =11673一l ABI " = 221方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中 直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些?，与一：,i Fi c康事 M 参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，资料练习1:己知抛物线。的顶点为原点,其焦点尸(0,c)(c>0

16、)到直线/：x-丁-2 = 0 的距离为芷.设。为直线/上的点，过点P作抛物线。的两条切线PA,P8,其中 2A,8为切点.(I)求抛物线C的方程；(II)当点P(.v0,y。)为直线/上的定点时，求直线”的方程；(III)当点P在直线/上移动时,求|4叩明的最小值.【答案】(I)依题意，设抛物线C的方程为/=4与，由匕曰=这结合 V2 2c>0,解得c = l.所以抛物线。的方程为/=4.v.(II)抛物线C的方程为x2 = 4y ,即y = lx2,求导得/ = 2设 A(x"J, 8(孙为)(其中 为=$/=,)，则切线PAP3的斜率分别为乜，£，所以切线 PA

17、： y y=" xj 即), = AW + X，即中-2)，-2y =0同理可得切线PB的方程为x?x-2y-2% =。因为切线PA均过点尸,%），所以XR）-2%-2y=0,“。-2%-2y2 = 0 所以（内，凹），（,%）为方程V-2y0-2y = 0的两组解.所以直线A8的方程为xox - 2y - 2y0 = 0.（HI）由抛物线定义可知|初=）#1,阿| = % + i,所以 |AF|-|BF|=（yI+l）（y2+l） = y % +（M + 必）+1联立方程 “ 2）' - 2%=。，消去v整理得丁 +,。X）, +%2 =。 r=4y由一元二次方程根与系数的

18、关系可得,+必=* -2），。，为先= y02所以 | A日阿| = % 为 + （ M + % ）+1 = H + V- 2% +1又点尸（不）,%）在直线/上，所以/ =%+ 2,所以年+ V -2%+1 = 2升+2%+5 = 2所以当儿=-；时，|A斗BF取得最小值,且最小值为4.练习2:如图,抛物线G ：/=4y，G =-2y（p>0）,点M（Xo，）b）在抛物线。2上, 过M作C的切线，切点为A,8（M为原点。时，48重合于O）毛=1-点，切线MA. 的斜率为-L2（I）求的值；（II）当用在G上运动时,求线段A8中点N的轨迹方.（A 8重合于）寸,中点为0.【答案】（ I）

19、因为毡物线。:二=4川,.任有一点（儿0的切线斜率为/ = '.4切线M八的斜率为一）.所以0点飞标为（T.J）.故切线MA的方科为 b1y = -5"（丈 + 1） + .因为点M（l-a,y。）似刀线MA及推物纹。2匕北1 z c 13 - 2迎M = -y（2-/2）+= . U：(1 - V0 : $ - :、£% = 丁=一一2 亡 山2得2 = 2.羊工2，由人为线段加中点知X 2:n )设NCr.y). /3,士), B(x2.勾+ X2x=s-X十八？y = -8-“J线M/L川8的力程为X,孙）+正x2,2?y =E（*一m+ 丁.ll! V得MA

20、. MB的交女M（%.yo）的坐田力七十七 八”沏=2，为=-,：'汴口心.%) Q I . HUxa2 =-4yo.所用x/ + .匕2"2 = - -L -74xd = y. x* 0. J当巧N”,时.儿8 m合干吃为“月月中忐N ho.空际满足/ =gy.因此八6中点N的轨迹厅因为x2 = 4-y.12 分模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森 数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多, 计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题：如图，已知直线L：I过椭圆+的右焦

21、点F, 且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x = /上的射影依次为点D、Eo连接AE、BD,试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N, 请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。法一：解：.尸(1,0),4=(。2,0)先探索,当m=0时,直线L_Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且N(1,O)猜想：当m变 乙化时,AE与BD相交于定点证明：设4(内,乃),8(占,、2),七(/,%)，。(/0),当m变化时首先AE过定点Nx - m v +1 即(/+%/)1+2，汕，+ (1 一/) = 0 .8 分 /厂厂厂=0 =

22、4。%二/ +m2b2 -l)>0 (. a > 1)(r、力(b+为)一*火而 K,w Ken = 一： ：=()1一。/ -15)a -1(这是 (X + 当)一 7K %a2 -1 , 2mb2 、b2(-a2)2 cr +nrlr cr +nrb(/ 一1)(阳 一 曲)= °)底二Ken：.A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线AAE与BD相交于定点N(,0)法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0,得与x轴交点M、N,然 后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题 一类的通法。这一类题在答题过

23、程中要注意步骤。例题、己知椭圆C：二+），2 = 1,若直线/：x = T>2）与x轴交于点T,点P为直 4线/上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。方法1：点A、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PAI 和椭圆交点是A（2,O）和M,通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以 求出点N的坐标。动点P在直线= >2）上，相当于知道了点P的横坐标了， 由直线PAI、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系， 通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如

24、果 解出的32,就可以了，否则就不存在。解：设M（xQi）, N（xy?）,直线AM的斜率为A1，则直线4M的方程为 y = K（x + 2）,由卜+ 消 y 整理得（1 + 4奸）/ + 16攵衣 + 16年-4 = 0厂+4）厂=4-2和不是方程的两个根，一 2% =毕=则内=审，1 + 4攵；1 + 4与1 + 4攵1即点M的坐标为（2孝,%），1+41 1 + 4攵；同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为（笠/，二1 + 4A:; 1 + 4 与%=占«+2）,%=网«-2）. =-2, .直线MN的方程为： 口 =三二互,K+k2 tX _ X &

25、; - X二令y=0,得”出匚，将点M、N的坐标代入，化简后得：X = ± 31- 32又.">2,二0<：<2 一椭圆的焦点为（后0）.± =6,即/= ¥ tt3故当f=拽时，MN过椭圆的焦点。3方法总结：本题由点Ax （-2,0）的横坐标一 2是方程 （l + %）x2+i6k2X + 16k；-4 = 0的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标： 玉，y=二二；其实由 ，"式：2）消y整理得（+ 4公川一16hx + 16k：-4 = 0 , 1 + %1 + 4 公+ 4）广=4得到2占=咎W，即占=笠/，, =

26、*很快。不过如果看到：将-2%=售？1 + 4 公-1 + 4 匕 -1 + 4%；1 + 4 公中的占用攵,换下来，士前的系数2用一2换下来，就得点N的坐标（%匚、*）, 1+4公1+4公如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少 计算量。本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线4幽上也在直线&N上，进而得到 =-2,由直线MN的方程口 = 为二&得直线与X轴的交点， Kj +K2 tX _ 8 & _ X即横截距xJ/f% ,将点M、N的坐标代入，化简易得X = ±,由3 = 6解出 Mft /1=坟，到此不要忘了考察/ =及

27、是否满足/>2。 33方法2：先猜想过定点，设弦MN的方程，得出4M、&N方程，进而得出与T 交点Q、S,两坐标相减R.如下:设: x = ,ny+78联立椭圆方程，整理:（4 +nr） y1 + 2j3my-1=0;求出范围;设M （x“p,N （孙为），得直线方程:a时：7（工_2），4d：）'= X1一2）;若分别于。相较于Q、S：易得Q （八3（"2）,八人 玉一2上7。一2） x2 -2）'2 一 力_«一2）-«-2）为2x2-2整理=- 4Mxy2 + 20 - Q）（X + 为）+ （、鸟 一 4）（岳一为）（*一2）

28、（+2）韦达定理代入-1一丁 7电、（技-4） +（疝-4）（兑-），2）1 （芯-2）（占+2） 4 + ?一显然，当r = +2时，猜想成立。3方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦 恒过定点”的一个特例而已。因此法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱 了。相较法1,未知数更少，思路更明确。练习：己知椭圆石中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过4-2,0）、8（2,0）、三点.过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线/与椭圆E交于"、 2）N两点，A"与8N所在的直线交于点Q.（1）求椭圆E的方程：（2）是否存在这样直线巾，使得点Q恒

29、在直线,上移动？若存在，求出直线 加方程，若不存在,请说明理由.解析：(1)设椭圆方程为心二2 = 1(7>0, >0),将A(-2,0)、8(2,0)、C(l,g)代入椭圆£的方程，得.4? = 1，22<9解得7 = -, = -.，椭圆E的方程工+。= 1m+-n=43434(也可设标准方程，知4 = 2类似计分)(2)可知：将直线/:y = k(x-1)代入椭圆石的方程二十二=1并整理.得(3 + 4公口28公x + 4(F-3) = 043设直线/与椭圆E的交点M(芭,弘),N(x29y2),由根系数的关系,得"招=_可，=3- 3+4H-3+4

30、公直线AM的方程为：y = J (x + 2),即)，=蛆匚2 (x + 2) 玉 + 2% + 2由直线AM的方程为： 即)，=幺*二11*_2) x2 -2x2 -2由直线A"与直线8N的方程消去)，得2(xtx2 -3司 +x2) _ 22xjX2 -3(x)+x2) + 4x22 +3x2 -4(X +x2) + 2x2 -48（父3） 24 k24G+64k2 +6，r +厂 3 +4k2=43 +4k2 3 + 4 公4 + 2xy3 + 4 公2直线AM与直线8N的交点在直线x = 4上.故这样的直线存在模型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以

31、理解为“弦对定点张直角” 的新应用。例题1.己知椭圆C:二 十 二=1（。>%>0） 的离心率为无，并且直线尸工+是抛物线 /b-2V=4X的一条切线。（I）求椭圆的方程;（II）过点5（0,-3的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否 存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标； 若不存在，请说明理由。解：（I）由（消去），得：/+（2-4）x + 2 =0厂=4x因直线 y = x + 与抛物线 / =4x 相切. = （2。-4）24/ =。./，句e = L = L>a- =Z?2+c2,/.-L = L：.a = a,故所求椭

32、圆方程为L + V =1. （II） a 222当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程: 当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：/+）,2=i,由3+（），+92=令解葡）1V = 1尸+旷=1U即两圆相切于点（0，1） 因此，所求的点T如果存在，只能是（0, 1）.事实上，点T （0, 1）就是所求的点，证明如下。当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T （0, 1）若直线L不垂直于x轴，可设直线L： y = kx-LL12消去y 得：(18人+9) 12kx 16 = 0+ y2 =112 .12k记点 A（x"J、8*2，*）,则x + x,=；18K+9 又因海=(

33、aj1),屈=区,为一 1)，-16A-.X,=;- 18A+9一 一44所以L4 TB = xx2 +（X -1）（% - 1）=%内 + （g_ _）（kq 一 一）3/I 2、. .4“ x 16”2、-164.12k16 八=（1 + A ）a k（X + ） H （1 + k ） , k -+ = 01 - 31 -918k2+9 3 18 攵 2+9 9ATA1TB,即以AB为直径的圆恒过点T （0, 1）,故在坐标平面上存在一个定点 T （0, 1）满足条件.方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证 明用直径所对圆周角为直角。例题2：如图，己知椭圆。：&

34、#163; + = = 1（。0）的离心率是正，分别是椭圆C 的左、右两个顶点，点厂是椭圆c的右焦点。点。是戈轴上位于4右侧的一点，.11.满.足；+ ；-； = y： = 2 o |A| M FD（1）求椭圆C的方程以及点。的坐标；（2）过点。作x轴的垂线，再作直线/:,，=履+ ,与椭圆C有且仅有一个公共点P,直线/交直线于身上 。求证：以线段P。为直径的圆恒过定点，并求g 点的坐标。解：(1) 4(-4,0),&(40),F(c,0),设 £>1,0),由向+向=2有士+ £ = 2,又I叫=1,.x - c = ,:.x = c+ 9 于是 卜 ! =

35、 2c+l+a c+1-a=C + 1 = (c + 1 + d)(c +1 4),又,:上=a 2/. c +1 = (c +1 + /5i?)(c +1 - 0c)椭圆 C:二十 丁=1,且。(2,0)。 2= c?-c = 0, 又c>0, ：.c = ,：.a = y/2.b = ,(2)方法 1:。(2,2% + "7),设P*o，y),y = kx + m,由八2)= + (/oc + in)2 = 1+ y2=l212=x2 +2(辰+ ?)2 = 2 = (2k2 +l)x2 +4kmx+2m2 - 2 = 0,由于 = 16k2m2 -4(2攵2 + l)(2

36、m2 - 2) = 0 = 2/-m2 + 1 = 0 =由=2于 +1 ( * 于而由韦达定理:-4km-2km 2km2k2与=；=% = - = =2k2+12父+1nrmz2k21. D, 2k 1、 No =+ m =f m = - 9 . P(,一),m mm m设以线段P。为直径的圆上任意一点M(x,y)，由丽诙=0有1O 7(x + )(x -2) + (y- -)(y - (2k + in) = 0 = x2 + y2 + (2)x + (2k + in + )y + (1- -) = 0 由in' in' ininm对称性知定点在x轴上，令y = 0,取x

37、= l时满足上式，故过定点K(l,0)。法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F (1,0)。接下来 用相似证明PFLFQ。设尸5，儿),易得尸0切线方程为/+2)，。)，= 2;易得。(0,匕包) )'o设 PH ± FDPH =3和HF =j°DQ = E*;DF =1;>o丝1 =丝,固"”广相似于也股2，易得/尸产。=90°PH FD问题得证。练习：己知椭圆G ：二+=1（4 > > 0）的右焦点F,与抛物线C,:= 4x的焦点重 cr b-合，椭圆g与抛物线a在第一象限的交点为p，ip玛|=:圆g的圆心7是抛物线上的动点，圆G与），轴交于M,N两点，且IMNI=4.（1）求椭圆G的方程；（2）证明：无论点r运动到何处，圆恒经过椭圆G上一定点.（1）解